Transcript Math11 - Exercices

Univ. Bourgogne — L1
Math11 (analyse)
2014-2015
Exercices
Math11 - Exercices
I. Fonctions classiques (3 sem.)
B Exercice 1. Indiquer le degr´e puis d´evelopper les expressions polynˆomiales
ci-apr`es.
1.1. (X − 1)2 (X − 2)(X + 2)
1.2. (X + 1)2 (X 2 − 2X + 1)(X 2 + 1)
B Exercice 2. Soit P (X) := X 3 −4X 2 +5X −2. V´erifier que P (1) = P 0 (1) = 0
et factoriser.
B Exercice 3. Faire la division euclidienne de X 5 + 4X 4 + 2X 3 + X 2 − X − 1
par X 3 − 2X + 3.
B Exercice 4. D´ecomposer en ´el´ements simples sur R chacune des fractions
ci-apr`es.
4.1.
X3 − 1
+X −2
X2
4.2.
4.3.
X3 + 1
X2 + X − 2
X3
X 2 − 2X + 1
B Exercice 5. D´ecomposer en ´el´ements simples sur R chacune des fractions
ci-apr`es.
5.1.
5.2.
2
(X + 3)(X + 1)
X 4 + 4X 2 − 1
(X 2 + 3)(X 2 + 1)
[Utiliser la question pr´ec´edente apr`es division euclidienne et changement de
variable Y = X 2 ]
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5.3.
X 4 + 4X 2 − 1
(X 2 + 3)(X 2 + 1)2
[Utiliser les deux questions pr´ec´edentes]
B Exercice 6.
6.1. Soit f : R → R. Montrer que f se d´ecompose de fa¸con unique comme
somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire. On note fp (resp. fi )
cette partie paire (resp. impaire).
6.2. Si f est d´erivable, montrer qu’il en est de mˆeme pour ses parties paire
et impaire et que
fp0 = (f 0 )i ,
fi0 = (f 0 )p ,
(fp2 − fi2 )0 = 2(fp (f 0 )i − fi (f 0 )p ).
6.3. En d´eduire que la d´eriv´ee d’une fonction paire et d´erivable est impaire,
et vice-versa. V´erifier le r´esultat sur les fonctions cos et sin.
6.4. On note ch et sh les parties paire et impaire de la fonction exponentielle.
Montrer que ces fonctions sont d´erivables et que
ch0 = sh,
sh0 = ch,
ch2 − sh2 = 1.
Retrouver ces r´esultats `a partir de la d´efinition comme partie paire (resp. impaire).
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´
II. Etude
locale d’une fonction (5 sem.)
B Exercice 7. Soit g :]0, 1] → R, x 7→ x ln x.
´
7.1. Etudier
les variations de g.
7.2. Observer qu’elle est d´ecroissante et n´egative sur l’intervalle ]0, 1/e]. En
d´eduire que la fonction admet une limite l en 0+ (i.e. quand x → 0, x > 0).
7.3. Montrer que, pour tout x > 0, on a g(x2 ) = 2xg(x), et en d´eduire la
valeur de l en passant `a la limite.
B Exercice 8. On consid`ere les fonctions f , g et h d´efinies de R∗+ dans R par
f (x) :=
1
ln x,
x
g(x) := x ln x,
h(x) :=
1
·
x
8.1. Montrer que g = −f ◦ h et que f = −g ◦ h. En conclure que de chacune
des deux limites ci-apr`es on peut d´eduire l’autre :
lim
x→0, x>0
x ln x = 0,
lim
x→∞, x>0
1
ln x = 0.
x
` l’aide de changements de variables appropri´es, montrer que pour
8.2. A
n ∈ N∗
1
lim xn ln x = 0,
lim
ln x = 0.
x→0, x>0
x→∞, x>0 xn
8.3. Montrer que
lim
x→0, x>0
(x2 + 4x) ln x = 0,
lim
x→∞, x>0
ln x
= 0,
x2 + 4x
lim
x→0, x>0
lim
(x2 + 4x − 2) ln x = ∞,
x→∞, x>0
ln x
= 0.
x2 + 4x − 2
B Exercice 9. Traiter les questions ci-apr`es en utilisant la d´efinition de l’exponentielle comme unique solution de l’´equation diff´erentielle
(∀x ∈ R) : y 0 (x) = y(x),
y(0) = 1.
9.1. Soit h : R → R, h(x) := exp(x) exp(−x). Montrer que h est constante
´egale `a 1. En d´eduire que l’exponentielle est `a valeurs dans R∗ et que, pour
tout x ∈ R,
1
·
exp(−x) =
exp(x)
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9.2. Soit a ∈ R, montrer que fa : R → R, fa (x) := exp(−a) exp(x + a) est
solution de l’´equation diff´erentielle pr´ec´edente. En d´eduire que
(∀(a, b) ∈ R2 ) : exp(a + b) = exp(a) exp(b).
