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DEVOIR LIBRE n˚6
Pour le Mercredi 22 Janvier 2014
`
´
PROBLEME
: ETUDE
DE LA FONCTION SINUS CARDINAL
D’apr`
es un sujet « Petites Mines »
On consid`ere dans ce probl`eme les deux fonctions F et G d´efinies sur R
F px q G px q sin x
x
par :
1 cos x
x
Pr´
eliminaires
sin x
1 cos x
1
En exploitant lim
, en d´eduire que lim
.
2
xÑ 0 x
xÑ 0
x
2
On pourra exprimer cos x `
a l’aide de la formule de l’angle moiti´e.
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Partie A - Etude
des deux fonctions
1. (a) Montrer que les fonctions F et G sont continues sur R .
(b) Montrer que les fonctions F et G sont prolongeables par continuit´e en 0.
On notera encore F et G ces prolongements.
2. (a) Montrer que les fonctions F et G sont d´erivables sur R et calculer leurs d´eriv´ees.
(b) D´emontrer, `
a l’aide des pr´eliminaires, que G est d´erivable en 0. Pr´eciser la valeur de G1 p0q.
On admet `
a partir de maintenant et jusqu’`
a la fin de la partie A que F est d´erivable en 0 et que
F 1 p0q 0, ce r´esultat sera d´emontr´e dans la partie B.
(c) G est-elle de classe C 1 sur R ?
3. (a) Montrer que les r´eels strictement positifs tels que F pxq 0 constituent une suite pak qk¥1 strictement croissante. On donnera explicitement la valeur de ak .
(b) Montrer que les r´eels strictement positifs tels que Gpxq 0 constituent une suite pbk qk¥1 strictement croissante. Y-a-t-il un lien entre les suites pak qk¥1 et pbk qk¥1 ?
4. (a) Soit k un entier naturel non nul. Montrer sans aucun calcul qu’il existe un r´eel xk Psak , ak 1 r tel
que F 1 pxk q 0.
(b) Montrer que F 1 est du signe de h : x ÞÑ x cospxq sinpxq sur R .
(c) D´emontrer que, pour tout k P N , la fonction h est strictement monotone sur rak , ak 1 s.
(d) En d´eduire l’unicit´e du r´eel xk d´efini dans la question 4.(a).
π
´
(e) Etablir
que : @k P N , xk P rak , ak
s.
2
(f) Calculer lim xk puis trouver un ´equivalent simple de la suite pxk q.
k
Ñ 8
5. Tracer l’allure de la courbe repr´esentative CF de la fonction F lorsque l’abscisse varie dans r0, 4π s. On
se placera dans un rep`ere orthogonal pO,~i, ~j q tel que }~i} 1 cm et }~j } 10 cm. On fera apparaitre
clairement les tangentes horizontales `
a la courbe et on pr´ecisera les points d’intersection de CF avec
l’axe pO,~iq.
Partie B - L’accroissement minutieux m`
ene `
a la r´
ecurrence
1. (a) Montrer, `
a l’aide du th´eor`eme des accroissements finis, que @θ
θ2
(b) En d´eduire que @θ P R, |1 cos θ| ¤ .
2
P R, | sin θ θ| ¤ |θ2|
| cos x 1| | sin x x| .
(a) Justifier que @x P R , |F 1 pxq| ¤
|x|
x2
(b) En d´eduire que F de classe C 1 sur R et que F 1 p0q 0.
Soit pun q d´efinie par u0 ¥ 0 et la relation de r´ecurrence un 1 Gpun q.
(a) Montrer que 0 ¤ un ¤ 1 pour tout n ¥ 1.
1
´
(b) Etablir
a l’aide de la question B.1. que @n ¥ 0, 0 ¤ un 1 ¤ un .
`
2
(c) En d´eduire que pun q converge et donner sa limite.
2. Montrer `a l’aide de la question pr´ec´edente que @θ
3.
4.
P R, | sin θ| ¤ |θ|.
Lyc´ee de l’Essouriau
1
3
.
PCSI