Transcript DS7 - 1 ECS

Devoir no 7
1 ECS
lundi 24 mars 2014
Exercice 1 :
Soit n ∈ N∗ avec n ≥ 4 .
ek (X) = X k
On pose E = Rn [X] et on note ∀ k ∈ [[0, n]] ,
I. Etude d’un sous-espace vectoriel
On pose F = { P ∈ Rn+2 [X] tels que P (0) = 0 et P 0 (1) = 0 }
³
1) Soit ϕ l’application d´efinie par : ∀ P ∈ Rn+2 [X] , ϕ(P ) =
P (0), P 0 (1)
´
a) Montrer que ϕ est une application lin´eaire.
b) Que repr´esente F pour ϕ ? En d´eduire que F est un sous-espace vectoriel de Rn+2 [X] .
2) Pour (a, b) ∈ R2 , on pose P (X) = a + b X. Calculer ϕ(P ) . Quelle inclusion obtient-on ?
En d´eduire que Imϕ = R2 puis d´eterminer dim(ker ϕ).
3) On pose ∀ k ∈ [[0, n]] ,
Lk (X) = X k+2 − (k + 2) X
a) Montrer que ∀ k ∈ [[0, n]] ,
Lk ∈ F .
b) Montrer que { L0 , L1 , L2 , ..., Ln } est une base de F .
II. Etude d’une application lin´
eaire
On consid`ere l’application Θ d´efinie sur E par :
Z
∀P ∈E,
Θ(P ) = Q
avec
∀x∈R,
Q(x) =
Z
x
t P (t) dt − x
0
x
P (t) dt
1
On admet que Θ est une application lin´eaire.
1) a) Montrer que, pour tout k ∈ [[0, n]] ,
b) En d´eduire que ∀ P ∈ E ,
Θ(ek ) =
−1
Lk
(k + 1)(k + 2)
Θ(P ) ∈ F .
c) Prouver que Θ est un isomorphisme de E dans F .
2) On pose ∀ R ∈ F ,
∆(R) = U avec U (X) = R(2) (X)
a) Prouver que ∆ ∈ L(F, E)
b) D´eterminer ker ∆ . En d´eduire que ∆ est un isomorphisme de F dans E .
c) Calculer, pour tout k ∈ [[0, n]] ,
∆ ◦ Θ(ek )
d) Montrer que ∀ P ∈ E , ( ∆ ◦ Θ + IdE )(P ) = OR[X] . En d´eduire ∆−1 en fonction de Θ.
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Exercice 2 :
On pose ∀ x ∈ R ,
g(x) = ex − x .
On rappelle que 2 < e < 3
I. Solutions de l’´
equation g(x) = n ( o`
u n ∈ N avec n ≥ 2 )
1) a) Dresser le tableau de variations complet de g sur R
( On justifiera les limites en +∞ et −∞ )
b) Montrer que g r´ealise une bijection de I = [0, +∞[ sur un ensemble J `a pr´eciser.
On admet qu’on montrerait de mˆeme que g r´ealise une bijection de ] − ∞, 0] sur J
2) Soit n ∈ N avec n ≥ 2 .
Prouver que l’´equation g(x) = n admet exactement deux solutions dans R .
Ces solutions seront not´ees αn et βn avec αn < 0 < βn
On a donc ∀ n ∈ N , n ≥ 2 ,
eαn − αn = n
et
eβn − βn = n
´
II. Etude
de la suite (βn )n
1) a) Montrer que ∀ n ∈ N∗ ,
g( ln(n) ) ≤ n
b) On admet que ∀ t ≥ 1 , ln(t) ≤ t − 1 . Montrer que ∀ n ≥ 2 , g( ln(2n) ) − n ≥ 0 .
