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2.2 DÉRIVÉ ET
LINÉARISATION
Cours 10
Au dernier cours, nous avons vu
✓
Taux de variation
moyen
✓
Dérivée en un point
Aujourd’hui, nous allons voir
✓
Comment trouver une droite qui donne
une bonne approximation d’une fonction.
✓
La fonction dérivée
✓ La dérivée de
Supposons qu’on ait une fonction, f(x), qui modélise un
phénomène.
Supposons aussi que ce qui nous intéresse est de comprendre
ce phénomène lorsque les valeurs de x sont près de a.
Dans ce cas, on peut simplifier grandement les choses en
trouvant une approximation de la fonction avec une droite.
Exemple:
Trouver la droite donnant une bonne
approximation de la fonction ,
près de
La pente de cette droite est donnée par
On a que la pente de la droite est
Reste à trouver l’ordonnée à l’origine de la droite.
Il nous faudrait un point
En général la linéarisation de la fonction
autour du point
a comme pente
et passe par le point
Qu’on peut écrire plus simplement comme
Faites les exercices
suivants
Section 2.2 # 8
Exemple: Soit
On peut donc trouver une fonction qui donne la dérivée en
n’importe quel point.
On nomme cette fonction la fonction dérivée ou tout simplement
la dérivée.
Dans l’exemple précédant, la fonction était
et sa fonction dérivée était
d’où
Notations
Soit une fonction
On note la dérivée de cette fonction:
Exemple:
Faites les exercices
suivants
Section 2.2 # 9 à 11
Trouvons la dérivée de fonction simple.
Soit
La dérivée d’une fonction
constante est 0.
Un vrai zéro
Exemple:
Trouver la dérivée de la fonction
Objection votre honneur!
J’invoque le droit à la paresse!
Binôme
Regardons les différentes puissances d’un binôme.
Triangle de Pascal
Blaise Pascale
(1623-1662)
Yang Hui (1238-1298)
Comprendre pourquoi ça marche
nécessiterait de comprendre la combinatoire
Mais on va quand même
essayer de comprendre;
C’est-à-dire que le deuxième terme es
C’est-à-dire que le deuxième terme est
Prenons l’exemple de
Comment obtenir le terme en
?
D’autant de façon que j’ai de choisir un a.
Donc 5, car j’ai 5 termes.
Faites les exercices
suivants
Section 2.2 # 12
Exemple:
Théorème:
Preuve:
Avec ce qu’on a vu.
Tous les termes ont du «h»
Exemple:
Exemple:
Exemple:
Remarque:
Le dernier théorème reste vrai même si l’exposant n’est pas entier
C’est-à-dire
Or, la preuve est plus compliquée.
Dans les exercices, vous allez démontrer
Exemple:
Exemple:
Une minute!
Faites les exercices
suivants
Section 2.2 # 13
Aujourd’hui, nous avons vu
✓
Linéarisation
✓
Fonction dérivée
✓ La dérivé de
Devoir:
Section 2.2