9.3. Pour tout x ∈ R, montrer que exp(x) = (exp(x/2))2 , et en d´eduire que
l’exponentielle est `a valeurs dans R∗+ .
9.4. Pour tous (n, m) ∈ Z × N∗ et x ∈ R, montrer que
n
exp(nx/m) = (exp(x)) m .
En d´eduire que
n
exp(n/m) = e m
o`
u e := exp(1) > 1.
9.5. Montrer que
lim exp(x) = ∞.
lim exp(x) = 0,
x→∞
x→−∞
9.6. Montrer que l’exponentielle d´efinit une bijection de R sur R∗+ .
9.7. Montrer que
exp(x)
= ∞,
x→∞
x
lim
lim
x→0, x6=0
exp(x) − 1
= 1.
x
B Exercice 10. I. Soit h : ] − 1, ∞[→ R, h(u) := ln(1 + u) − u.
10.1. Quelles sont ses limites aux bornes de son domaine de d´efinition ?
10.2. Faire l’´etude des variations de la fonction.
10.3. V´erifier que, pour tout u > −1,
ln(1 + u) ≤ u.
II. On fixe x > 0.
10.4. Montrer que
− ln 1 −
1
x+1
= ln
x+1
x
1
= ln 1 +
,
x
puis montrer que
1
1
1
≤ ln 1 +
≤ ·
x+1
x
x
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10.5. En d´eduire que
x+1
x
x
≤e≤
x+1
x
x+1
.
(1)
10.6. V´erifier que les fonctions f et g de R∗+ dans R d´efinies par f (x) :=
x ln(1 + 1/x) et g(x) := (x + 1) ln(1 + 1/x) sont respectivement croissante
et d´ecroissante.
10.7. Montrer qu’il en va de mˆeme pour les fonctions F et G de R∗+ dans
R d´efinies par
x+1 x
x + 1 x+1
F (x) :=
et G(x) :=
.
x
x
10.8. D´eterminer les limites des fonctions f , g, F et G en 0+ et ∞.
10.9. Montrer que 2 ≤ e ≤ 4.
10.10. Montrer que
0≤e−
x+1
x
x
≤
4
x
et donner une fraction rationnelle qui approche e `a 10−2 pr`es.
III. On utilisera l’encadrement (1).
10.11. Montrer que
21 32 43
22 33 44
44
43
= 1 2 3 ≤ e3 ≤ 2 3 4 =
·
1·2·3
1 2 3
1 2 3
1·2·3
10.12. Pour tout n ∈ N∗ , montrer que
(n + 1)n
(n + 1)n+1
≤ en ≤
·
n!
n!
10.13. En d´eduire un encadrement de n!
B Exercice 11. Discuter l’existence et les valeurs ´eventuelles des limites ciapr`es.
11.1.
√
lim
x→0, x6=0
11.2.
√
3
lim
x→0, x6=0
1+x−
x
1+x−
x
5
√
1−x
√
3
1−x
·
·
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11.3.
lim
x→π/4, x6=π/4
sin x − cos x
·
x − π/4
11.4.
lim
a sin x −
x→α, x6=α
√
1 − a2 cos x
x−α
avec a ∈ [−1, 1] et α = arccos a.
11.5.
lim
x→π/3, x6=π/3
sin 3x
1 − 2 cos x
11.6.
lim
(tan x)(tan 2x)
x→π/2, x6=π/2
B Exercice 12. Soit f : R+ → R d´efinie par f (x) := x1+1/x si x > 0 et
f (0) := 0.
12.1. Montrer que f est continue.
´
12.2. Etudier
sa d´erivabilit´e `a droite en 0.
12.3. Montrer que f est strictement croissante.
12.4. Montrer que f (x) = x + δ(x) avec δ(x) ∼ ln x, x → ∞.
´
B Exercice 13. Etudier
la d´erivabilit´e et calculer les d´eriv´ees ´eventuelles des
fonctions ci-apr`es (on pr´ecisera pour chacune l’ensemble de d´efinition).
p
√
13.1. f (x) := x + 1 + x2
13.2. f (x) := x3 /3x
13.3. f (x) := xx
13.4. f (x) := ln | tan(x/2)|
√
13.5. f (x) := ln(x + 1 + x2 )
q
1+sin(x2 )
13.6. f (x) := ln tan 1 +
2
B Exercice 14. Soit f : R → R telle que
(∀(x, y) ∈ R2 ) : f (x + y) = f (x) + f (y),
6
f (1) = 1.
