Transcript fiche_cours_36 Trigonométrie

I - Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu
A - Définitions
ex 1 à 3
Définitions Dans un triangle rectangle,
le sinus d'un angle aigu est le
quotient de la longueur du côté
opposé à cet angle par la
longueur de l'hypoténuse.
le cosinus d'un angle aigu
est le quotient de la longueur
du côté adjacent à cet angle
par la longueur de l'hypoténuse.
la tangente d'un angle aigu
est le quotient de la longueur
du côté opposé à cet angle par
la longueur du côté adjacent à
cet angle.
Exemple : Le triangle COR est rectangle en R. Écris les formules donnant le sinus et le cosinus de
COR puis la formule donnant la tangente de l'angle 
OCR.
l'angle 
hypoténus
e
C
côté
opposé
à
COR
hypoténus
e
C
O
R
côté Opposé à 
COR
COR =
Sin 
Hypoténuse
RC
COR =
sin 
CO
R
C
O
côté
adjacent
à l'angle 
COR
côté A djacent à 
COR
COR =
Cos 
Hypoténuse
RO
COR =
cos 
CO
O
côté
adjacent
OCR
à
côté
opposé
à l'angle 
OCR
R

côté Opposé à OCR
OCR =
Tan 
côté A djacent à 
OCR
RO
OCR =
tan 
RC
Remarques :
• Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1.
• La tangente d'un angle aigu est un nombre strictement positif.
B - Applications
ex 4 à 8
Exemple 1 : Calculer une longueur
L
On considère un triangle LEO rectangle en E tel que :
ELO = 62°.
LO = 5,4 cm et 
a. Calcule la longueur du côté [OE] arrondie au millimètre.
b. Puis, calcule la longueur du côté [EL] arrondie au millimètre.
5,
4
cm
62°
O
E
a. Dans le triangle LEO rectangle en E,
[LO] est l'hypoténuse ;
ELO .
[OE] est le côté opposé à l'angle 

côté opposé à ELO
sin 
ELO =
hypoténuse
OE

sin ELO =
LO
ELO
OE = LO × sin 
On cite les données de l'énoncé qui permettent
de choisir la relation trigonométrique à utiliser.
ELO.
On doit utiliser le sinus de l'angle 
OE = 5,4 × sin 62°
On saisit 5,4 ×
On écrit le cosinus de l'angle connu.
(La longueur cherchée doit apparaître dans le
rapport.)
On applique la règle des produits en croix.
62 à la calculatrice.
OE est inférieure à LO.
OE ≈ 4,8 cm
Le résultat est cohérent.
b. Pour calculer la longueur du segment [EL], on peut utiliser deux méthodes différentes.
Première méthode : On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle LEO rectangle en E.
EL2 ≈ 5,42 – 4,82 ≈ 6,12
LO2 = OE2 + EL2
5,42 ≈ 4,82 + EL2
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TRIGONOMÉTRIE - CHAPITRE G2
EL ≈  6,12 donc EL≈ 2,5 cm.
Deuxième méthode : On utilise une deuxième relation trigonométrique.
Dans le triangle LEO rectangle en E,
On cite les données de l'énoncé qui permettent
[LO] est l'hypoténuse ;
de choisir la relation trigonométrique à utiliser.
ELO .
ELO .
[EL] est le côté adjacent à l'angle 
On doit utiliser le cosinus de 

côté adjacent à ELO
cos 
On écrit le cosinus de l'angle connu.
ELO =
hypoténuse
(La longueur cherchée doit apparaître dans le
EL
rapport.)
cos 
ELO =
LO
On applique la règle des produits en croix.
ELO
EL = LO × cos 
EL = 5,4 × cos 62°
On saisit 5,4 ×
EL ≈ 2,5 cm.
EL est inférieure à LO.
Le résultat est cohérent.
F
5,5 cm
Exemple 2 : Calculer un angle
Soit FUN un triangle rectangle en U tel que :
UN = 8,2 cm et UF = 5,5 cm.
UNF arrondie au degré.
Calcule la mesure de l'angle 
62 à la calculatrice.
U
Dans le triangle FUN rectangle en U,
UNF ;
[FU] est le côté opposé à l'angle 
UNF .
[UN] est le côté adjacent à l'angle 
côté opposé à 
UNF
tan 
UNF =

côté adjacent à UNF
UF
tan 
UNF =
UN
5,5
tan 
UNF =
8,2

UNF ≈ 34°.
8,2 cm
N
On cite les données de l'énoncé qui permettent
de choisir la relation trigonométrique à utiliser.
UNF.
On doit utiliser la tangente de 
On écrit la tangente de l'angle recherché.
On saisit
ou
à la calculatrice.
puis
(5,5 ÷ 8,2)
II - Relations trigonométriques
ex 9
Propriétés

 ,  cos A  2   sin A 2 = 1 et tan A
 = sin A .
Pour tout angle aigu A
cos A
  sin2 A
 = 1.
Remarque : La première formule peut aussi s'écrire cos 2 A
Exemple :
 sachant que A
 est un angle aigu tel que cos A
 = 0,8.
a. Calcule la valeur exacte de sin A
.
b. Puis calcule la valeur exacte de tan A
  sin2 A
 = 1 donc sin2 A
 = 1 − cos2 A
 = 1 − 0,82 = 1 − 0,64 = 0,36.
a. cos2 A
 =  0,36 = 0,6.
Le sinus d'un angle aigu est un nombre positif donc sin A

 = sin A = 0,6 = 0,75.
b. tan A
0,8
cos A
CHAPITRE G2 - TRIGONOMÉTRIE
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