Transcript DÉRIVATION DÉRIVATION

Chapitre
7
D ÉRIVATION
Ce chapitre vient compléter le chapitre Notions de dérivation , en apportant la technicité et la rigueur
délaissées précédemment, et permet d'utiliser la dérivation sans avoir recours à l'ordinateur.
1
F ONCTIONS DÉRIVÉES DES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
Exercice 1
Grâce à un logiciel de calcul formel, donner la fonction dérivée de toutes les fonctions
de référence que vous connaissez.
Pour éviter d'avoir recours à l'ordinateur, il est donc utile de connaître le tableau ci-dessous qui
donne les dérivées des fonctions de référence :
f (x)
f 0 (x)
constante
0
x
1
xn
nxn−1
1
x
−
1
x2
sin(x)
cos(x)
cos(x)
− sin(x)
√
1
√
2 x
x
1
LYCÉE B LAISE PASCAL
S.D ELOBEL
2
Chapitre 7. Dérivation
2
O PÉRATIONS SUR LES DÉRIVÉES
Exercice 2
1.
2.
3.
Quels calculs avez-vous envie de mener et quelles seraient selon vous les dérivées
des fonctions suivantes ?
a.
x2 + x3
b.
sin(x) +
1
x
c.
x × cos(x)
d.
2 sin(x)
e.
f.
1
x2
2x − 3
x+1
Confrontez vos réponses à une vérication par un logiciel de calcul formel.
Vos envies exprimées à la question 1 sont-elles réalité ?
Compléter alors le Vrai/Faux suivant :
Vrai Faux La dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées Vrai Faux La dérivée d'un produit est égale au produit des dérivées Vrai Faux La dérivée d'un quotient est égale au quotient des dérivées Les opérations sur les dérivées ne sont pas toutes naturellement évidentes.
On peut donc retenir les règles suivantes :
Pour u et v des fonctions :
ku
fonction
fonction dérivée
u+v
u0 + v 0
(k une constante réelle)
fonction
fonction dérivée
cos (ωt + ϕ)
−ω sin (ωt + ϕ)
sin (ωt + ϕ)
ω cos (ωt + ϕ)
ku0
uv
u0 v + v 0 u
1
v
u
v
v0
v2
0
u v − v0u
v2
−
Exercice 3
À la main, dériver chacune des fonctions suivantes puis vérier avec un logiciel de calcul
de formel :
1.
2.
3.
4.
f (x) = −2x6 + x2 − 5x + 1.
f (t) = (3t − 1)(t + 2)
x2 − 1
f (x) =
x+3
1
f (x) = 2
x +1
7.
x
3
5
f (ω) =
ω
f (x) = x cos(x)
8.
f (t) = πt2 + cos 3t +
5.
6.
f (x) =
π
4
I
p.115-116 ex 31 à 56
3
Cours de Première STI 2D
3
E XPLOITATION DU TABLEAU DE VARIATIONS
La dérivation permet d'obtenir le tableau de variations, ce qui débouche ensuite sur de nombreuses applications.
3.1
Recherche d’extrema
Exercice 4
f et la fonction dénie sur −2 ; 2 par f (x) = x3 − x2 − x.
Un élève ache la courbe représentative de f à l'écran de sa
calculatrice.
Il arme que le minimum de cette fonction est −1.
1.
2.
3.
Calculer f 0 (x) et étudier son signe sur −2 ; 2 .
En déduire le tableau de variation de f sur l'intervalle −2 ; 2 .
Compléter à l'aide du tableau de variations :
a.
b.
c.
d.
4.
le maximum de f sur l'intervalle −1 ; 1 est . . . . . .
x = .......
le maximum de f sur l'intervalle −2 ; 2 est . . . . . .
x = .......
le minimum de f sur l'intervalle −1 ; 1 est . . . . . .
x = . . . . . . et x = . . . . . . .
le minimum de f sur l'intervalle −2 ; 2 est . . . . . .
x = .......
et il est atteint pour
et il est atteint pour
et il et atteint pour
et il est atteint pour
L'élève avait-il raison ?
I
3.2
p.139 ex 29, 30, 32, 33.
Signe d’une fonction
Exercice 5
Soit f la fonction dénie sur R par f (x) = x3 − 3x + 2.
1.
2.
3.
4.
Dériver f et en déduire son tableau de variations sur R.
Calculer f (−2) et reporter ce résultat dans le tableau.
Grâce au tableau de variations, donner le signe de f sur R.
Justier que l'on a x3 > 3x − 2 pour tout x ∈ −2 ; +∞ .
Pour trouver le signe d'une fonction, il est parfois utile de la dériver et de dresser
son tableau de variations.
I
p.139 ex 38, 39 ; p.140 ex 42.
4
Chapitre 7. Dérivation
3.3
Nombre de solutions d’une équation du type f (x) = k
Exercice 6
Résolution approchée d'équations
On considère l'équation 2x3 + 9x2 − 24x − 18 = 0.
