Transcript 2014/2015 Feuille 2 - N1MA5012 - Intégration Opération sur les

2014/2015
Feuille 2 - N1MA5012 - Int´egration
Op´
eration sur les ensembles
Exercice 1
Soient E et F des ensembles non vides, et soit f une application de E dans F . Pour toute
partie A de F , on d´efinit : f −1 (A) = {x ∈ E, f (x) ∈ A}. Soit (Ai )i∈I une famille de parties
de F . Montrer qu’on a
f −1 (∪i∈I Ai ) = ∪i∈I f −1 (Ai ) et f −1 (∩i∈I Ai ) = ∩i∈I f −1 (Ai )
ainsi que f −1 (F \ Ai ) = E \ f −1 (Ai ).
Dire quelles ´egalit´es ci-dessus sont encore vraies si on remplace les images r´eciproques par les
images directes. Lorsqu’elles ne sont plus vraies, donner un contre-exemple.
Tribus
Exercice 2
Soit Ω un ensemble non vide. Les ensembles Ti suivants sont-ils des alg`ebres de Boole ? sont-ils
des tribus sur Ω ?
a) T1 = {A ⊂ Ω, A ou Ω \ A fini}.
b) T2 = {A ⊂ Ω, A ou Ω \ A fini ou d´enombrable}.
c) T3 = {∅, {a}, Ω \ {a}, Ω}, o`
u a ∈ Ω.
d) T4 = {{x}, x ∈ Ω}.
Exercice 3
Soit A une tribu sur X et soit Y un sous-ensemble non vide de X. Montrer que B = {A∩Y, A ∈
A} est une tribu sur Y .
Exercice 4
Soient A et B deux parties d’un ensemble non vide Ω. Quelles sont les tribus engendr´ees par
les familles F suivantes :
F = {A}, F = {A, B}, F = {{x}, x ∈ Ω}.
Exercice 5
Soit Y un ensemble, X un sous-ensemble non vide de Y et A une tribu sur X. Quelle est la
tribu de Y engendr´ee par A ?
Exercice 6
Soit A une tribu sur X, B une tribu sur Y , et f X → Y une application. Montrer que
{f −1 (B) : B ∈ B}
et
{B ⊂ Y : f −1 (B) ∈ A}
sont des tribus sur X ; respectivement sur Y .
Utiliser ce qui pr´ec`ede pour montrer, pour toute partie S ⊂ P(Y), que f −1 (σ(S)) = σ f −1 (S)
o`
u σ(P) d´esigne la tribu engendr´ee par P.
Mesures
Exercice 7
Soit (Ω, A) un espace mesurable.
1. Que peut on dire d’une mesure constante sur (Ω, A) ?
2. Montrer que si µ et ν sont des mesures sur (Ω, A), et si a ∈ R+ , µ + ν et aµ sont des
mesures sur (Ω, A).
3. Si (µP
efinir une mesure
n )n∈N est une suite de mesures sur (Ω, A), montrer qu’on peut d´
µ = n≥0 µn .
Exercice 8
Les applications suivantes d´efinies sur T , sont-elles des mesures sur (N, T ), o`
u T = {∅, {1}, N\{1}, N} ?
1. ∀E ∈ T , µ(E) = 5 si 1 ∈ E, µ(E) = 0 sinon.
2. ν({1}) = 1 et ∀E ∈ T , ν(E) = 0 si E 6= {1}.
Exercice 9 La mesure de Dirac
Sur la tribu Bor´elienne B(R) de R, on d´efinit δa par :
∀A ∈ B(R), δa (A) = 1 si a ∈ A et δa (A) = 0 si a ∈
/ A.
Montrer que δa est une mesure sur B(R).
Exercice 10 La mesure de d´enombrement
Soit Ω un ensemble muni de la tribu P(Ω). Si E ⊂ Ω on pose µ(E) = +∞ si E est infini et
µ(E) = card(E) si E est fini. Montrer que µ est une mesure sur (Ω, P(Ω)).
Exercice 11
Soit X un ensemble non d´enombrable et soit
A = {A ⊂ X, A ou A{ au plus d´enombrable}.
On rappelle que A est une tribu. Pour A ∈ A, on pose µ(A) = 0 si A est au plus d´enombrable
et µ(A) = 1 si A{ est au plus d´enombrable. Montrer que µ est une mesure sur (X, A).
