Transcript Fiche : angles orientés et trigonométrie Exercice 1 : C est le cercle

Fiche : angles orientés et trigonométrie
Exercice 1 : C est le cercle trigonométrique de centre O et de repère
(O;I,J).
1/ Placer, sur le cercle trigonométrique les points A, B, C, D, E
associés aux réels :
π
−3 π
,
4 ,
4
5π
4
,
−12 π
,
3
19 π
.
3
Exercice 2 : Calculer les cosinus et sinus suivants, puis contrôler
avec votre calculatrice :
19 π
)
3
−7 π
)
c) cos (
4
a) cos (
19 π
)
3
−7 π
)
d) sin(
4
b) sin(
Exercice 5 : Soit un carré ABCD de centre I. Donner les mesures
des angles orientés :
⃗ , AC
⃗ )
⃗ , DA)
⃗
⃗ , IC
⃗)
a) ( AB
b) ( AC
c) ( IB
⃗ , BC)
⃗
d) ( IC
⃗ , BA)
⃗
e) ( DC
Exercice 6 :
π
1/ Résoudre dans ]−π ;π ] l'équation sin( x)=sin ( 6 ) .
2π
) .
3
2
l'équation cos ( x)= √ .
2
2/ Résoudre dans ℝ l'équation cos ( x)=cos(
3/ Résoudre dans ]−π ,π ]
Exercice 7 : Calculer les valeurs exactes de :
−π
−π
5π
Exercice 3 : Soit (O;I,J) un repère orthonormé du plan et C le cercle a) cos ( 3 )
b) sin( 6 )
c) cos ( )
4
trigonométrique de centre O. P et R sont des points de C tels que
29 π
17 π
35 π
)
)
)
(OP) et (OR) sont les bissectrices des angles IOJ et IOJ ', où J ' est le d) sin(
e) cos (
f) sin(
6
4
3
symétrique de J par rapport à O. De plus, les points P ' et R ' sont les
symétriques de P et R par rapport à O.
Exercice 8 : Le triangle ABC est un triangle équilatéral. La droite
(AH) est la hauteur issue de A et H est le pied de la hauteur. Donner
⃗ , OR
⃗ ) ,
1/ Donner les mesures en radians des angles ( OI
les mesures principales des angles orientés suivants :
⃗ , OP
⃗ ' ) , ( OP
⃗ , OR)
⃗
⃗ , OR
⃗ ) .
( OP
, ( OJ
⃗ , HC
⃗ )
⃗ , CA)
⃗
⃗ , CB)
⃗
a) ( HA
b) ( CB
c) ( AC
2/ Placer sur le cercle C les points A et B tels qu'une mesure de
−π
π
⃗ , OA)
⃗
⃗ , OB
⃗ ) est
( OI
est 8 et une mesure de ( OP
8 .
Exercice 4 : Déterminer la mesure principale des angles orientés
dont une mesure en radians est :
a)
43 π
4
b)
59 π
3
c)
−25π
6
d)
−23π
6
Exercice 9 : Le triangle ABC est rectangle et isocèle en A. Le
triangle ADB est équilatéral (les deux triangles ne se coupant pas
l'un l'autre). Déterminer la mesure principale des angles :
⃗ , AC
⃗ )
⃗ , BD
⃗ )
⃗ , DB)
⃗
a) ( AD
b) ( BC
c) ( BA
Exercice 10 : A, B, C et D sont quatre points du plan tels que :
⃗ , AD
⃗ )= 3 π +2 k π , ( AB
⃗ , AE
⃗ )= −2 π +2 k π ,
( AB
4
3
−5
π
⃗ , AC
⃗ )=
( AD
+2 k π .
12
1/ Calculer une mesure en radian de chacun des angles orientés
suivants :
⃗ , AE
⃗ ) ,( BC
⃗ , BE)
⃗ et( EA
⃗ , EC
⃗ ) .
( AB
Démontrer que les points A, E et C sont alignés.
Exercice 11 : Calculer les expressions suivantes sans utiliser la
calculatrice :
2π
4π
6π
8π
)+sin(
)+sin ( )+sin ( )
5
5
5
5
2
π
3
π
9π
B=cos( π )+cos ( )+cos(
)+cos ( )
10
5
5
10
A=sin(
π
Exercice 12 : Soit x un réel appartenant à l'intervalle [−π ; 2 ] . M
est le point du cercle C associé à x.
1/ Placer M tel que cos ( x)=
−3
.
4
2/ Calculer sin( x) .
3/ Calculer :
π
π
a) cos ( 2 +x )
b) sin( 2 − x)
d) cos (π−x)
e) sin(π+ x)
c) cos (π+x)
f) sin( π− x)
Exercice 13 :
1/ Résoudre dans ℝ l'équation : 2 cos ²( x)−cos( x)=0 .
2/ Résoudre dans [0; π ] l'équation :
(2 cos ( x )−√ 3)(cos ( x)−1)=0 .
3/ Résoudre dans ℝ l'équation : 4 cos ² (x )−3=0 .
√
4/ Résoudre dans [0 ; 2 π [ l'équation : sin( π − x)=
6
Exercice 14 : Soit ABCD un carré direct, et ABE un triangle
équilatéral direct.
2
.
2
2/ Calculer une mesure en radian de chacun des angles orientés
suivants :
⃗ , EC
⃗ ) ,( DC
⃗ , EC
⃗ )et ( AE
⃗ , BE)
⃗
( AD
.
3/ Construire, à l'extérieur du carré ABCD, le point F tel que le
triangle BFC soit équilatéral. À l'aide de calculs d'angles, démontrer
que les points D, E et F sont alignés