Transcript TD N°3 - Lama

IUT de Chambéry - 1ère année GCCD et PEC
2014-2015
TD 3 DE MATHÉMATIQUES
FONCTIONS
Calcul de limites.
Exercice 1. Calculer, en explicitant la démarche et en n’utilisant que les propriétés des fonctions
usuelles :
√
x+ x
(1) lim
; lim xx e−x
x→+∞
x→+∞
x
1
(2) lim x sin(1/x) ; lim
cos(x)
x→+∞ x
x→0
x3/2 + x + sin(xα)
(3) lim
,α∈R
x→+∞
x3/2
x1/2
(1/2)x2 + x
(4) lim
; lim
x→+∞ x
x→+∞
x2
1/2
x sin(x)
x3
(5) lim
; lim 6
x→+∞
x→+∞ x
x
√
e x
ln(x)
; lim
(6) lim
x→+∞ x5
x→+∞ x
Exercice 2.
2x2 −x−2
• Déterminer, si elle existe, la limite de 3x
2 +2x+2 en 0. Et en +∞ ?
• Déterminer, si elle existe, la limite de sin x1 en +∞ ?
• En utilisant la définition de la limite (avec des ), montrer que
lim (3x + 1) = 7.
x→2
• Montrer que si f admet une limite finie en x0 alors il existe δ > 0 tel que f soit bornée sur
]x0 − δ, x0 + δ[.
• Déterminer, si elle existe, limx→2
x2 −4
x2 −3x+2
?
Monotonie, parité, majoration, minoration de fonctions.
Exercice 3.
• Soit U =] − ∞, 0[ et f : U → R définie par f (x) = 1/x. La fonction f est-elle monotone ? Et sur
U =]0, +∞[ ? Et sur U =] − ∞, 0[ ∪ ]0, +∞[ ?
• On dit que f : U → R est une fonction : paire si pour tout x de U , f (−x) = f (x), impaire si
pour tout x de U , f (−x) = −f (x). Pour deux fonctions paires que peut-on dire sur la parité de la
somme ? du produit ? et de la composée ? Et pour deux fonctions impaires ? Et si l’une est paire
et l’autre impaire ?
x
1
• Soit f : R → R la fonction définie par f (x) = 1+x
2 . Montrer que |f | est majorée par 2 , étudier
les variations de f (sans utiliser de dérivée) et tracer son graphe.
1
Continuité.
Exercice 4.
• Déterminer le domaine de définition et de continuité des fonctions suivantes :
r
1
f (x) = 1/ sin x, g(x) = 1/ x + , h(x) = ln(x2 + x − 1).
2
• Trouver les couples (a, b) ∈ R2 tels que la fonction f définie sur R par f (x) = ax + b si x < 0 et
a
+ b pour x < 0 ?
f (x) = exp(x) si x ≥ 0 soit continue sur R. Et si on avait f (x) = x−1
• Soit f une fonction continue telle que f (x0 ) = 1. Montrer qu’il existe δ > 0 tel que : pour tout
x ∈]x0 − δ, x0 + δ[ f (x) > 21 .
• Étudier la continuité de f : R → R définie par :
1
,
f (x) = sin(x) cos
x
si x 6= 0 et f (0) = 0.
Exercice 5.
(1) Soit f : R 7→ R la fonction définie par :
x sin x1 si x > 0
f (x) =
2x2 + x si x ≤ 0
La fonction f est-elle continue en x0 = 0 ?
(2) Soit f : R 7→ R la fonction définie par :
x2 +2x2
si x > 0
x6 +x2
f (x) =
1 − cos(x) si x ≤ 0
La fonction f est-elle continue en x0 = 0 ?
Dérivation.
Exercice 6. Après avoir étudié le domaine de définition et celui de dérivabilité, donner les dérivées
des fonctions suivantes :
√
exp(x)
• f1 (x) = (3x3 + 4) arctan(x) , f2 (x) =
, f3 (x) = x(3 ln(x) + 1) ,
2
x
f4 (x) = arccos(x) + 2 arcsin(x) .
cos(2x)
, g2 (x) = 2x ln(x3 + 2) , g3 (x) = arctan(3x + 1) − arcsin(x2 )
2 + 1)
3 exp(x
p
p
g4 (x) = ln(x x2 + 1) , g5 (x) = x2 + 3x + 4
• g1 (x) =
Étude de fonctions.
Exercice 7.
• On souhaite encadrer la fonction x 7→ ln(1 + x) par deux polynômes sur l’intervalle [0; +∞[. Pour
ce faire, on considère deux fonctions f et g définies sur [0; +∞[ par :
f (x) = ln(1 + x) − x,
1
g(x) = ln(1 + x) − x + x2 .
2
(a) Étudier les variations de f et g sur [0; +∞[.
2
(b) En déduire que pour tout x dans [0; +∞[ :
1
x − x2 ≤ ln(1 + x) ≤ x.
2
• Soit f la fonction définie sur R par :
f (x) = (x2 + x + 1)e−x − 1.
(a) Déterminer les limites de f en +∞ et −∞.
(b) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
x
. Étudier
1+x2
par 21 sur R.
• Soit f : R → R la fonction définie par f (x) =
déduire que la fonction x 7→
x
1+x2
est bornée
les variations de la fonctions et en
Exercice 8. Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par :
ln(x)
.
x
(1) Étudier les variations de f et préciser les asymptotes à la courbe représentative Γf .
f (x) =
(2) Montrer que Γf admet un point d’inflexion et déterminer les coordonnées de ce point.
Exercice 9.
(1) Étudier la fonction f définie sur [−1; 1] par :
f (x) = arccos(x) + arcsin(x).
(2) Démontrer que pour tout x de [−1; 1] :
π
.
2
Exercice 10. On considère la fonction f définie sur U par :
x
f (x) = arcsin
,
x2 + 1
et Γf sa courbe représentative.
arccos(x) + arcsin(x) =
(1) Déterminer le domaine de définition U de f .
(2) Calculer les limites de la fonction f aux bords du domaine de définition U .
(3) Calculer sa dérivée.
(4) En déduire le tableau de variation de f .
(5) Tracer sa courbe représentative.
3