Transcript Les intérêts composés en temps discret

Annexe
Concepts mathématiques
utilisés dans le cours
Les pré-requis en mathématiques
-le calcul différentiel,
-les fonctions logarithmique et exponentielle,
-les intérêts composés
-l’optimisation.
Le calcul différentiel :
La dérivée d’une fonction f(x) par rapport à x
montre comment f(.) varie lorsque x se modifie
de façon infinitésimale.
Si f(.) augmente lorsque x s’accroît, la dérivée est positive :
f ' x   0
Si f(.) diminue lorsque x s’accroît, la dérivée est négative :
f ' x   0
Notations pour les variables temporelles
En mathématiques, la dérivée par rapport à la
variable temps est notée de plusieurs façons :
K [t ]
 DK [t ]
t
K [t ] 
K
t
Quelques précisions !
Attention :
DK  K t   K t 1
Pourquoi ? Parce que DK est une variation instantanée plutôt
qu’une variation sur un an.
Plus la durée de la période se réduit, plus
l’expression K[t]-K[t-1] tend vers la variation
instantanée.
K [t ]  K [t  t ] K [t ]
lim

 DK
t 0
t
t
Interprétation graphique :
f’(x)
f(x)
1
x
La fonction logarithmique simple :
1
f ' ( x) 
x
f ( x)  ln(x)
Ln(x)
1/x
1
x
x
La fonction logarithmique composée :
f ( x)  lnU x 
U ' x 
f ' ( x) 
U x 
Imaginez que U est une fonction du temps U[t] alors si
on écrit : Ln[U[t]] la dérivée par rapport au temps est :
U [t ]
t  DU  
U
U [t ] U [t ]
Donc, en prenant le logarithme d’une fonction qui dépend
du temps puis en dérivant par rapport au temps on obtient
(miracle) le taux de croissance de la variable.
Résultat important pour la croissance :
A chaque fois que vous rencontrez une expression du type
DX/X dites vous bien qu’il s’agit d’un pourcentage de
variation donc d’un taux de croissance.
Si par exemple DK/K = 0.05, le taux de croissance du
capital est de 5%.
Rappels de calcul logarithmique :
si z  x. y
x
si z 
y
si z  x
alors lnz   lnx  ln y 
alors
lnz   lnx   ln y 
alors lnz    .lnx
Exemple : V t   Pt .Qt   lnV t   lnPt   lnQt 
Donc :
DV DP DQ


 V   P   Q
V
P
Q
La fonction exponentielle simple :
f ( x)  e
x
f ' ( x)  e x
Exp(x)
1
x
La fonction exponentielle composée :
f ( x)  e
U ( x)
f ' ( x)  U ' ( x).eU ( x)
Les intérêts composés en temps discret :
Si une somme S(0) croît à un taux annuel de i% alors
au bout de t périodes cette somme sera :
S t   S 0(1  i)t
On peut également écrire :
S t 
S 0 
(1  i )t
S(0) est la valeur actualisée à la date 0 d’une somme
S(t) à la date t.
Les intérêts composés en temps continu :
Si une somme S(0) croît à un taux de i% alors au bout
de t périodes cette somme sera :
S t   S 0.e
i.t
On peut également écrire :
lnS t   lnS 0  t.i
1  S t  

i  ln
t  S 0 
Principes d’optimisation 1
Si problème est :
max U  x 
x
La solution consiste à trouver x tel que : U ' x   0
Mais attention il peut s’agir d’un minimum ou d’un
maximum local :
Principes d’optimisation 2
U  x; y 
Si problème est : max
x, y
La solution consiste à trouver x et y tels que :
 U  x ; y 
0
 x
 U  x ; y 
0

 y
Mais attention, là aussi il peut s’agir d’un minimum ou
d’un maximum local.
Principes d’optimisation 3
Si problème est :
max U x; y  sous la contrainte g x; y   A
x, y
La solution consiste à trouver x et y et l solutions du
problème équivalent :
max L( x; y; l )  U ( x; y )  l g ( x; y )  A
x , y ,l
Mais attention, là aussi il peut s’agir d’un minimum ou
d’un maximum local.
Principes d’optimisation 4
Il existe des problèmes d’optimisation dynamique. La
résolution est complexe, nous en verrons le principe le
moment venu !
Bibliographie
Gaffard, J.-L. (1997),
Croissance et fluctuations économiques, Montchrestien, Paris.
Jones, C. I. (1998),
Introduction to Economic Growth, W.W. Norton, New York.
Gellec & Ralle (1995), Les nouvelles théories de la croissance,
édition la découverte
Maintenant on peut étudier
la croissance économique