Transcript - Devoir surveillé n 5 - MATHEMATIQUES Analyse et alg`ebre Probl

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Devoir surveill´
e n 5-
Samedi 21 f´evrier 2014
MATHEMATIQUES
Analyse et alg`
ebre
Le sujet se compose de deux probl`emes qu’on prendra soin de lire en entier avant de commencer.
Il sera tenu compte de la pr´esentation et en particulier de l’encadrement des r´esultats.
L’usage de la calculatrice n’est pas autoris´e au cours de l’´epreuve.
Si au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signale
sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a ´et´e amen´e a`
prendre.
Probl`
eme 1 : Agro-V´
eto A 2012
1. Un exemple d’une r´
eduction simultan´
ee d’une famille de matrices
3
Pour tout triplet (a, b, c) appartenant
 noterons M (a, b, c) la matrice appartenant `a
 `a R , nous
a
c
b
M3 (R) d´efinie par : M (a, b, c) =  c a + b c  .
b
c
a
Nous noterons I = M (1, 0, 0) la matrice unit´e, J = M (0, 1, 0) et K = M (0, 0, 1).
a) Sans aucun calcul, montrer que J et K sont diagonalisables.
b) Recherche des ´
el´
ements propres de K
i. D´eterminer les valeurs propres de K.
ii. Pour chaque valeur propre de K, d´eterminer une base du sous-espace propre associ´e.
Les vecteurs intervenant seront choisis de troisi`eme composante ´egale a` 1.
c) Recherche des ´
el´
ements propres de J
i. D´eterminer les valeurs propres de J.
ii. Pour chaque valeur propre de J, d´eterminer une base du sous-espace propre associ´e.
d) Recherche de vecteurs propres communs `
a J et K
√ √ i. Montrer que : V ect ((1, 0, 1) , (0, 1, 0)) = V ect 1, 2, 1 , 1, − 2, 1 .
ii. En d´eduire une matrice P inversible appartenant `a M3 (R) telle que P −1 KP et P −1 JP
soient diagonalisables.
La derni`ere ligne de P sera constitu´ee uniquement de 1.
e) En d´eduire une base de R3 permettant pour tout (a, b, c) appartenant `a R3 , de diagonaliser
la matrice M (a, b, c) et donner une matrice diagonale D semblable `a M (a, b, c).
2. R´
eduction simultan´
ee de deux matrices dans le cas g´
en´
eral
Consid´erons deux matrices A et B appartenant `a M3 (R).
Dans toute cette question on suppose que A et B sont diagonalisables et que : AB = BA.
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→
→
→
(E, +, ·) d´esigne un espace vectoriel r´eel de dimension 3, ε = (−
e1 , −
e2 , −
e3 ) d´esigne une base de
E.
(
M at (f, ε) = A
Consid´erons les endomorphismes f et g de E d´efinis par :
.
M at (g, ε) = B
µ ´etant une valeur propre de f, Eµ (f ) d´esigne le sous-espace propre de f associ´e `a la valeur
propre µ de f.
λ ´etant une valeur propre de g, Eλ (g) d´esigne le sous-espace propre de g associ´e `a la valeur
propre λ de g.
−
a) λ ´etant une valeur propre de g, →
x appartenant `a Eλ (g), montrer que :
→
→
g (f (−
x )) = λf (−
x ),
→
et en d´eduire que f (−
x ) appartient `a Eλ (g).
b) Nous supposons dans cette question que B admet une unique valeur propre λ.
i. Montrer que : B = λI3 , I3 repr´esentant la matrice identit´e.
ii. Justifier alors l’existence d’une matrice P inversible appartenant `a M3 (R) telle que
les matrices P −1 AP et P −1 BP soient diagonales.
c) Nous supposons dans cette question que B admet trois valeurs propres deux `a deux distinctes λ1 , λ2 , λ3 .
i. λ ´etant une valeur propre de B, quelle est la dimension de Eλ (g)?
→
x un vecteur non nul appartenant `a Eλ (g), montrer
ii. λ ´etant une valeur propre de B, −
→
→
qu’il existe un r´eel µ tel que : f (−
x ) = µ−
x.
iii. Montrer alors l’existence d’une base de E constitu´ee de vecteurs propres communs `a
f et g.
d) Nous supposons dans cette question que B admet deux valeurs propres distinctes λ1 , λ2 .
i. Montrer que : E = Eλ1 (g) ⊕ Eλ2 (g).
ii. µ d´esigne une valeur propre de f.
→
→
→
Soit −
x appartenant `a Eµ (f ), justifier l’existence de −
x 1 appartenant `a Eλ1 (g) et de −
x2
→
−
→
−
−
→
→
−
→
−
appartenant `a Eλ2 (g) tels que : x = x1 + x2 , puis montrer que x1 et x2 appartiennent
`a Eµ (f ).
iii. µ d´esigne toujours une valeur propre de f.
Montrer alors que : (Eµ (f ) ∩ Eλ1 (g)) ⊕ Eµ (f ) ∩ Eλ2 (g) = Eµ (f ).
En d´eduire l’existence d’une base de Eµ (f ) constitu´ee de vecteurs propres de g.
iv. En d´eduire l’existence d’une base de E constitu´ee de vecteurs propres communs `a f
et g.
