Transcript Fonctions trigonométriques - École Secondaire du Mont

Mathématiques SN
Les fonctions
TRIGONOMÉTRIQUES
Réalisé par : Sébastien Lachance
Mathématiques SN
- Les fonctions TRIGONOMÉTRIQUES Fonctions SINUSOÏDALES
Fonction
SINUS
f(x) = sin x
Fonction
COSINUS
f(x) = cos x
(forme générale de BASE)
f(x) = a sin [ b ( x – h ) ] + k
(forme générale TRANSFORMÉE)
(forme générale de BASE)
f(x) = a cos [ b ( x – h ) ] + k
(forme générale TRANSFORMÉE)
Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction),
l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet.
Exemple :
f(x) = - 2 sin [ 3 ( x – 1 ) ] + 4
a
b
h
k
a
b
h
k
=
=
=
=
-2
3
1
4
Fonction SINUS
f(x) = sin x
L’angle « x » n’est pas en DEGRÉ, il
est en RADIAN !
(forme générale de BASE)
Attention avec votre calculatrice* !
x
f(x)
0
0

2

3
2
*Appuyer sur « MODE » et « RADIAN »
2
1
1
0
-1
-7
2
2
5
2
3
7
2
-3 -5
2
-2
-3
2
-
-

2
2
0
-1
1
-2
0
-1

3
2
2
5
2
3
7
2
Fonction SINUS
f(x) = sin x
L’angle « x » n’est pas en DEGRÉ, il
est en RADIAN !
(forme générale de BASE)
Attention avec votre calculatrice* !
x
-
2
*Appuyer sur « MODE » et « RADIAN »
f(x)
-1
2
-
- 3
2
- 2
- 5
2
- 3
- 7
2
0
1
1
0
-7
2
-3 -5
2
-2
-3
2
-
-

2
2
-1
-1
0
-2
1

3
2
2
5
2
3
7
2
Fonction COSINUS
f(x) = cos x
(forme générale de BASE)
x
f(x)
0
1

2

3
2
2
0
1
-1
0
-7
2
2
-
2
-
-3
2
-3 -5
2
-2
-3
2
-
-

2
2
1
-1
0
-2
-1
0

3
2
2
5
2
3
7
2
f(x) = sin x
f(x) = cos x
2
1
-7
2
-3 -5
-2
-3
-
2
2
-

2
2

3
2
2
5
3
2
7
2
-1
-2
f(x) = cos x
2
1
-7
2
-3 -5
2
-2
-3
2
-
-

2
2
-1
-2

3
2
2
5
2
3
7
2
f(x) = sin x
f(x) = cos x
2
–/2
1
-7
2
-3 -5
2
-2
-3
2
-
-

2
2

3
2
2
5
2
3
7
2
-1
-2
 La fonction COSINUS est une fonction SINUS qui a subie une translation
horizontale de  / 2 vers la gauche.
 Cette translation est appelée DÉPHASAGE.
 Comme c’est le paramètre « h » qui représente la translation horizontale de
la courbe, on peut donc écrire que :
cos x = sin ( x +  / 2 )
OU
sin x = cos ( x –  / 2 )
(car h = -  / 2)
(car h =  / 2)
 La fonction COSINUS est donc une fonction SINUSOÏDALE.
f(x) = sin x
2
Période
1
A
-7
2
-3 -5
-2
2
-3
-
2
-

2
2
Cycle

3
2
2
5
2
-1
-2
 Les fonctions SINUSOÏDALES sont des fonctions CYCLIQUES.
 CYCLE : Plus petite portion de la courbe qui se répète.
 PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE.
P =
2
|b|
 AMPLITUDE : Variation de la hauteur de la fonction.
A =
Max – Min
2
A = |a|
3
7
2
Exemple :
f(x) = 2 sin ( 2 x )
3
Période
2
1
-7
-3 -5
2
2
-2
-3
-
2
A
-

