Transcript    x   

Solution – Fonctions Numériques – Exponentielles – Continuité – Dérivabilité – s4372
 x 1/x si x ≠ 0
Soit l’application f définie sur IR par : f(x) =  1 + e
.
 0 si x = 0
1-a) Etudier la continuité de f sur IR .
La fonction f est continue sur IR* , comme composée et rapport de fonctions continues sur IR*.
On remarquera que 1 + e1/x > 0 sur IR* .
Continuité en x = 0 :
- Si x → 0- :
x→0


1
→ -∞ d’où e1/x → 0 et 1 + e1/x → 1 . Donc  1 + e1/x → 1  ⇒ lim – f(x) = 0 .


x
x →0
- Si x → 0+ :
x→0


1
→ +∞ d’où e1/x → +∞ et 1 + e1/x → +∞ . Donc  1 + e1/x → +∞  ⇒ lim + f(x) = 0 .


x
x →0
On conclue : lim – f(x) = lim + f(x) = 0 = f(0) .
x →0
x →0
La fonction f est continue en x = 0 , donc continue sur IR.
b) Etudier la dérivabilité de f sur IR .
La fonction f est dérivable sur IR* , comme composée et rapport de fonctions dérivables sur IR*.
Dérivabilité en x = 0 :
- Si x → 0- :
f’g(0) = lim –
x →0
f(x) – f(0)
f(x)
1
= lim –
= lim
= 1 car e1/x → 0 (dérivée à gauche de 0) .
x–0
x →0
x x → 0– 1 + e1/x
La courbe représentative de f admet une tangente à gauche en 0 de coefficient directeur 1 .
- Si x → 0+ :
f’d(0) = lim +
x →0
f(x) – f(0)
f(x)
1
= lim +
= lim
= 0 car e1/x → +∞ (dérivée à droite de 0) .
x–0
x →0
x x → 0+ 1 + e1/x
La courbe représentative de f admet une tangente horizontale à droite en 0.
c) Déterminer la limite de f en -∞
∞ et +∞
∞.
- Si x → -∞ :
 x → -∞ 
1
→ 0 d’où e1/x → 1 et 1 + e1/x → 2 . Donc  1 + e1/x → 2  ⇒ lim f(x) = -∞ .


x
x → -∞
- Si x → +∞ :
 x → +∞ 
1
→ 0 d’où e1/x → 1 et 1 + e1/x → 2 . Donc  1 + e1/x → 2  ⇒ lim f(x) = +∞ .


x
x → -∞
1/ Soit g l’application de IR* dans IR définie par : g(x) = 1 +

1 1/x
e +1.
x
a) Etudier les variation de g et en déduire le signe de g(x) sur IR* .
g est définie, continue et dérivable sur IR* , comme composée, produit et somme de fonctions dérivables sur IR* .
1
Dérivée :
On sait que (eu)’ = u’.eu et (uv)’ = u’v + v’u , d’où 1 +

1'
1
1
= - 2 et (e1/x)’ = - 2 e1/x .
x
x
x
1
1 1
1
1
x+2
g’(x) = - 2 e1/x + 1 + - 2 e1/x = - 2 1 + 1 +  e1/x ⇒ g’(x) = - 3 e1/x .
x
x 
x
 x  x 
 x
Recherche des Extremum :
g’(x) = 0 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = -2 , avec y = f(-2) =
1 -1/2
e + 1 ≈ 1,30 .
2
Signe de la Dérivée :
g’(x) est du signe de -
x+2
, donc change de signe en x = -2 et x = 0 .
x
x
-∞
-2
0
+∞
x
–
|
–
0
+
-(x + 2)
+
0
–
|
–
g’(x)
–
0
+
||
–
Tableau de Variation :
x
-∞
-2
g '(x)
–
0
0
g (x)
+
+∞
||
1,30
–
||
Signe de g(x) :
- Sur ]-∞ , 0[ : g est continue et présente un minimum d’ordonnée 1,30 .
En conséquence : g(x) > 0 sur ]-∞ , 0[ .
- Sur ]0 , +∞[ : g(x) = 1 +

1 1/x
e + 1 est le produit et la somme d’expressions positives sur ce domaine, d’où : g(x) > 0
x
sur ]0 ; +∞[ . On conclue : g(x) > 0 sur IR*.
b) Exprimer f’(x) à l’aide de g(x) .
f(x) =
x
u
u’v – v’u
sur IR*, de forme , donc de dérivée
.
v
v2
1 + e1/x
1(1 + e1/x) – x-
f’(x) =
1  1/x 
1
e
1 + e1/x + 1
 x2 
 x
(1 + e1/x)2
=
(1 + e1/x)2
, soit f’(x) =
g(x)
.
(1 + e1/x)2
On conclue f’(x) > 0 sur IR*.
c) Dresser le tableau de variation de f sur IR .
x
-∞
f '(x)
f (x)
-1
+
1
-∞
||
0
2
+∞
∞
+
+∞
d) Tracer la courbe (C) représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (unité : 1 cm).
Complément (assez difficile) : Montrons que (D) d’équation y =
x 1
– est asymptote oblique à (C) .
2 4
x 1
Etudions le comportement aux infinis de l’écart algébrique E(x) = f(x) –  –  .
2 4
E(x) =
1/x
x
x – 1 = x  2 1/x – 1 + 1 = x  1 – e1/x  + 1 .
1/x –
1+e
2 4 2 1 + e
 4 2 1 + e  4
E(x) =
1 1  1 – e1/x 1
×
+ .
21 + e1/x   1/x  4
Si x → ±∞ , alors
D’où :
1
→ 0 et e1/x → 1 .
x
1
1
mais
1/x =
1
+
e
2
→ ±∞
lim
x
On pose X =
D’où :
1
1
, soit x =
x
X
et
1 – e1/x
0
indéterminé de forme
.
1/x
0
→ ±∞
lim
x
lim X = 0 .
x → ±∞
1 – e1/x
eX – 1
= - lim
= - exp’(0) = -1 .
X →0
X
→ ±∞ 1/x
lim
x
On déduit :
lim E(x) =
x → ±∞
1
1  
1 – e1/x 1 1 1
1
lim
lim
– = × × (-1) + = 0 .
1/x ×
2 x → ±∞1 + e  x → ±∞ 1/x  4 2 2
4
La droite (D) d’équation y =
x 1
– est asymptote oblique à (C) tant vers -∞ que +∞ .
2 4
3