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Résumé de cours: Trigonométrie NIVEAU : 3ème Sciences
Enseignant : BOUKADIDA
TAHAR
Cosinus et sinus et tangente d’un réel
Définition :
Le plan est menu d’un repère orthonormé direct (O, , )
Pour tout réel α, il existe un unique point M du cercle
trigonométrique de centre O tel que : (
) ≡ α [2 ].
Les coordonnées de M dans (O, , ) sont ( cosα ,sinα).
 Si α ≠
on définit tan α =
α
α
 Pour tout réel α et pour tout k
-1≤ cos α ≤ 1
-1≤ sin α ≤ 1
cos(α+2k ) = cos α
sin(α+2k ) = sin α
Angles associés :
Une lecture simple du cercle trigonométrique permet de trouver les relations suivantes :
Signe du sinus et cosinus
Angles remarquables
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Coordonnées polaires et coordonnées cartésiennes :
Le plan est menu d’un repère orthonormé direct (O, , )
Pour tout point M distinct de O, il existe r=OM et
≡
[2 ]
= r ( os
sn
Le couple (r,α) est appelé les coordonnées polaires du point M
Soit (xM ,yM) les coordonnés cartésiennes du point M :
xM yM et OM= x
y
tel que
 et nous amènent à établir la relation suivante entre (xM ,yM) et (r,α) ;
Si (xM ,yM) sont les coordonnés cartésiennes d’un point M et (r,α) ses coordonnés polaires
Alors
r=
Cosinus et sinus d’un angle orienté.
u
Définition :
Soit u w un angle orienté , on appelle cosinus de
le réel noté os u w défini par os u w
w
u w
os α où α
une mesure quelconque de u w . De même pour le sinus .
Conséquences
 os u w
os u w
os
u w
 os u w
os
u w
os u w
 os w u
os
u w
os u w
s n w u
sn
u w
os u w
u
α
w
sn u w
Expression analytique du cosinus et sinus :
Si u et w
sont deux vecteurs non nuls dans un repère orthonormé direct .
Alors os u w
sn u w
t u w
u w
xy x y
x
y
x
y
Transformation de a cos x + b sin x
Si a et b sont deux réels tels que (a,b)≠(0,0) et x un réel
Alors : a cos x + b sin x = r cos(x-α) où r =
et α un réel défini par
osα
s nα
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Formules de transformation
Pour tous réels a et b on a :
os
os
os
sn
sn
os
os
os
sn
sn
sn
sn
os
sn
os
sn
sn
os
sn
os
En prenant a=b on obtient les formules suivantes :
os
os
sn
sn
os
sn
os
Equations et inéquations trigonométriques
Résolution de l’équation : os x
dans ℝ :
Si a∉
lors l’équ t on os x
n’
Si a
l x st un ré l
os x
os x
os
t l qu
x
x
équivaut à
alors l x st un ré l
nx
sn
 Résolution de l’équation : t n x
Condition : L’équation t n x
Pour tout réel x≠
n’
os
m tp s
t l qu s n x
x
x
équivaut à
Sℝ = ∅.
dans ℝ :
lors l’équ t on sin x
Si a
solut ons
Donc Sℝ =
Résolution de l’équation : s n x
Si a∉
m tp s
Donc
t n
solut ons donc
Sℝ = ∅.
sn
Sℝ =
dans ℝ avec
≠
t n α a un sens si et seulement si x≠
on a : t n x
t n α si et seulement si x= α+k où
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 Résolution
de l’inéquation : s n x
dans ℝ
lors l’équ t on sin x
Si a
a alors
lors l’équ t on sin x
Si a
n’
alors l x st un ré l
Si a
Sℝ = ℝ.
m tp s
t l qu s n
solut ons donc
t l’ néqu t on
Sℝ = ∅.
v nt s n x
sn
Une bonne lecture du cercle trigonométrique sert souvent pour conclure.
Exemple 1 : Pour a=
0 ,5= sin
s nx
donc s n x
sn
 (s n x
 snx
équivaut à s n x
équivaut à x=
ou x= (
équivaut à x=
ou x=
et x
et x
) équivaut à
ℝ )
sn
x
=S[0,2
équivaut à x
x
équivaut à
[
,
équ v ut x
ℝ
Exemple 2 : Résolution de l’inéquation : os x
os x
équivaut à
os x
équivaut à
os t
os
os
équivaut à t
 Donc
(
os t
et t
avec t x
ou t
ℝ ) équivaut à
où k
où k
équivaut à
équivaut à
équ v ut
 ( os x
 os x
et x
et x
)
)
x
ℝ
équivaut à x
=S[0,2
équivaut à x
=
[
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