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51 page 107 : f(x) = x +x² – x, x ∈ ℝ
1) Equation de la tangente au point d'abscisse 1 : y = f'(1)×(x-1) + f(1)
avec f(1) = 1
et f'(x) = 3x² + 2x + 1 donc f'(1) = 4
D'où T : y = 4(x-1) + 1 ⇔ T : y = 4x-3
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2) g(x) = f(x) – (4x-3) ⇔ g(x) = x + x² – 5x + 3
Remarque : on peut vérifier que l'expression obtenue pour T est correcte
a) Dérivée : g'(x) = 3x² + 2x – 5
g'(x) est un polynôme du second degré
 = 64 > 0 donc 2 racines réelles :
x1 =
−5
et x−2 = 1
3
De plus a = 3 > 0 donc la parabole est tournée vers le haut
Tableau de variations :
x
–∞
-3
–5/3
1
+∞
g '(x)
Var
de g
+
0
0
256/27
–
0
+
0
3
b) g(-3) = (−3) + (-3)² – 5×(-3) +3 = 0
c) Signe de g(x)
x
–∞
Var
de g
Signe
de
g(x)
Ainsi
-3
–5/3
0
256/27
1
+∞
0
+
0
+
-
+
0
C f est au dessous de T sur ]–∞;-3] puis au-dessus sur [-3;+∞[
61 page 109 : Les variations de f permettent de déterminer le signe de f'(x)
x
–∞
1
+∞
Variation de f
Signe de f'(x)
+
0
-
Seule la courbe 1 est susceptible de représenter f
62 page 109:Procéder de la même manière que dans l'exercice 61
(1;b)
(2;c)
(3;a)
A vous de rédiger !
76 page 110
1. a)
Dans le triangle BAM rectangle en M, car inscrit dans un demi-cercle :
cos
AM
AM
̂
=
BAM =
AB
6
Dans le triangle AMH rectangle en H :
AH
x
̂
=
BAM =
AM
AM
AM
x
Ainsi
=
⇔ AM² = 6x ⇔ AM =
6
AM
cos
√6 x
b) Par construction, (HK) ⊥ (BM)
De plus le triangle BAM est rectangle en M donc (AM) ⊥ (BM)
Or 2 droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles donc (HK) // (BM)
Dans le triangle BAM :
• B,H,A sont alignés dans cet ordre
• B,K,M sont alignés dans cet ordre
• (HK) // (AM)
BH
HK
6−x
f ( x)
=
⇔
= √ 6x ⇔ f(x) =
BA
AM
6
D'après le théorème de Thalès :
⇔ f(x) =
2.
avec k =
√6
6
(6-x)
√x
a) Dérivée : f = k×UV donc f' = k ( U'V+V'U)
√6
6
U(x) = 6-x donc U'(x) = -1
et
V(x) =
√x
donc V'(x) =
1
2√x
√6 (- √ x + 1 (6-x)) = √6 ( −2 x+6− x ) = √6 −3 x+6
Donc f'(x) =
6
6
6
2√x
2√x
2√ x
Tableau de variations :
x
0
Signe de -3x+6
Signe de 2
2
+
+
√x
Signe de f'(x)
Variations de f
0
+
6
+
0
-
f(2)
Le segment [HK] a donc une longueur maximale pour x = 2
6−x
√6 x × 6
93 page 114 :
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1) Coût total : C(x) = x - 90x² + 2700x + 8836
Coût marginal : C m (x) = C'(x) = 3x² – 180x + 2700
C ( x)
8836
= x ² – 90x + 2700 +
x
x
−1
2 x 3−90 x 2 −8836
2) Dérivée de C M : C ' M (x) = 2x – 90 + 8836 (
)
=
x2
x2
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3
Or (x-47)(2x²+4x+188) = 2 x +4x²+188x-94x²-188x+8836 = 2 x -90x²+8836
( x−47)(2 x 2+4 x+188)
Donc C ' M (x) =
x2
3) Signe de C ' M (x) (pour x ≠ 0)
C ' M (x) = 0 ⇔ x-47 = 0 ou 2x² + 4x + 188 = 0
Coût moyen :
C M (x) =
x-47 = 0 ⇔ x = 47
2x² + 4x + 188 = 0 est une équation du second degré
 = -1488 < 0 donc aucune racine réelle
2x² + 4x + 188 = 188 > 0 pour x = 0 donc 2x² + 4x + 188 > 0 pour tout x
Tableau de variations :
x
0
47
90
•
•
Signe de x-47
-
Signe de 2x²+4x+188
+
+
Signe de x²
+
+
Signe de
C ' M (x)
Variations de
-
CM
C M Est minimale pour x = 47
C M (47) = 867
Or C m (47) = 3×47² – 188×47 + 2700 = 867
Donc on a bien C M (47) = C m (47)
On obtient alors
0
0
+
+
C M (47)