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Probl`
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eto, ´
epreuve A, 2013
Autour de la fonction f : x 7−→
sin(x)
.
x
Consid´erons la fonction f d´efinie sur R+ par :
∀x ∈ R∗+ , f (x) =
sin(x)
et f (0) = 1.
x
1. Repr´esentation graphique de la fonction f .
a) Montrer que f est de classe C 1 sur R∗+ et calculer f ′ sur R∗+ .
b) Montrer que f est continue en 0, d´erivable en 0 et pr´eciser f ′ (0).
L’application f est-elle de classe C 1 sur R+ ?
c) Afin d’´etudier les variations de f sur R+ ,
nous introdusions la fonction g : x 7−→ x cos(x) − sin(x).
i. Etudier le signe de g sur [0, π] puis les variations de f sur [0, π].
ii. Soit n appartenant `a N∗ .
Montrer que l’´equation (En ) : x cos(x) = sin(x), x ∈ [nπ, (n + 1)π] admet une unique
solution xn , et en d´eduire le signe de g sur [nπ, (n + 1)π] puis les variations de f sur
[nπ, (n + 1)π].
Une discussion sur la parit´e de n intervient.
d) Etudier la limite de f en +∞ et pr´eciser la nature de la branche infinie.
e) Tracer l’allure de la courbe repr´esentative de f sur [0, 6π].
2. Etude des d´eriv´ees successives de f sur R+ .
a) Montrer que f est de classe C ∞ sur R∗+ .
✐ Nous rappelons que pour tout entier naturel n, la d´eriv´ee n`eme de f se note f (n) , la d´eriv´ee
n`eme de la fonction cosinus se note donc cos(n) .
Nous rappelons ´egalement que si f est une fonction continue sur un intervalle I = [a, b]
ou I = Z[a, b[, alors elle est int´egrable et sa primitive F s’annulant en a est d´efinie par :
x
F (x) =
a
f (t)dt. Cette primitive est de classe C 1 sur I et v´erifie : F ′ (x) = f (x), ∀x ∈ I.
Nous rappelons enfin la formule d’int´egration par partie pour deux fonctions u et v de classe
C 1 sur I = [a, b] :
Z b
Z b
′
b
u′ (t)v(t)dt
u(t)v (t)dt = [u(t)v(t)]a −
a
a
b) Montrer par r´ecurrence, que pour tout entier naturel n :
Rx n
1
u cos(n) (u) du.
∀x ∈ R∗+ , f (n) (x) = xn+1
0
Z x
1
∗
un cos(n) (0) du.
c) Soit n appartenant `a N, x appartenant `a R+ , calculer : n+1
x
0
L’expression attendue d´epend de cos(n) (0), valeur que vous ne chercherez ni a` ´evaluer, ni
a simplifier.
`
d) Soit n appartenant `a N, x appartenant `a R∗+ , montrer que :
Z x
(n)
(n)
(n)
n
(n)
du.
f (x) − cos (0) ≤ 1
u
cos
(u)
−
cos
(0)
n + 1 xn+1 0
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Samedi 21 f´evrier 2014
e) Soit n appartenant `a N, montrer que :
∀u ∈ R+ , cos(n) (u) − cos(n) (0) ≤ u.
f) En d´eduire que pour tout entier naturel n :
(n)
(n)
cos
(0)
∗
≤ x .
∀x ∈ R+ , f (x) −
n+1 n+2
cos(n) (0)
.
x→0
n+1
1
h) Montrer que f est deux fois d´erivable en 0 et que : f ′′ (0) = − ,
3
puis montrer que f est de classe C 2 sur R+ .
i) Montrer que pour tout entier naturel n, f est de classe C n sur R+ et pr´eciser la valeur
de f (n) (0).
g) Soit n appartenant `a N, montrer que : lim+ f (n) (x) =
Nous avons donc montr´e que f est de classe C ∞ sur R+ .
3. Expression des d´eriv´ees successives de f sur R∗+ .
π
a) Montrer que pour tout entier naturel k : ∀x ∈ R∗+ , sin(k) (x) = sin x + k .
2
1
b) Consid´erons la fonction inverse b : x 7−→ .
x
(−1)k k!
Montrer que pour tout entier naturel k : ∀x ∈ R∗+ , b(k) (x) =
.
xk+1
c) Pour n appartenant `a N, exprimer la d´eriv´ee n`eme de f en fonction des d´eriv´ees successives
des fonctions sin et b,
et en d´eduire que :
∀x ∈
R∗+
, f
(n)
n π k
1 X n
n−k
(−1) (n − k)! sin x + k
(x) = n+1
x .
k
x
2
k=0
d) Soit k appartenant `a N, x appartenant `a R∗+ .
Exprimer sin(2k) (x) en fonction de sin(x) et de k, puis sin(2k+1) (x) en fonction de cos(x)
et de k.
e) Montrer que pour tout entier naturel n et tout r´eel strictement positif x :
!
X (−1)n−k x2k
X (−1)n−k−1 x2k+1
n!
.
+ cos(x)
f (n) (x) = n+1 sin(x)
x
(2k)!
(2k
+
1)!
0≤2k≤n
0≤2k+1≤n
- FIN -
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