TP N°1: Mécanisme à Trois Bras

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Mécanisme à Trois Bras

Objectifs : • Déterminer l’influence de différents paramètres (longueurs et rayons) sur la réponse du système Conditions de réalisation : • • • • Maquette d’étude de mouvement de mécanisme à trois bras Règle calculatrice Polycopiés fascicule (Licence N1 /Durée 3H) • • Connaissances de base en cinématique de point matériel Techniques de mesures • • Motivation, travail réalisé 50 %. Entretien et compte rendu 50%.

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1-Introduction :

Les mécanismes de transmission sont multiples dans le domaine de génie mécanique. Une transmission peut être souple (courroie, 3 doigts et bride en caoutchouc, etc.), ou rigide (engrenages , cardans , chaînes , bras, cames, etc.) . Selon la nature du mouvement désiré à la sortie et selon les conditions de transmission, on opte pour le choix d'une solution de transmission. Le mouvement de rotation peut être transformé en un mouvement de rotation alternatif par l'intermédiaire de 3 bras rigides articulés à leurs extrémités.

2- buts :

Cette manipulation a pour but de : Déterminer graphiquement la relation entre la rotation imposée θ à un premier disque et la réponse β de la rotation du second disque. Etudier l'influence de la longueur L du bras intermédiaire sur la réponse β . Etudier l'influence du rayon R du second bras sur la réponse β . Etudier l'influence du rayon r du premier bras sur la réponse β .

3- Principe :

Cette manipulation comporte 3 phases d'études :  Variation de la réponse β en fonction de l’angle θ imposé pour différentes longueurs du bras intermédiaire L1, L2, L3, L4, L5.  Variation de la réponse β en fonction de la rotation θ imposée pour différents rayons R2, R3, R4, R5, décrits par le deuxième bras fixé sur le second disque.  Variation de la réponse β en fonction de l'angle θ imposé pour différents rayons r1, r2, décrits par le premier bras fixé sur le premier disque.

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Le principe est donc simple, on impose un angle au premier disque et on enregistre la réponse du second disque pour une configuration choisie des bras.

4-Description du matériel :

Le banc est constitué de deux disques pouvant effectuer des rotations et d’un bras intermédiaire (voir figure 1). Le premier bras est fixé sur le premier disque et comporte deux trous pouvant décrire des circonférences de rayon r 1 et r 2 . Le second bras est fixé sur le second disque et comporte de 5 trous pouvant décrire des arcs de circonférences de rayons R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , R 5 . Le premier bras et le second sont reliés par un bras intermédiaire de longueur pouvant varier de L 1 à L 5 . 5 positions pour R i Troisième bras (Intermédiaire) 5 positions pour L i (Deuxième bras) (Premier bras) Figure 1 : Mécanisme à trois bras.

2 positions pour r i

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1-Détermination de l’angle

β

en fonction de

θ

.

 Le mécanisme est modélisé par :

A

ϕ

3ème bras avec 5 positions pour L L Grand bras avec 5 positions pour R

β θ

Petit bras avec 2 positions pour r B r C O b

Figure 2 : Schéma simplifié du mécanisme.

 On peut écrire pour ce mécanisme la relation vectorielle suivante :

OA

+

AB

+

BC

+

CO

=

OA

=

R

cos β 

i

0 +

R

sin β

AB

=

L

cos ϕ 

i

0 −

L

sin ϕ 

j

0 

j

0 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )

BC

=

r

cos θ 

i

0

CO

= −

b

i

0 − ( 5 )

r

sin θ

j

 0 ( 4 )

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 Substitutions de (2, 3, 4 et 5) dans (1) et projetons sur les deux axes, nous obtenons:  

R

cos

R

β sin + β

L

− cos ϕ

L

sin ϕ +

r

− cos θ

r

sin θ −

b

= 0 = 0 ( 7 ) ( 6 )  

L

cos

L

ϕ sin = ϕ

b

− =

R

cos β

R

sin β − −

r

cos

r

sin θ θ ( 9 ) ( 8 )  Elevant au carré et faisons la somme :

L

2 = (

b

R

cos β −

r

cos θ ) 2 + (

R

sin β −

r

sin θ ) 2 ( 10 ) Le problème étant de déterminer l'angle β en fonction de l'angle θ imposé et les paramètres L , b , r et R. 2

R

(cos θ −

b

) cos β − 2

Rr

sin θ sin β + (

b

2 +

R

2 +

r

2 −

L

2 − 2

br

cos θ ) = 0 ( 11 )  On pose:  

G

=

b

2

E

+ =

F R

2 2

R

= (cos 2

Rr

θ − sin θ

b

) +

r

2 −

L

2 − 2

br

cos θ (11) donne:

E

cos β −

F

sin β +

G

= 0 ( 12 ) cos  En remplaçant cos β et sin β par leurs expressions en fonction de tan β : β = 1 1 + tan 2 β et sin β = tan β 1 + tan 2 β Nous obtenons l’équation du second ordre en tan β : (

F

2 −

G

2 ) tan 2 β − 2

EF

tan β +

E

2 −

G

2 = 0 Ayant pour solutions : ( 12 ) tan β =

EF

±

G F

2

F

2 − +

G

2

E

2 −

G

2 ( 13 ) D’après les premières valeurs expérimentales, la solution à retenir est : tan β =

EF

G F

2

F

− 2 +

G

2

E

2 −

G

2 ( 14 )

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 On donne : L 1 = 120 mm, L 2 = 140 mm, L 3 = 160 mm, L 4 = 180 mm, L 5 = 200 mm. R 2 = 100 mm, R 3 = 120 mm, R 4 = 140 mm, R 5 = 160 mm. r 1 = 20 mm, r 2 = 40 mm, b = 200 mm.

