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Formules de dérivation (suite)
Jacques Paradis
Professeur
Plan de la rencontre

Rappel : composition de fonctions

Dérivée de fonctions composées

Dérivation en chaîne

Dérivées successives

Application
Département de mathématiques
2
Volet historique (1 de 3)

Origine de l’intérêt porté au calcul différentiel

La période de la Révolution scientifique (1500-1700)



L’époque des grands explorateurs est engagé



Copernic (1473-1543) place le Soleil au centre de l’univers
Galilée (1564-1642) étudie les lois de la chute des corps
Les bateaux européens sillonnent les océans
Mise au point des canons qui révolutionne l’art de la guerre
L’étude du mouvement devient central



Mouvement des corps, des astres
Mouvements des bateaux
Mouvements des boulets de canons
3
Département de mathématiques
Volet historique (2 de 3)

Émergence de trois grands types de problèmes
concernant directement le calcul différentiel :


1. Connaissant la distance parcourue à tout
moment, est-il possible de connaître la vitesse et
l’accélération à chaque instant?
2. La direction du déplacement d’un objet en
mouvement étant donné par la tangente à la
trajectoire de l’objet, est-il possible de déterminer
précisément les tangentes à certaines courbes?

Problème sous-jacent : celui de l’optique (la fabrication
des miroirs paraboliques et des lentilles  lunettes pour
la navigation, l’observation astronomique ou pour la vue)
4
Département de mathématiques
Volet historique (3 de 3)

Émergence de trois grands types de problèmes
concernant directement le calcul différentiel : (suite)

3. Le mouvement impliquant des distances, est-il
possible de déterminer des valeurs qui rendent
maximales ou minimales ces distances?

Problèmes sous-jacent :



En balistique, quel angle donné au canon permettant
d’atteindre une cible la plus éloignée possible?
En astronomie, quelles sont les distances maximale et
minimale d’une planète par rapport au Soleil?
En optique, le trajet de la lumière dans un corps
transparent peut-il être analysé sous l’angle du plus court
chemin entre deux points?
Département de mathématiques
5
Composition de fonctions (1 de 3)

Soit f(x) et g(x) deux fonctions

La fonction composée, notée f ◦ g, est définie par
(f ◦ g)(x) = f[g(x)]
g
x
f
g(x)
f◦g
Département de mathématiques
f[g(x)]
6
Composition de fonctions (2 de 3)

Exemple :


Soit f(x) = x2 – 4x et g(x) = x2 -3x +2

Alors (f ◦ g)(x) = f[g(x)] = ?

De plus (g ◦ f)(x) = g[f(x)] = ?
Exercice :

Soit f(x) = x2 – 4x et
g (x) =
x +7
Alors (f ◦ g)(x) = f[g(x)] = ?
 De plus (g ◦ f)(x) = g[f(x)] = ?

Département de mathématiques
7
Composition de fonctions (3 de 3)

Exemple :

Soit H(x) = (x2 -3x +2)3


Si H(x) = f[g(x)], définir f(x) et g(x).
Exercice :

Soit H(x) = 3 4 x 3  6 x 2  1

Si H(x) = f[g(x)], définir f(x) et g(x).
Département de mathématiques
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Dérivée de fonctions composées
S i H (x) = [f ( x )] , o ù n  IN e t f(x) d é riv a b le
n -1
n - 1 d f(x)
A lo rs H '(x) = n [f(x)] f '(x) = n [f(x)]
dx
n
Exemple : Si H(x) = (x3 – x2 + 4)5,
alors H’(x) = 5(x3 – x2 + 4)4 (3x2 – 2x)
Généralisation : Si H(x) = [f(x)]r, où rIR,
alors H’(x) = r [f(x)] r-1 f’(x)
Exercice : Si f(x) =
4
x + x , trouver f’(x).
2
9
Département de mathématiques
Dérivation en chaîne
S i y = f [g( x )] e t u  g( x ),
A lo rs
dy
dy
=
dx
Soit
dy
dx
= lim
du

du
(n o ta tio n d e L e ib n iz )
dx
Δy
Δx
Δy Δu
= lim

Δx  0 Δ u
Δx
Δy
Δu
= lim
 lim
Δu 0 Δ u
Δx  0 Δ x
Δx  0
=
dy
du
Département de mathématiques

du
dx
{ y  f (u )}
u=g(x)
Si x  0, alors u0
u
x
x
x+x
10
Définition

Soit f(x) une fonction continue, la fonction dérivée
y
de f(x) est définie par :
Q1

f’(x) =
=


dy
dx
lim
f(x +  x ) - f(x )
x
x  0
lim
x  0
 lim
x  0
y
y
x
y
P
x
x+x
x
x
Département de mathématiques
11
Dérivation en chaîne (Exemples)