Exercice 12
Soit (X, A, µ) un espace mesur´e. On consid`ere une suite (An )n∈N d’´el´ements de A.
S
1. On suppose que la suite (An )n∈N est croissante ; montrer que µ(
An ) = lim µ(An ).
n→+∞
n∈N
T
2. On suppose que la suite est d´ecroissante et que µ(A0 ) est fini. Montrer que µ(
An ) =
n∈N
lim µ(An ).
n→+∞
3. Trouver un exemple dansT R, muni de la mesure de Lebesque λ, d’une suite (An )n∈N
d´ecroissante telle que λ(
An ) 6= lim λ(An ).
n→+∞
n∈N
Rappel : Soit (An ) une suite de parties de Ω. On pose




[ \
\ [


lim sup An =
Ak  et lim inf An =
Ak  .
n
k≥n
n
k≥n
Si (an ) est une suite de r´eels, comment est d´efini lim sup an et lim inf an ?
Exercice 13
1. Montrer que x ∈ lim sup Ak si et seulement si x ∈ Ak pour une infinit´e d’indices k ; que
x ∈ lim inf Ak si et seulement si x appartient `a tous les Ak sauf peut-ˆetre un nombre fini.
2. Soit Ω un ensemble et (An ) une suite de parties de Ω. D´eterminer lim sup An et lim inf An
dans les cas
— (An ) est monotone (par rapport `a l’ordre partiel d’inclusion)
— A2n = B et A2n+1 = C o`
u B, C sont deux parties de Ω.
— les An sont deux `
a deux disjoints.
3. Dans la suite de l’exercice on suppose que l’on a un espace mesur´e (Ω, T , µ) et que pour
tout entier n, An ∈ T . Justifier que lim sup An et lim inf An sont dans T .
4. Montrer que µ(lim inf An ) ≤ lim inf µ(An ) (“propri´et´e de Fatou”).
5. On suppose de plus qu’il existe B dans T tel que µ(B) < +∞ et pour tout entier
n, An ⊂ B (donner un exemple de mesure pour laquelle cette condition est toujours
v´erifi´ee). Montrer que lim sup µ(An ) ≤ µ(lim sup An ).
6. Montrer que si l’on suppose `
a la fois qu’il existe B dans T tel que µ(B) < +∞ et
pour tout entier n, An ⊂ B et que la suite (An ) converge (c’est-`a-dire lim inf An =
lim sup An := lim An ) alors la suite (µ(An ))n converge et lim µ(An ) = µ(lim An ).
n
n
Exercice 14
Soit
P (X, A, µ) un espace mesur´e. On consid`ere une suite (An )n∈N d’´el´ements de A telle que
eduit-on pour presque tout x de
n≥0 µ(An ) < +∞. Montrer que µ(lim sup An ) = 0. Qu’en d´
X?
Exercice 15
Soit X = {a, b, c, d, e, f } un ensemble et F = {{a}, {b, c, d}}.
(a) Trouver σ(F) la tribu sur X engendr´
ee par F.
1 si c ∈ E
On d´efinit µ : σ(F) → R+ par : µ(E) =
0 sinon
(b) On d´efinit la famille des ensembles µ−n´egligeable :
N = {N ∈ P(X) : ∃B ∈ σ(F) : N ⊆ B et µ(B) = 0}. D´ecrire cette famille.
(c) Maintenant on d´efinit µ∗ et µ∗ les mesures ext´erieure et int´erieure associ´ee sur P(X) par :
µ∗ (A) = inf{µ(S) : A ⊆ S et S ∈ σ(F)} et
µ∗ (A) = sup{µ(S) : A ⊇ S et S ∈ σ(F)}.
Calculer µ∗ ({b, d}), µ∗ ({e}), µ∗ ({b, d}), µ∗ ({e}).
(d) Trouver la famille {A ∈ P(X) : µ∗ (A) > µ∗ (A)}.
(e) D´ecrire la famille τ (F) = {A ∈ P(X) : µ∗ (A) = µ∗ (A)}.
(f) Montrer que τ (F) est une tribu qui contient toutes les parties de X de la forme A ∪ N, o`
u
A ∈ σ(F) et N est un ´el´ement de N .
Tribus de Borel et de Lebesgue
Exercice 16
Montrer que les ensembles suivants sont des ´el´ements de la tribu de Borel :
A = [0, 1)
B = {1, 2}
C=Q
E = {x : x est n´egatif et rationnel ou positif et irrationnel}.