Pour résoudre cette équation de degré 3, pour laquelle il n'y a pas de factorisation
évidente, on ne dispose pas au lycée de méthode algébrique.
On peut cependant tout de même connaître le nombre de solutions de cette équation, et
obtenir des valeurs approchées de ces solutions (c'est mieux que rien !). Voici comment
procéder :
on considère la fonction f dénie sur R par f (x) = 2x3 + 9x2 − 24x − 18.
1.
2.
Déterminer la fonction dérivée de f , étudier son signe, puis établir le tableau
de variations de f .
b. Compléter le tableau en y plaçant f (−7) et f (3).
c. Utiliser alors le tableau de variations pour donner le nombre de solutions de
l'équation f (x) = 0 dans −7 ; 3 , puis dans R.
Donner une valeur approchée de chacune des solutions de cette équation.
a.
I
4
p.140 ex 44, 45, 47 ; p.143 ex 57.
D ÉRIVATION ET VITESSE INSTANTANÉE , TAUX D ’ ACCROISSEMENT.
Un véhicule se rend, sur une route rectiligne, d'une ville A à une ville B.
À chaque instant t, on note f (t) la distance parcourue depuis la ville A.
A
B
f (t0 )
M (t0 )
M (t0 + h)
f (t0 + h)
∆f
La vitesse moyenne du véhicule entre les instants t0 et t0 + h est
=
∆t
symbole ∆ représente une variation.)
Ainsi, lorsqu'on représente graphiquement f en fonction
de t, la vitesse moyenne est le coecient directeur de la
sécante (CD).
f (t0 + h) − f (t0 )
. (Le
h
D
f (t0 + h)
∆f
f (t + h) − f (t )
0
0
Le nombre
s'appelle le taux d'accroisseh
ment de f entre t0 et t0 + h.
C
f (t0 )
∆t
0
t0
t0 + h
5
Cours de Première STI 2D
Lorsque les deux instants t0 et t0 + h sont inniment proches, c'est-à-dire lorsque h tend vers
zéro, la vitesse moyenne devient alors la vitesse instantanée du véhicule à l'instant t0 .
df
Les physiciens notent v =
cette vitesse instantanée. (On utilise d au lieu de ∆ pour
dt
signier une variation innitésimale.)
f (t0 + h) − f (t0 )
.
h→0
h
En mathématiques, on note plutôt : v(t0 ) = lim
Ainsi, lorsqu'on représente graphiquement f en fonction
de t, la vitesse instantanée est le c÷cient directeur de la
tangente T à Cf au point d'abscisse t0 .
D
f (t0 + h)
La vitesse instantanée du véhicule à l'instant t0 est donc
en fait f 0 (t0 ) !
Par un raisonnement similaire on peut montrer que
l'accélération est la dérivée de la vitesse : γ = vt .
f (t0 )
C
d
d
0
t0
t0 + h
Ainsi, de façon générale :
1
Nombre dérivé.
f (a + h) − f (a)
.
h→0
h
f 0 (a) = lim
Vocabulaire
f 0 (a) est la limite quand h tend vers 0 du taux d'accroissement de f en a .
Exercice 7
Un mobile M se déplace sur un axe gradué en centimètres. Son abscisse est donnée en
fonction du temps t (exprimé en secondes) par f (t) = 3t2 + 2t + 1 où 0 6 t 6 3.
1. Quelle est l'abscisse de M aux instants t = 0, t = 1, et t = 3 ?
2. Quelle est la vitesse moyenne de M entre les instants t = 1 et t = 3 ?
3. Quelle est la vitesse instantanée de M aux instants t = 0, t = 1, et t = 3 ?
4. Quelle est son accélération instantanée aux instants t = 0, t = 1, et t = 3 ?
Quelle remarque peut-on faire sur son accélération ? De quel type est le mouvement de M ?
1. lorsque la courbe de f admet une tangente (non verticale) au point d'abscisse a
6
Chapitre 7. Dérivation
Exercice 8
Du haut d'une tour, on laisse tomber une balle à l'instant t = 0.
Sa hauteur, en mètres, par rapport au sol est donnée en fonction du temps t (en
secondes) par h(t) = −4, 9t2 + 16.
1. Quelle est la hauteur de la tour ?
2. À quel instant la balle touche-t-elle le sol ?
3. Quelle est la vitesse instantanée de la balle au moment où elle touche le sol ?
4. Quelle est l'accélération instantanée de la balle au moment où elle touche le sol ?
I
p.125 ex 82
Exercice 9
On note f (x) = x2 .
Grâce à la formule f 0 (a) = lim
h→0
a réel quelconque).
f (a + h) − f (a)
, retrouver le fait que f 0 (a) = 2a (pour
h
I
p.146 ex 64 ; p.147 ex 66 ; p.144 ex 60
I
p.146 ex 59 ; p.120 ex 73
I
p.110 TP 2