Ex. 1 : Soit y = u3 + u et u = 4x2 – x +16, trouver
dy/dx au point d’abscisse x = 1.
Ex. 2 : Une particule se déplace le long d’une courbe
y = x2 + x – 4. Son abscisse est donnée par la fonction
x(t) = 2t2 – t +2. Trouver dy/dt pour t = 2.
Département de mathématiques
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Dérivation en chaîne (généralisation)

Si z = f(y), y = g(u) et u = h(x)

Alors
dz
dx


dz
dy

dy
du

du
dx
Exemple : Trouver dz/dx pour x = 2 si
z = 3y2 + 1, y = 1 – 4u5 et u = 2x - 5.
Département de mathématiques
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Dérivées successives



Soit y = f(x), une fonction dérivable,
Sa dérivée f’(x) est aussi une fonction qui peut donc être
dérivable, et ainsi de suite.
D’où

Dérivée première :
y’
f ’(x)
dy
dx
2

Dérivée seconde :
y’’
f ’’(x)
d y
dx
2
3

Dérivée troisième :
y’’’
y(3)
f’’’(x)
f(3)(x)
d y
dx
3
n

Dérivée ne :
y(n)
f(n)(x)
d y
dx
14
Département de mathématiques
n
Exemple

Soit f(x) = x4 – x3 – 7x2 + x + 6

Alors f’(x) = 4x3 – 3x2 – 14x+ 1

De plus, f’’(x) = 12x2 – 6x – 14

Mais encore, f’’’(x) = 24x - 6

On continue, f(4)(x) = 24

Pour finir, f(5)(x) = 0
15
Département de mathématiques
Application (rappel)

Soit x(t) la position d’un objet à l’instant t,

La vitesse moyenne de cet objet sur un intervalle de
temps [ti , tf] est définie par :
v t


i
, tf 


x (t f ) - x (ti )
t f  ti

x
t

dis tan ce parcourue
tem ps écloulé
La vitesse instantanée de cet objet au temps t est
définie par :
v(t)  lim
Δt  0
x (t + Δ t ) - x (t )
Δt
= lim
t  0
Δx
t
= x '(t)
16
Département de mathématiques
Application

Soit x(t) la position d’un objet à l’instant t,

La vitesse instantanée de cet objet au temps t est
définie par : v(t) = x’(t)

L’accélération instantanée de cet objet au temps t est
définie par la variation instantanée de la vitesse en
fonction du temps :

a(t) =
d  v ( t )
= v’(t) = x’’(t)
dt
Département de mathématiques
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Application (Exemple)

La fonction x(t) décrit la position d’une particule qui se
déplace le long d’un axe gradué, où x est en mètres et t, en
secondes.
t
x( =t)
2
t +4
a) Écrire la fonction vitesse et la fonction
accélération.
b) Donner la position, la vitesse et
l’accélération à t = 1.
c) À quel moment la particule est-elle
immobile?.
d) Déterminer la distance totale
parcourue par la particule entre les
instants t = 0 et t = 5.
Département de mathématiques
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Devoir




Exercices 4.3, page 155, nos 1, 2, 3, 4a,
4b, 5, 6 (Trouver uniquement f’, f’’ et f’’’),
7a, 7b et 7c.
Exercices 5.1, page 189, nos 1 à 3.
Exercices récapitulatifs, page 164, nos
1(sauf l), 3 (facultatif), 4a, 4b, 4c, 8 et 9
Réponses pour les exercices récapitulatifs :
2
2
3
1c)21x (x  1)
1i)
112 x
2
(x  4)
6
1e )
15 x  4 x
2 3x  1
2
2
Département de mathématiques
3
3
1h)
2
5(4 x  5)
2
2 2x  5x  7
3
1k )2 x (x  3) (2 x  5) (17 x  27 x  20)
19
Réponses
8c )
8d)
9a)
9b)
 1 
 9u (  4 t )  2 
dz
 z 
dx
2
3
dy
1 

2
  10 x 
9u

dz
2 x 

dy
dt
dy
dt

  24 x

6
x
4
2
et
 4  5t 
Département de mathématiques
2
et

dz
4 t
dy
dt
dx
3
0
z 1
1
z
et
2
dy
dz
e st n o n dé fin ie
z  0 ,5
  384
x4
et
dy
dt

t  1
2
27
20
Réponses au numéro 3, page 164
21
Une lentille convergente élémentaire composée
d'une seule surface sphérique de réfraction
Département de mathématiques
22
Épicicle et déférent :
Département de mathématiques
Département de mathématiques
23
23