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14.1. D´eterminer f (0), puis montrer que pour tout x0 ∈ R et tout n ∈ N
on a
f (−x0 ) = −f (x0 ), f (nx0 ) = nf (x0 ).
14.2. Montrer que f (x) = x pour tout nombre entier naturel, puis pour
tout nombre entier, puis pour tout rationnel x.
14.3. Si l’on suppose f continue, montrer que f (x) = x pour tout x r´eel. [On
pourra utiliser le fait que tout nombre r´eel est limite d’une suite croissante
de nombres d´ecimaux.]
14.4. Si l’on suppose f monotone, montrer que f est croissante et qu’`a
nouveau f (x) = x pour tout x r´eel.
14.5. Que peut-on dire sans l’hypoth`ese f (1) = 1 ?
B Exercice 15. D´eterminer le DL `a l’ordre 2 au voisinage de 0 de
ln(1 + x)
·
ln(1 − x)
B Exercice 16. Montrer l’existence et d´eterminer
√
lim
x→0, x6=0
√
1+x− 1−x
x
x2
−1
·
B Exercice 17. Montrer que le graphe de la fonction f : R → R, f (x) :=
ln(x2 + 2x + 2) est tangent en (0, ln 2) `a la droite d’´equation y = x + ln 2
avec point d’inflexion (la courbe traversant de haut en bas sa tangente).
B Exercice 18. Calculer le DL de tan `a l’ordre 7 en 0.
18.1. Comme quotient (tan = sin / cos).
18.2. En utilisant Taylor-Young.
18.3. En utilisant le fait que tan v´erifie l’´equation diff´erentielle y 0 = 1 + y 2 .
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III. Calcul de primitives (3 sem.)
B Exercice 19. D´eterminer les primitives ci-apr`es `a l’aide d’int´egrations par
parties appropri´ees.
R
19.1. ln x dx
R
19.2. arctan x dx
R
19.3. x sin x dx
R
19.4. xex dx
R
19.5. ex sin x dx
R
19.6. xex sin x dx
R
19.7. sin(ln x) dx
19.8.
Z
19.9.
Z
x dx
cos2 x
dx
(1 + x2 )2
B Exercice 20. D´eterminer les primitives de sin2 x cos2 x.
B Exercice 21. Soient a < b deux r´eels, et soit f : R → R continue telle que,
pour tout x ∈ R, f (a + b − x) = f (x).
21.1. Montrer que g : R → R d´efinie par g(x) := f ((a + b)/2 + x) est paire.
En d´eduire que
Z b−a
2
xg(x) dx = 0.
− b−a
2
21.2. Utiliser un changement de variable lin´eaire pour montrer que
b
Z
a
21.3. Calculer
Z
0
π
a+b
xf (x) dx =
2
Z
Z
π
x dx
1 + sin x
et
0
8
b
f (x) dx.
a
x sin x dx
·
1 + cos2 x
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B Exercice 22. Calculer les int´egrales ci-apr`es `a l’aide d’un changement de
variable appropri´e (r`egles de Bioche : t = cos x si invariance par x 7→ −x,
t = sin x si invariance par x 7→ π − x, t = tan x si invariance par x 7→ π + x).
22.1.
Z
π/2
π/3
22.2.
π/2
Z
π/3
22.3.
Z
dx
sin x
sin 2x dx
1 + sin x
π/3
dx
2 − sin2 x
π/2
dx
2 + sin x
0
22.4.
Z
0
´
IV. Equations
diff´
erentielles du premier ordre (2
sem.)
B Exercice 23. R´esoudre les ´equations diff´erentielles ci-apr`es en d´eterminant
une solution particuli`ere.
23.1. y 0 + y = cos x + sin x
23.2. y 0 + y = cos x − sin x
23.3. y 0 + y = cos x
23.4. y 0 − xy = x3
23.5. y 0 + 2xy = sh x + 2x ch x
23.6. y 0 + y sin x = sin 2x
B Exercice 24. R´esoudre les ´equations diff´erentielles ci-apr`es `a l’aide de la
m´ethode de la variation de la constante.
24.1. y 0 + y = cos x
24.2. xy 0 − y = x2 ex sur ]0, ∞[
24.3. (1 − x)y 0 − y = x sur ] − ∞, 1[, sur ]1, ∞[, sur R
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24.4. x(1 − x)y 0 − (3x − 1)y + x2 (x + 1) = 0 sur ] − ∞, 0[, sur ]0, 1[, sur
] − ∞, 1[, sur ]1, ∞[, sur R
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