Transcript ds7 trigo moivre loi densité 2014

TS
DS 8 - 2h
vendredi 11 avril 2014
Exercice 1 : (5 points)
1. Résoudre dans [0; 2[ : 2 cos2 x cosx −1=0
3
2. Résoudre dans ]- ; ], sinx 
2
1,5
1
3. Résoudre dans [0; 2], cos (3x) = 0.
1,5
/3
4. Déterminer
∫ sinx e cos x d x
1
/6
Exercice 2 : (6 points)
1. X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ où λ est un réel strictement positif.
La fonction R définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par R(t ) = P(X > t ) est appelée fonction de fiabilité.
a. ROC émontrer que pour tout t > 0 on a Rt =e− λt .
1,5
b. ROC Démontrer que la variable X suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c’est-à-dire que pour tout
réel s > 0, la probabilité conditionnelle p X t  X t s ne dépend pas du nombre t >0.
2,5
2. La durée de vie de l’un de ces composants est une variable aléatoire notée X qui suit une loi de durée de vie
sans vieillissement ou loi exponentielle de paramètre λ, avec λ réel strictement positif.
a. Sachant que p(X > 5) = 0,325, déterminer λ. Pour les questions suivantes, on prendra λ = 0,225.
1
b. Quelle est la probabilité qu’un composant dure moins de 8 ans ?
0,5
c. Quelle est la probabilité qu’un composant dure plus de 8 ans sachant qu’il a déjà duré plus de 3 ans ? 0,5
Exercice 3 : (3 points) Liban 2010
1
3
2
2
1. Montrer que, pour tout réel x de [- ; ], f ' x =sinx 2cosx – 1
2. Etudier le signe de f' sur [- ; ] et construire le tableau de variations de f sur [- ; ].
f est la fonction définie sur [- ; ] par f x =– cos2 x cosx 
1
2
Exercice 4 : (2 points)
Dans un supermarché, le gérant a établi une statistique de ses ventes quotidienne de packs d'eau minérale. Il
apparaît que le nombre de X de packs vendus quotidiennement suit une loi normale de moyenne 52 et décart
type 12.
1. Le gérant ne peut stocker plus de 76 packs dans sa réserve, quelle est la probabilité qu'un jour il soit en
rupture de stock ?
2. Il veut maintenant limiter à 5% le risque de rupture de stock, quel doit être son stock minimum ?
Exercice 5 : (4 points) Liban 2010
Pour chacune des questions suivantes, une seule des réponses proposées est exacte. Un point est attribué à
chacune des questions. Toute réponse inexacte n'est pas pénalisée. Aucune justification n’est attendue.
1. On suppose que la durée d’attente à un guichet de service, exprimée en heure, suit la loi uniforme sur
l’intervalle [0 ; 1]. La probabilité que la durée d’attente d’une personne prise au hasard soit comprise entre 15
1
1
1
1
min et 20 min est :
A:
B:
C:
D:
.
3
5
12
42
2. On considère 10 appareils identiques, de même garantie, fonctionnant indépendamment les uns des autres.
La probabilité pour chaque appareil de tomber en panne durant la période de garantie est égale à 0,15.
La probabilité pour qu’exactement 9 appareils soient en parfait état de marche à l’issue de la période de garantie
est égale à :
A : 0,35 à 10− 2 près B : 0,859
C : 0,85 9×0,15
D : 0,859×0,15×10
3. Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Si p(-r < X < r) = 0,95 avec r >0.
r vaut environ :
A : 1,96
B : 0,05
C : 2,58
D : 0,01
4. Si Y suit N(2000 ; 10000) alors p(1800 < Y < 2200) vaut à 10 – 3 près :
A : 0,683
B : 0,954
C : 0,997
D : 1,002
Correction DS7
Exercice 1 : (5,5 points)
1. On pose X = cos x, 2 cos2 x cosx −1=0 ⇔ 2 X 2X −1=0 polynôme du second degré,  = 9, deux
1
1

5
racines réelles, X 1=– 1 et X 2= soit cos x = -1 ou cos x = , S={
;  ;
}
3
2
2
3
2

2. S = ]- ; 3 [ ∪ ]
; ]
3



3. Résoudre dans [0; 2], cos (3x) = 0 ⇔ 3 x = 2 k  k ∈ ℤ, ⇔ x= 6 k 3
k ∈ ℤ,

 5 7
3  11 
S = { 6 ; 2 ;
;
;
;
}
6
6
2
6
/3
4.
∫

sinx e
cos x
dx
=
[ – e cosx ] 3 =
6
/6
3
1
2
– e e 2
Exercice 2 : (7,5 points)
t
1. a. Pour tout t > 0 on a Rt =1− p  X t = 1−∫  e
0
–x
t
d x = 1 – [ – e –  x ] 0 = 1−−e− λ t 1=e− λ t
b. Voir cours
2. a. p(X > 5) = 0,325 ⇔ e− 5λ=0,325 ⇔ −5λ=ln 0,325 ⇔ λ=
−ln 0,325
≈ 0,225
5
b. p(X < 8) = 1- p(X>8) = 1−e −0,225×8 ≈ 0,835
c. p X 3  X 8=p X 5=0,325
Exercice 3 : (4,5 points)
1
3
2
2
1. f est dérivable sur [0;] comme somme de composée de fonctions dérivables et
−1
f ' x =
×−sin2x×2−sinx =sin2x−sinx=2sinx cosx −sinx=sinx 2cosx – 1
2
2. a. sur [- ; ], sin(x) = 0 ⇔ x = 0 ou x =  ;sin(x) > 0 ⇔ x ∈ ]0;[
1

1
−

2cos(x)-1=0 ⇔ cosx =
⇔x=
; 2 cos x  – 10 ⇔ cosx 
⇔x∈ ]
;
[
3
3
3
2
2
f est la fonction définie sur [- ; ] par f x =– cos2 x cosx 
x

sin x
0
2cosx-1
f '(x)
f(x)
0
0
-

3
-
-
-
0
+
+
0
-
9
4

3
0
0
0
2
Exercice 4 : (2,5 points)
1. p(X > 76) = 0,023
+

+
+
0
-
+
0
–
9
4
0
0
0
X – 52
suit la loi normale centrée réduite.
12
X – 52
n – 52
n – 52
p(X > n) = 0,05 ⇔ p(
>
) = 0,05 A la calculatrice on a
=1,64 soit n = 71,68, On choisit 72
12
12
12
pour ne pas dépasser 5%
2. On cherche n tel que p(X > n) = 0,05,