2
2
Cycle

3
2
2
5
3
2
7
2
-1
-2
 PÉRIODE = 3
P =
2
P =
|b|
 AMPLITUDE = 2
A =
Max – Min
2
2
2
= 2 x 3 = 3
2
3
A =
2 – -2
2
= 2
A = |a|
A = |2|
A = 2
Représentation graphique
Méthode du RECTANGLE :
On forme un rectangle qui contient un cycle de la fonction.
COSINUS
SINUS
(h, k + a)
A
A
(h, k)
(h, k)
A
A
Période
Période
ATTENTION ! Le signe des paramètres a et b influencent l’orientation du graphique !
Donc si a est négatif ou b est négatif, on obtient :
COSINUS
SINUS
A
A
(h, k)
(h, k)
A
A
Période
(h, k – a)
Période
Exemple #1 : Tracer f(x) = 2 sin 2 ( x +  ) + 2
(h, k) = (- , 2)
A = |a| = |2| = 2
P =
2
2
=
|b|
= 
|2|
P
4
3
A
2
1
-7
2
-3
-5
2
-2
-3
2
-
-

2
2

3
2
2
5
2
3
7
2
Exemple #2 : Tracer f(x) = - 2 sin ( x – /2 ) + 1
(h, k) = (/2 , 1)
A = |a| = |-2| = 2
P =
2
2
=
|b|
= 2
|1|
4
P
3
2
A
1
-7
2
-3
-5
2
-2
-3
2
-
-

2
2

3
2
2
5
2
3
7
2
Exemple #3 : Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous
sous la forme :
A) f(x) = a sin b( x – h ) + k
B) f(x) = a cos b( x – h ) + k
(h, k) = (-  , 3)
5 = a
A = |a|
2
P =
|b|
2
3 =
|b| =
|b|
2
2
=
3
3
Réponse :
f(x) = 5 sin 2 ( x +  ) + 3
3
8
P
6
A
4
2
-7
2
-3
-5
2
-2
-3
2
-
-

2
2

3
2
2
5
2
3
7
2
Exemple #3 : Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous
sous la forme :
A) f(x) = a sin b( x – h ) + k
B) f(x) = a cos b( x – h ) + k
(h, k) = (-  , 3)
(h, k) = (- /4 , 3)
5 = a
A = |a|
2
P =
|b|
2
3 =
|b| =
|b|
2
3 =
2
=
|b| =
3
3
Réponse : f(x) = 5 sin
5 = a
A = |a|
2
P =
|b|
2 (x+)+3
3
3
P
6
2
2
-3
-5
2
-2
-3
2
-
=
2
3
Réponse : f(x) = 5 cos 2 ( x +  ) + 3
4
-7
|b|
2
3
8
A
2
-

2
2

3
2
2
5
2
3
7
2
4
Mathématiques SN
- Les fonctions TRIGONOMÉTRIQUES -
Fonction TANGENTE
f(x) = tan x
(forme générale de BASE)
f(x) = a tan [ b ( x – h ) ] + k
x = ( h + P ) + Pn où n  
(forme générale TRANSFORMÉE)
(Équation des ASYMPTOTES)
2
Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction),
l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet.
Exemple :
f(x) = - 2 tan [ 3 ( x – 1 ) ] + 4
a
b
h
k
a
b
h
k
=
=
=
=
-2
3
1
4
f(x) = tan x
(forme générale de BASE)
x
f(x)
0
0

4
3
8

2
-
4
- 3
8
-
2
L’angle « x » n’est pas en DEGRÉ, il
est en RADIAN !
Attention avec votre calculatrice* !
*Appuyer sur « MODE » et « RADIAN »
1
5
2,41

-7
2
-3 -5
2
-2
-3
2
-
-

2
2
-5
-1
-2,41


3
2
2
5
2
3
7
2
Période
f(x) = tan x
5
-7
2
-3 -5
-2
-3
-
2
2
-

2
2

3
2
2
5
2
3
7
2
-5
 La fonction TANGENTE est une fonction CYCLIQUE.
 PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE.
P =

|b|
 Il n’y a pas d’AMPLITUDE associée à cette fonction (contrairement aux fonctions
sinusoïdales.)
Période
Asymptote
f(x) = tan x
Asymptote
x=h– P
x=h+ P
2
2
5
-7
2
-3 -5
2
-2
-3
-
2
-P
P
2
2
-
(h, k)
2
2

-5
 Les équations des asymptotes sont donc :
x = ( h + P ) + Pn où n  
2
3
2
2
5
2
3
7
2
Exemple :
Représenter graphiquement f(x) = - 2 tan [ 1 ( x +  ) ] + 3 .
2
4
(h, k) = (- /2 , 3)

P =

=
|b|
= 4
| 1/4 |
Période = 4
Période = 4
- 2
5
+ 2
Période = 4
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-
-5

2
3
4
5
6
7