Transcript Cours et exercices de Mathématiques en CPGE 1-TSI

TSI-1
Mathématiques - Programme d’interrogations orales
2014/15
Semaine no 4 - du 13/10/2014 au 19/10/2014
o
Limites et manipulations d’expression
trigonométriques
Ce programme d’interrogations est disponible en ligne sur le site http://chauvetmath.free.fr à la rubrique Programme de colles.
Note à l’attention des étudiants
Pour cette première partie de l’année, les interrogations orales se dérouleront en trois temps :
• 1e temps : Pratique calculatoire - 10 minutes maximum
Il s’agit de s’assurer d’une bonne maîtrise de votre part sur des calculs de dérivées, de recherches de primitives,
d’études de signe, de calcul de sommes, de résolution d’équations différentielles notamment. Chaque semaine un
thème de travail sera retenu et précisé dans le programme d’interrogations.
• 2e temps : Résolution d’un exercice préparé - 20 minutes maximum
Il est demandé pour préparer sa colle de travailler les exercices ci-après. Ces derniers portent sur la thématique de
révision de la semaine et demandent de mettre en oeuvre des techniques ou des concepts essentiels ;
• 3e temps : Exercice non préparé en amont - 30 minutes
Il s’agit de traiter un exercice donné par l’interrogateur, et portant sur la thématique de la semaine.
Pratique calculatoire
• Résolutions d’équations différentielles linéaires d’ordre 1 et 2 du type y ′ + a y = b et y ′′ + ω2 y = 0 : se reporter au
document de travail ELED0 - Équations différentielles et aux corrigés du DTL4 et DTL5.
• Études de signes et polynômes de degré 2 ou 3 (voir chapitre CAL2).
Thématique de la semaine : Calculs de limites en un point ou à l’infini et manipulation d’expression trigonométrique
• Tout le Chapitre - CAL3 - Calculs de limites en un
point ou à l’infini, dont voici les principaux éléments :
,→ Opérations sur les limites ;
,→ Limites en ±∞ de polynômes ou quotient de polynômes ;
,→ Taux d’accroissements ;
,→ Croissances comparées entre x n , ln(x) et e x ;
,→ Limite d’une composée.
• Tout le chapitre Chapitre - CAL4 - Manipuler des
expressions trigonométriques, dont voici les principaux éléments :
,→ Fonctions sinus et cosinus ;
,→ Lignes trigonométriques ;
,→ Formules d’additions ;
,→ Formules de duplication ;
,→ Formules de factorisation ;
,→ Résolution d’équations ou inéquations trigonométriques.
Exemples de savoir faire à maîtriser
La liste ci-dessous n’est pas exhaustive, et toute technique en rapport avec les contenus précédemment listés peut
bien évidemment vous être demandé.
• Déterminer la limite en ± d’un polynôme ;
• Déterminer la limite en ± d’un quotient de polynômes ;
• Lever une indéterminée à l’aide d’une factorisation et des croissances comparées ;
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• Utiliser un taux d’accroissement pour calculer une limite ;
• Utiliser les différentes formules de trigonométrie ;
• Résoudre une équation trigonométrique ;
Reprendre les exercices traités en classe peut être à ce propos un bon moyen pour s’approprier ces éléments.
Exercices à préparer
E x. n o 1
Manipuler les formules de trigonométrie
(1). Simplifier les expressions suivantes où x ∈ R :
(a). sin(π + x) + cos(x + π) − sin(−x) ;
´
³π
− x + sin(−x) ;
(b). sin(π + x) + cos
2
´
³π
´
³π
+ x + sin
− x − cos(−x).
(c). 2sin
2
2
¡
¢
¢
1¡
(2). Montrer que, pour tout x, y ∈ R, sin(x) cos(y) = sin(x + y) − sin(x − y) .
2
E x. n o 2
Équations trigonométriques
Résoudre dans R :
(1). sin
´ p3
−x =
;
4
2
³π
(2). sin (2x) = cos(x) ;
(3). sin (x) = cos
E x. n o 3
³π
3
´
+x .
Calculs de limites
Calculer les limites suivantes :
ex −1
;
x→+∞
x
¡ 2
¢
(2). lim x − x + 1 e x ;
(1).
lim
x→−∞
x −ex
;
x→+∞ x 2 + x + 1
µ 2
¶
3x − 1
(4). lim ln
;
x→+∞
2x 2 + 1
(3).
lim
x ln(x)
;
x +1
x ln(x)
.
(6). lim
x→0 x − 1
(5).
lim
x→+∞
Programme à venir
• Tout depuis le début de l’année.
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