Transcript Triangle rectangle : relations trigonométriques

ème
Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3
Triangle rectangle : relations trigonométriques
- exercices Exercice 1
Le triangle DEF est rectangle en D . Recopier et compléter les phrases suivantes :
a.
b.
c.
[EF] est …..
[DE] est le côté ….. à Eɵ et ….. à Fɵ .
[DF] est le côté ….. à Eɵ et ….. à Fɵ .
Exercice 2
DEF est un triangle rectangle en E et [EH] est la hauteur issue de E .
ɵ , sin Dɵ et tan Dɵ dans le triangle DEF .
a. Donner l’expression de cos D
ɵ , sin Dɵ et tan Dɵ dans le triangle DEH.
b. Donner l’expression de cos D
c. S’inspirer des deux questions précédentes pour exprimer de deux façons
différentes cos Fɵ , sin Fɵ , tan Fɵ .
Exercice 3
Les segments [ AB'] et [ A'B] se coupent au point M .
a. Expliquer pourquoi AMB = A'MB' .
AB A'B'
b. En déduire que
=
.
AM A'M
c. Calculer A'M
Exercice 4
Avec la calculatrice, donner dans chaque cas la valeur exacte ou l’arrondi au millième.
a. sin 10°
d. tan 25°
b. sin 30°
e. tan 45°
c. sin 72°
f. tan 80°
Exercice 5
ɵ.
Avec la calculatrice, donner dans chaque cas l’arrondi au dixième de la mesure de l’angle A
ɵ = 0, 1
a. sin A
ɵ = 0, 9
b. sin A
ɵ = 0, 6
c. cos A
ɵ = 0, 3
d. tan A
ɵ =8
e. tan A
ɵ=
f. sin A
5
3
Exercice 6
ɵ = 27° et AC = 10 cm. Calculer AB puis donner son
ABC est un triangle rectangle en C tel que A
arrondi au dixième.
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Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3
Exercice 7
Donner l’écriture décimale de
a. cos Bɵ
c. sin Cɵ
b. tan Bɵ
d. tan Cɵ
Exercice 8
Soit ABC un triangle tel que :
AB = 13 cm ; AC = 12 cm ; BC = 5 cm.
1. Quelle est la nature de ABC ? Pourquoi ?
2. Déterminer une valeur approchée de l'angle BAC au degré près.
3. Soit M un point de [ AC ] tel que CM = 3 cm. Soit N un point de [ AB] tel que BN = 3, 25 cm.
a. Montrer que la droite (MN) est parallèle à la droite (BC ) .
b. Calculer MN .
Calculer l'aire du quadrilatère MNBC .
Exercice 9
Soit KLM un triangle isocèle de sommet principal K , tel que KL = 5 cm et LM = 3 cm. On appelle H le
pied de la hauteur issue de K .
a. Démontrer que LH = 1, 5 cm
b. Calculer sin KLM , cos KLM et tan KLM .
c. Calculer une valeur arrondie au degré près de KLM , puis LKM .
Exercice 10
On veut mesurer la hauteur d’une cathédrale. Grâce
à un instrument de mesure placé en O à 1, 5 m du
sol et à 85 m de la cathédrale, on mesure l’angle
COB et on trouve 59° .
a. Déterminer la longueur CB arrondie au
dixième.
b. En déduire le hauteur de la cathédrale que
l’on arrondira au mètre.
Exercice 11
Un rayon lumineux est dévié lorsqu’il passe de l’air à l’eau. L’angle ɵi
(appelé angle d’incidence) et l’angle rɵ (appelé angle de réfraction)
représentés ci-contre, sont tels que :
sin rɵ =
3
× sin ɵi
4
a. Calculer l’arrondi au degré de rɵ lorsque ɵi = 35° .
b. Calculer l’arrondi au degré de ɵi lorsque rɵ = 45° .
c. Peut-on avoir rɵ = 50° ?
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Exercice 12
Un cartographe doit déterminer la largeur CD d’une rivière.
Voici les relevés qu’il a effectué sur le terrain :
AB = 100 m, BAD = 60° , BAC = 22° , ABD = 90°
a. Calculer la valeur exacte de BC .
b. Calculer la valeur exacte de BD .
c. En déduire l’arrondi au dixième de la largeur de la
rivière.
Exercice 13
TRUC est un rectangle de périmètre 28 cm et de longueur RT = 8 cm .
O est l’intersection de ses diagonales.
Calculer la valeur arrondie de RS et OS à 10 −2 cm près
Exercice 14
1. Calculer MQ et QP .
2. Calculer tan Pɵ de deux façons différentes.
3. a. Calculer cos Pɵ de deux façons différentes et vérifier
l’égalité des deux résultats.
b. Reprendre cette question avec sin Pɵ .
4. Calculer sin QNM .
5. En déduire deux angles de même mesure pour la figure
ci-contre.
Exercice 15
1. On sait que sin x =
8
2
2
. Utiliser la relation ( cos x ) + ( sin x ) = 1 pour calculer la valeur
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exacte de cos x .
2.
En déduire tan x .
Exercice 16
On sait que tan x =
5
5
et sin x = .
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1. Calculer la valeur exacte de cos x en utilisant la relation tan x =
2. Vérifier que ( cos x ) + ( sin x ) = 1 .
2
2
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sin x
cos x