Transcript (1S) DM5 : Fonction dérivée

Devoir maison n°5
Fonction dérivée
À rendre pour le vendredi 21 mars.
Dans un cinéma, deux parties sont à des niveaux différents, le denivelé étant d’un mètre. On désire
créer une rampe d’accès reliant les deux plates-formes.
niveau supérieur
b
B
1m
niveau inférieur
A
b
4m
Un bureau d’études est chargé de trouver une solution dont le profil sera donné par la courbe d’une
fonction.
On choisit le repère orthonormé dans lequel A et B ont pour coordonnées respectives (0 ; 0) et (4 ; 1).
La courbe doit respecter les contraintes suivantes :
• elle doit passer par les points A et B
• les tangentes à la courbe en ces points doivent être horizontales
1.
(a) Soit f une fonction définie et dérivable sur [0 ; 4]. On note f ′ sa dérivée.
Traduire les contraintes que doit respecter la courbe de f à l’aide de f et de f ′ .
(b) Déterminer les réels a, b, c et d tels que la courbe de f définie par
f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
sur [0 ; 4] respecte les contraintes.
2. Pour la suite la fonction f sera celle obtenue à la question 1b et sa courbe est notée C .
Dans un repère orthonormé, la pente d’une courbe en un point est égale au coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point.
(a) Déterminer la pente maximale de C .
(b) Déterminer les coordonnées du point K de C où ce maximum est atteint.
Que représente K pour les points A et B ?
(c) Déterminer l’angle de la rampe par rapport à l’horizontale en K à 0,1◦ près.
(d) Déterminer l’équation de la tangente D à C en K .
(e) Étudier les positions relatives de D et de C sur [0 ; 4].¡
¢
1 3
3 2
1 2
Indication à justifier : − 32
x + 16
x − 83 x + 14 = (x − 2) − 32
x + 18 x − 81 .
3. Représenter avec soin dans un repère d’unités graphiques 4 cm l’ensemble des éléments rencontrés dans les questions précédentes (points, droites, courbe, angle, etc.).