D = [0, 1]
Exercice 17
Est-ce que la tribu de Borel est engendr´ee par les singletons ; les intervalles de la forme (a, +∞) ;
les intervalles ferm´es ?
Exercice* 18 Structure bor´elienne des points de continuit´e d’une fonction
Soit (X, d) un espace m´etrique et f : X → R une application quelconque. On note B(x, r) =
{y ∈ X|d(x, y) < r} et on d´efinit l’oscillation de f en x, not´ee ω(x), par
ω(x) = inf{ω(x, δ) ; δ > 0}
avec
ω(x, δ) = sup{|f (t) − f (s)| ; s, t ∈ B(x, δ)}.
1. Montrer que f est continue en x si et seulement si ω(x) = 0.
2. Montrer que pour tout > 0, A = {x ∈ X ; ω(x) < } est un ouvert.
3. En d´eduire que l’ensemble des points de continuit´e de f est un Gδ (c’est-`a-dire une
intersection d´enombrable d’ouverts). En particulier c’est un bor´elien.
Exercice* 19 Un ensemble non d´enombrable de mesure de Lebesgue nulle
1. Soit A un sous-ensemble d´enombrable de R, que vaut sa mesure de Lebesgue ? En d´eduire
une nouvelle preuve de la non d´enombrabilit´e de [0, 1].
2. On consid`ere C0 = [0, 1] puis on construit par r´ecurrence Cn+1 en enlevant de chaque
composante connexe de Cn l’int´erieur de son tiers central. Ainsi C1 = [0, 13 ] ∪ [ 23 , 1],
repr´esenter C2 et C3 .
T
3. L’ensemble de Cantor C est d´efini par C =
Cn . Justifier que C est un ensemble
n∈N
bor´elien.
4. Monter que λ(Cn ) =
de mesure nulle.
2 n
3
o`
u λ est la mesure de Lebesgue sur R. En d´eduire que C est
5. Monter que C est aussi l’ensemble des x ∈ [0, 1] qui peuvent ˆetre ´ecrits en base 3 sans
utiliser le chiffre 1. C’est donc aussi l’ensemble des x = 0, x1 x2 . . . (en base 3) avec tous
les chiffres x1 , x2 , etc dans {0, 2}.
6. Trouver une application surjective de C dans [0, 1] (penser `a l’´ecriture en base 2). En
d´eduire que C n’est pas d´enombrable.
7. On admet que la tribu de Borel de R peut ˆetre mise en bijection avec [0, 1] (on dit qu’elle
a la puissance du continu), en utilisant un r´esultat de la feuille pr´ec´edente d´eduire de ce
qui pr´ec`ede qu’il existe des sous-ensembles de C qui ne sont pas bor´eliens.
Exercice 20
a) Soit N un sous-ensemble de R de mesure de Lebesgue nulle, montrer que R \ N est dense
dans R (ind. que peut-on dire de ]a, b[∩(R \ N ) ?). Que pensez-vous de la r´eciproque ?
b) Construire un ferm´e A de [0, 1], de mesure de Lebesgue strictement positive et ne rencontrant pas Q. Peut-on faire la mˆeme chose si l’on demande `a A d’ˆetre ouvert ?
Exercice 21 Construction d’un ensemble non Lebesgue-mesurable
On partitionne [0, 1] par ses classes d’´equivalence modulo Q. L’axiome du choix assure l’existence d’un ensemble A ⊂ [0, 1] qui contient exactement un repr´esentant de chaque classe. On
va montrer, par l’absurde, que A n’est pas mesurable au sens de Lebesgue (exemple de Vitali,
1905). Supposons donc A mesurable, on note λ la mesure de Lebesgue sur R.
1. Soit r ∈ Q ∩ [−1, 1], justifier que r + A = {r + a, a ∈ A} est mesurable et que λ(r + A) =
λ(A).
2. Montrer que
[
[0, 1] ⊂
(r + A) ⊂ [−1, 2]
r∈Q∩[−1,1]
!
3. Si λ(A) = 0 prouver que λ
S
(r + A)
= 0. En d´eduire une contradiction.
r∈Q∩[−1,1]
4. Montrer que si r et s sont deux rationnels distincts alors (r +A)∩(s+A) = ∅. En d´eduire
`a nouveau une contradiction si l’on suppose λ(A) > 0.