Transcript 1 calculs simples 2 intégration par parties 3 changement de variable

CALCULS DE PRIMITIVES ET D’INTÉGRALES
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
1
1
CALCULS
SIMPLES
————————————–
8
Déterminer directement sans aucun calcul d’intégrale une primitive des fonctions suivantes :
1
2
1)
x 7−→ xe−3x .
2) x 7−→
.
x(ln x)4
x2
1
.
4) x 7−→
.
3)
x 7−→
th x
1 + x3
sin(2x)
5)
x 7−→
.
6) x 7−→ tan2 x.
1 + cos2 x
1
1
.
8) x 7−→
7)
x 7−→
p
p .
2
x
+
x
cos x tan x
ln ln x
x
.
10) x 7−→ ee +x .
9)
x 7−→
x
1
1
11)
x 7−→
.
12) x 7−→ 2 .
2
x + x(ln x)
ch x
1
1
14) x 7−→ p
13)
x 7−→ p
.
p .
3
x 1 + ln x
x+ x
Déterminer une primitive des fonctions suivantes
en intégrant par parties :
1)
x 7−→ Arctan x.
2) x 7−→ (x ln x)2 .
x
2 x
3)
x 7−→ x e .
4) x 7−→
.
cos2 x
5)
x 7−→ ln 1 + x 2 .
6) x 7−→ Arcsin x.
7)
x 7−→ x ch x.
8) x 7−→ x sin2 x.
9)
x 7−→ x Arctan x.
————————————–
Pour tous p, q ∈ N, on pose :
9
I p,q =
1
0
t p (1 − t)q dt.
1) Montrer que pour tous p ∈ N et q ∈ N∗ :
————————————–
q
I p+1,q−1 .
p+1
I p,q =
Déterminer une primitive des fonctions suivantes :
1)
x 7−→ cos4 x sin2 x.
2) x 7−→ cos3 x sin4 (2x).
2
Z
2) En déduire que pour tous p, q ∈ N :
————————————–
I p,q =
3
Déterminer une primitive des fonctions sui1
.
vantes :
a) x 7−→
1 + x + x2
2 − 5x
3x + 2
.
b)
x 7−→
.
c) x 7−→
1 + x2
2x 2 − 4x + 3
x +3
d)
x 7−→ 2
x − 2x + 5
Déterminer une primitive de la fonction
2)
1
x 7−→ 3
sur R \ 1 .
x −1
1)
3) En déduire enfin une expression simplifiée de
q  ‹
X
q (−1)k
pour tous p, q ∈ N.
k p+k+1
k=0
————————————–
3
————————————–
10
Calculer, en Z
utilisant l’exponentielle complexe :
π
4
e t sin(3t) dt.
1) l’intégrale
0
2) une primitive de x 7−→ sin x sh x.
————————————–
5
Soit f ∈ C (I , R) dont on note F une primitive.
Calculer la dérivée de x 7−→ x f −1 (x)−F f −1 (x) . Conclusion ?
————————————–
Soit f ∈ C [0, 1], R . Calculer :
6
1
lim
x→0 x
puis interpréter géométriquement.
Z
p! q!
.
(p + q + 1)!
x
f (t) dt,
0
CHANGEMENT
DE VARIABLE
Déterminer une primitive des fonctions suivantes
en commençant par y effectuer un changement de variable :
p
1
1)
x 7−→ p
en posant t = e x − 1.
x
e −1
p
x
en posant t = 1 + x .
2)
x 7−→ p
1+ x
1
en posant :
a) t = e x .
3)
x 7−→
ch x
b)
t = sh x.
c) t = th x.
4)
x 7−→ sin(ln x) en posant t = ln x.
p
1
5)
x 7−→ p
en posant t = x 2 − 1.
2
x x −1
p
6)
x 7−→ 1 − x 2 en posant x = sin t.
1
7)
x 7−→
en posant t = tan x.
1 + tan x
1
en posant t = cos x.
8)
x 7−→
sin x + sin(2x)
————————————–
————————————–
2
7
INTÉGRATION
11
PAR PARTIES
1)
Calculer, en
Z πintégrant par parties :
2)
t
e sin(3t) dt.
1) l’intégrale
0
3)
2) une primitive de x 7−→ sin x sh x.
1
Calculer
:
Z1
p
t 2 1 − t 2 dt en posant t = sin θ .
−1
Z1
dt
en posant x = e t .
t
e +1
0
Z π
6 dθ
en posant x = sin θ .
cos θ
0
CALCULS DE PRIMITIVES ET D’INTÉGRALES
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
4)
Z
1
0
12
1)
R∗+ .
2)
p
dt
en posant x =
t2
p
+t+1
————————————–
t 2 + t + 1−t.
Déterminer une primitive de x 7−→
ln x
sur
x
Soit α ∈ R \ − 1 . Déterminer une
primitive de x 7−→ x α ln x sur R∗+ au moyen d’un
changement de variable du type x = t β avec
β ∈ R à préciser.
————————————–
Z π
2
sin t
dt
On pose : S =
13
sin t + cos t
0
Z π
2
cos t
et : C =
dt.
sin
t
+ cos t
0
1) Montrer que S = C par changement de variable.
2) Que vaut S + C ? En déduire S et C.
Z1
dt
.
3) En déduire
p
t
+
1 − t2
0
————————————–
Z π
6 cos2 t
dt
On pose : I =
14
cos(2t)
0
Z π
6 sin2 t
et : J =
dt.
cos(2t)
0
1) Calculer I − J .
2) Calculer I + J en posant x = tan t.
3) En déduire I et J .
————————————–
15
On fait semblant dans cet exercice de NE PAS
connaître la fonction logarithme et pour tout x ∈ R∗+ ,
Z x
dt
on pose : L(x) =
. Montrer que pour tous
t
1
x, y ∈ R∗+ : L(x y) = L(x) + L( y).
————————————–
Z x
ln t
dt pour tout x ¾ 1 en
Calculer
16
1 t2 + 1
x
1
posant astucieusement u = .
t
————————————–
17
Montrer que les fonctions suivantes sont dérivables et calculer
dérivées :
Z leurs
2x
dt
.
1)
x 7−→
p
1 + t4
Z−x
2π
cos(t x)
2)
x 7−→
dt.
t
Zπx
3)
x 7−→
f t + x 2 dt où f ∈ C (R, R).
Z02π
4)
5)
x 7−→
x 7−→
Z0 x
0
f (x − t) cos t dt
p
où f ∈ C (R, R).
x − t sin t dt.
————————————–
2