c) D´eduire de ce qui pr´ec`ede que : ∀ n ≥ 2 ,
d) Montrer que βn ∼ ln(n) puis d´eterminer
+∞
ln(n) ≤ βn ≤ ln(2n)
lim βn
n→+∞
2) a) Montrer que eβn ∼ n
+∞
¡ −β ¢
¡
¢
b) Montrer que ln n e n = ln 1 − βn e−βn
c) D´eduire de tout ce qui pr´ec`ece, que βn − ln(n) ∼
+∞
ln(n)
n
III. Valeur approch´
ee de α2
On consid`ere dans cette partie, la suite (un )n d´efinie par :
u0 = −1
et
∀n∈N,
un+1 = eun − 2
1) a) Calculer g(−2) et g(−1) . En d´eduire que α2 ∈ ] − 2, −1[
b) Montrer, par r´ecurrence, que ∀ k ∈ N ,
Z
2) a) Montrer que ∀ k ∈ N ,
0≤
uk
α2
b) En d´eduire que ∀ k ∈ N ,
et dt ≤
α2 ≤ uk ≤ −1
1
(uk − α2 )
e
0 ≤ uk+1 − α2 ≤
1
(uk − α2 )
e
µ ¶k
1
3) Montrer que ∀ k ∈ N , 0 ≤ uk −α2 ≤
. En d´eduire que la suite (un )n converge et pr´eciser sa limite.
e
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Exercice 3 :
Dans cet exercice, apr`es avoir justifi´e leurs existences, on s’interesse aux fonctions F et G d´efinies par :
Z 3x
Z x
cos t
sin3 t
dt et ∀ x ≥ 0 , G(x) =
dt
∀ x > 0 , F (x) =
t
t2
x
0
1) Montrer que F est d´efinie et d´erivable sur R∗+ et calculer F 0 (x) pour tout x > 0
sin3 t
et g(0) = 0
t2
Montrer que g est continue sur [0, +∞[ . En d´eduire que G est d´efinie sur [0, +∞[
2) On pose ∀ t > 0 , g(t) =
t2
≤ cos t ≤ 1.
2
b) En d´eduire que ∀ x > 0 , 0 ≤ ln(3) − F (x) ≤ 2 x2
c) D´eterminer lim F (x) .
3) a) Montrer que ∀ t ∈ R+ ,
1−
x→0+
Dans la suite, on pose F (0) = lim F (x) . La fonction F ainsi cr´ee est alors continue sur [0, +∞[
x→0+
sin(3x) − 3 sin(x)
et H(0) = λ avec λ ∈ R `
a pr´eciser.
3x
a) D´eterminer un DL3 (0) de x 7→ sin(3x) − 3 sin(x)
b) D´eterminer la valeur du r´eel λ pour que la fonction H soit continue en 0
c) Montrer que H est d´erivable en 0 et donner H 0 (0)
4) On pose ∀ x > 0 , H(x) =
5) On pose ∀ x > 0 , W (x) = F (x) − H(x)
a) Montrer que W est de classe C 1 sur ]0, +∞[ et que ∀ x > 0 , W 0 (x) =
H(x)
x
Z
b) A l’aide d’une int´egration par parties, montrer que ∀ x > 0 , F (x) − H(x) =
x
2
c) En d´eduire que ∀ x > 0 , | F (x) − H(x) | ≤
3x
3x
sin t
dt
t2
6) a) D´eterminer lim W (x).
x→0+
Dans la suite, on pose W (0) = lim W (x) . La fonction W ainsi cr´ee est alors continue en 0
x→0+
b) Montrer que W est d´erivable en 0 puis que W est de classe C 1 sur [0, +∞[
Z x
c) En calculant ∀ x > 0 ,
W 0 (t) dt, montrer que :
0
Z
∀x > 0 ,
F (x) − H(x) = ln 3 +
0
x
sin(3t) − 3 sin(t)
dt
3 t2
c
avec c r´eel ind´ependant de x `
a pr´eciser. En d´eduire
x
lim F (x)
7) a) Montrer que ∀ x > 0 , | H(x) | ≤
b) A l’aide de 5-c), d´eterminer
lim H(x)
x→+∞
x→+∞
eit − e−it
.
2i
Exprimer (sin t)3 `a l’aide d’une ou plusieurs quantit´es du type sin(kt) avec k `
a pr´eciser.
b) En d´eduire lim G(x)
8) a) On rappelle que ∀ t ∈ R , sin t =
x→+∞
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