2-Détermination des angles

θ 0

et

β 0

de la position limite.

 Pour la position limite (A, B et C alignés) de la configuration

L i

,

R j

et

r k

, on a un triangle quelconque OAC de côtés

R j

,

L i

+

r k

et

b

.  D’après la loi des cosinus dans un triangle quelconque on a :

R

2

j

= (

L i

+

r k

) 2 +

b

2 − 2 (

L i

+

r k

)

b

cos( θ 0 ) ( 15 ) (

L i

+

r k

) 2 =

R

2

j

+

b

2 − 2

R j b

cos( β 0 ) D’où ( 16 ) cos( θ 0 ) = (

L i

+

r k

) 2 2 (

L i

+

b

2 +

r k

)

b

R

2

j

( 17 ) cos( β 0 ) =

R

2

j

+

b

2 − (

L i

2

R j b

+

r k

) 2 ( 18 )

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1-Mode opératoire :

Pour une configuration choisie

L i

,

R j

et

r k

. Faire tourner le premier disque (petit bras) dans le sens des aiguilles d'une montre jusqu’à ce que le second bras atteigne sa position limite (c-à-d le premier bras et le bras intermédiaire soient alignés) et relever les valeurs θ 0 et β 0 pour cette position limite. Vu que le comportement de ce mécanisme est périodique et variant entre les deux positions limites, nous commencerons à prendre les valeurs de β à partir de la position précédente en faisant varier θ par pas de 20°. Noter à chaque pas sur les tableaux en annexes, l’angle θ et l’angle β affiché par le second disque (grand bras).

2-Travail demandé :

1.

Pour étudier l'influence de la longueur L sur la réponse β on garde les paramètres r , R fixes et on fait varier L. Relever alors les valeurs de l'angle θ à partir de θ 0 et de l'angle β correspondant pour les configurations suivantes : L = L i avec i = 1 → 5 ; R = R 5 ; r = r 2 . 2.

Pour étudier l'influence du rayon R sur la réponse β , on garde les paramètres L et r fixes et on fait t varier R. Relever alors les valeurs de l'angle θ à partir de θ 0 et de l'angle β correspondant pour les configurations suivantes : R = R i avec i = 2 → 5 ; L = L 5 ; r = r 2 . 3.

Pour étudier l' influence du rayon r sur la réponse β on garde les paramètres L et R fixes et on fait varier r. Relever alors les valeurs de l'angle θ à partir de θ 0 et de l'angle β correspondant pour les configurations suivantes : r = r i avec i = 1 → 2 L = L 5 ; R = R 5 . Pour la configuration L 5 , r 2 , R 5 . 4.

Tracer, sur le même graphique, la courbe β

r

=

f

( θ

r

) théorique et pratique.

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5.

Tracer la courbe • β =

d

β

dt

=

f

( θ

r

) , d'après les valeurs expérimentales en utilisant la méthode des tangentes pour θ • =

d

θ

dt

= 20 ° /

s

. 6.

Tracer sur le même graphique les courbes β

r

=

f

( θ

r

) , pour différentes valeurs de L 7.

(L 1 → L 5 ). Tracer sur le même graphique les courbes β

r

=

f

( θ

r

) , pour différentes valeurs de R 8.

(R 2 → R 5 ). Tracer sur le même graphique les courbes β

r

=

f

( θ

r

) , pour différentes valeurs de r (r 1 → r 2 ). 9.

Conclure en précisant l'influence des paramètres L , R , r sur la réponse β r pour des angles θ imposés.

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Annexe (1) Influence de L i , R 5 et r 2 fixes A calculer

L 1 L 2 β ( ° ) pratique L 3 L 4 L 5 β ( ° ) théorique L 5 β • ( ° /

s

) L 5 pratique θ 0 = θ 0 = θ 0 = θ 0 = θ 0 = θ 0 = X θ β 0 = β 0 = β 0 = β 0 = β 0 = β 0 = X β θ r * β r * θ β θ r * β r * θ β θ r * β r * θ β θ r * β r * θ β θ r * β r * θ β θ r * β r * θ L 5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 θ r = θ - θ 0 et β r = β - β 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 10 30 50 70 90 110 130 150 170 190 210 230 250 270 290 310 330 350 X X

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Annexe (2) Influence de R i, L 5 et r 2 fixes Influence de r i, R 5 et L 5 fixes

β ( ° ) pratique R 2 R 3 R 4 R 5 r 1 r 2 θ 0 = θ 0 = θ 0 = θ 0 = θ 0 = θ 0 = θ β 0 = β 0 = β 0 = β 0 = β 0 = β 0 = β θ r * β r * θ β θ r * β r * θ β θ r * β r * θ β θ r * β r * θ β θ r * β r * θ β θ r * β r * 0 0 0 0 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 θ r = θ - θ 0 et β r = β - β 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360

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