Transcript PCSI Lycée Paul Cézanne MATHEMATIQUES : devoir préparatoire

PCSI
Lycée Paul Cézanne
MATHEMATIQUES : devoir préparatoire
( à remettre le jour de la rentrée) Les questions sont numérotées de 1 à 7 et sont indépendantes entre elles.
1) CALCULS
a) Compléter : e  e  e
x
y
x y
2
b) Résoudre l’équation 4e
5 x
....  ....
 3e3 x  e x  0 grâce à un changement d’inconnue
2.(1) n
(1)n 1
(1) n 1


Simplifier f ( x) jusqu’à obtenir une fraction
x2 1 x2  2 x  1 x2  2 x  1
rationnelle dont le numérateur ne dépende pas de x.
c) On pose f ( x) 
2) DERIVATION / INTEGRATION
a) Calculer f '( x) dans les cas suivants : i) f est la fonction x a ecos x ii) f est la fonction
iii) f est la fonction x a ln( x3 ) iv) f est la fonction x a ln(2)
x a (2 x  1)2014
b) Calculer

1
0
2
2 xe x dx et

1
2x
0
x 1
2
dx
( on reconnaîtra dans les fonctions intégrées des dérivées )
3) INEGALITES
a) On rappelle que le domaine de définition d’une fonction f est l’ensemble des réels x tels que f ( x) existe
 1
Donner le domaine de définition de f dans les 2 cas suivants : i) f ( x)  x 2  1 ii ) f ( x)  ln  1  
 x
 x si x  0
b) La fonction valeur absolue
On rappelle que x  
 x si x  0
i) Tracer le graphe de la fonction valeur absolue.
ii) a désignant une constante réelle strictement positive et b une constante réelle résoudre l’inéquation
(d’inconnue x) x  b  a
iii) Que vaut
(2)2 ? Plus généralement étant donné un réel a que vaut
4) COMPLEXES

a2 ?

r r
a) Le plan étant muni d’un repère orthonormé direct O, u, v représenter
i) ( en vert) l’ensemble des points M d’affixe z tels que z  1  z
ii)( en noir) l’ensemble des points M d’affixe z tels que z  i  2
iii)( en bleu) l’ensemble des points M d’affixe z tels que Arg ( z ) 
6 i 2
2

(2)
4
z1
sous forme algébrique ( c’est-à-dire sous la forme
z2
z
x  iy, x, y  R ) , z1 et z2 sous forme trigonométrique ( ou exponentielle), puis 1 sous forme
z2
b) Soit z1 
z2  1  i . Ecrire


trigonométrique. En déduire les valeurs exactes de cos   et sin  
 12 
 12 
5) TRIGONOMETRIE
a) ( Répondre en s’aidant d’un cercle trigonométrique)
Que valent cos( x) et sin( x) ? Que valent cos    x  ,cos    x  ,sin(  x),sin(  x) ?
b) Remplir le tableau de valeurs :
/6
¨x
0
cos(x)
sin(x)
/ 4
/3
/ 2

Ces valeurs sont à connaître par cœur, de même que les formules suivantes , dites formules d’addition :
cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b et
sin(a  b)  sin a cos b  sin b cos a
ainsi que celles qui s’en déduisent immédiatement ( à compléter)




cos  x   =
sin  x   =
cos(a  b) =
sin(a  b) =
2
2


( donner 3 réponses en utilisant la relation cos 2 x  sin 2 x  1 ).
sin(2 x) =
cos(2 x) =
Exprimer cos 2 x et sin 2 x en fonction de cos(2 x) .
Un contrôle sur toutes ces formules sera fait à la rentrée.
Pour information les calculatrices n’étant pas autorisées dans la majorité des épreuves de math des
concours ne seront jamais autorisées lors des contrôles de math
sin( x)
. Quel est le domaine de définition de cette fonction ?
cos( x)
Montrer que la fonction tangente est périodique de période  .
Calculer (pour les x pour lesquels cela est possible) tan'( x)
( on en donnera 2 expressions :
l’une ne faisant intervenir que la fonction tan, l’autre que la fonction cos )
c) On définit la fonction tangente par : tan( x) 
Déterminer lim tan( x) et lim tan( x) .
x 2
x 
2
x  2
x  
2
  
Tracer le graphe de tangente sur   ;  puis sur
 2 2
 5 5 
  2 ; 2 
6) FORMULES DE SOMMATION
a) q désigne une constante complexe, n un entier naturel
Développer et simplifier le produit 1  q   1  q  q 2  .....  q n  . En déduire 1  q  ......  q n pour les
valeurs de q pour lesquelles cela est possible. (formule à savoir par cœur)
Que vaut 1  q  ......  q n si q  1 ?
n(n  1)
b) Prouver par récurrence l’égalité 1  2  3  ........  n 
(formule à savoir par cœur)
2
7) Et pour finir, un peu de PROBABILITES :
On lance 3 fois un dé non pipé. On note X la variable aléatoire qui vaut :
0 si on n’obtient aucun 6
1 si on obtient 6 au premier lancer
2 si on obtient 6 pour la première fois au deuxième lancer
3 si on obtient 6 pour la première fois au troisième lancer
et pour i  1, 2,3 on note Ai l’événement « le ième lancer donne 6 »
a) Donner la loi de X ( c’est-à-dire préciser P( X  k ) pour k  0,1, 2,3 )
( on s’efforcera de justifier les réponses en utilisant les événements Ai ).
b) Calculer l’espérance de X (On attend un résultat sous forme de fraction irréductible, c’est-à-dire
simplifiée au maximum)
Vous êtes arrivé(e) au bout, bravo. Bonne fin de vacances et à bientôt.
N. Tremeau et D. Contri (profs math)