Transcript Corrigé DM2 - Dominique Frin

CORRIGÉ
TERMINALE STD2A
DEVOIR MAISON N° 2
H
EXERCICE 1 : On veut installer une rampe pour franchir une marche à des
chariots, comme indiqué sur la figure ci-contre, où AB = 1m et AH = 0,5 m.
Cette rampe doit être tangente au sol en B et tangente à la marche supérieure
en H. On choisit un repère orthonormé d’origine A et suivant les directions
orthogonales (AB) et (AH). On cherche une fonction correspondant à l’allure
A
B
de la rampe dans le repère choisi. On peut considérer la fonction cherchée
3
2
comme étant un polynôme P du troisième degré, soit P(x) = ax + bx + cx + d.
1. Comme AB = 1, on choisit le repère (A ; ⃗
AB , ⃗
AC ) où C est le symétrique de A par rapport à H. Ce repère est
alors orthonormé.
Par lecture graphique et à l'aide de l'énoncé, on trouve P(0) = 0,5 (point H), P’(0) = 0 car la tangente en H est
horizontale, P(1) = 0 (point B), P’(1) = 0 car la tangente en B est horizontale.
2. P(0) = 0,5 donne d = 0,5 ; P'(x) = 3ax2 + 2bx + c d'où P’(0) = c = 0 ;
P(1) = a + b+ c + d = a + b + 0,5 = 0 ; P’(1) = 3a + 2b = 0. On résout le système :
b=0,5− a
a+b=0,5
b=0,5−a
b= 0,5−a
équivaut à
équivaut à
équivaut à
équivaut à
3 a+2( 0,5−a)=0
3a+2 b=0
3 a+2 b=0
3 a+1−2 a=0
b=0,5− a
b=0,5− a
b=1,5
équivaut à
équivaut à
. Donc P(x) = – x3 + 1,5x2 + 0,5.
a+1=0
a=−1
a=−1
{
{
{
{
{
{
{
EXERCICE 2
PARTIE A : Pentagone
1. Construction du pentagone OABCD à l'échelle 1/2 :
2. Les triangles IAB et ICD sont équilatéraux, donc IA = IB et IC = ID ; comme
I est le milieu de [AD], IA = ID, donc IB = IC.
̂ = 60° , CID
̂ = 60° et ̂
̂ = 180 – 60 – 60 =
De plus AIB
AID = 180°, donc CIB
60°. Ainsi le triangle IBC est isocèle avec un angle de 60°, il est donc équilatéral.
3. Le triangle IAB a pour image ICD par :
la translation de vecteur ⃗
AI ; la symétrie axiale d'axe la médiatrice de [CB] qui est (OI) ; la rotation de centre I et
d'angle 120° dans le sens anti-horaire.
PARTIE B : Pavage
1. a) Pour obtenir le motif « fleur » à partir du motif élémentaire,
on utilise la rotation de centre O et d'angle 60°, répété cinq fois.
b) Pour obtenir le motif « hélice » à partir du motif élémentaire,
on utilise la rotation de centre B et d'angle 120°, répété deux fois.
2. a) Pour obtenir ce pavage en utilisant le motif « fleur », on utilise les
translations de vecteurs ⃗
ED , ⃗
DE , ⃗
FA et ⃗
AF sur la figure ci-contre :
b) Pour obtenir ce pavage en utilisant le motif « hélice »,
on utilise la rotation de centre O et d'angle 60° ans les deux
sens,
puis des translations de vecteurs ⃗
OL , ⃗
LO , ⃗
OK et ⃗
KO
comme ci-contre.
3. On appelle damier un pavage constitué de motifs bicolores disposés de telle sorte que deux motifs de même
couleur ne peuvent être en contact que par un sommet, et non par une arête.
Seul le motif « hélice » permet d’obtenir un pavage de type damier comme sur la figure ci-contre: