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Mr :Khammour.K
Année Scolaire : 2013/2014
Niveau : 4èmeMath
Série n°8 : Intégrales
Rappel :
Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé borné I. Soient a et b deux réels de
I. F est la primitive de f sur I.
On appelle intégrale de f a à b de f le nombre réel noté :
𝐛
� 𝐟(𝐱) 𝐝𝐱 = [𝐅(𝐱)]𝐛𝐚 = 𝐅(𝐛) − 𝐅(𝐚)
𝐚
Propriétés :
 Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé borné I. Alors :
a
a
∫a f(x) dx = 0
b
; ∫b f(x) dx = − ∫a f(x) dx
b
c
b
∫a dx = [x]ba = b − a
c
∫a f(x) dx + ∫b f(x) dx = ∫a f(x) dx
 Relation de Chasles :
b
 Positivité :Si f est continue et positive sur [a,b] et a < b alors : ∫a f(x) dx ≥ 0
Intégrale d’une égalité :
Soient f et g deux fonctions continues sur [a,b] avec a < b alors :
b
b
f ≤ g sur [a,b] ⇒ ∫a f(x) dx ≤ ∫a g(x) dx
Parité :
Soit f une fonction continue sur un intervalle symétrique [-a,a] :
a
a
 Si f est paire alors ∫−a f(x) dx = 2 ∫0 f(x) dx.
a
 Si f est impair alors ∫−a f(x) dx = 0
Intégration par partie :
Soit U et V deux fonctions dérivables sur [a,b] alors :
𝐛
′
� 𝐔(𝐱). 𝐕 (𝐱) 𝐝𝐱 =
𝐚
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[𝐔. 𝐕]𝐛𝐚
𝐛
− � 𝐔 ′ (𝐱). 𝐕(𝐱) 𝐝𝐱
𝐚
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Théorème :
Soit f une fonction continue sur I et g une fonction continue sur J telle que
g(x)
g(J)⊂I .Alors la fonction F définie sur J par F(x) = ∫a
sur J et 𝐅 ′ (𝐱) = 𝐠 ′ (𝐱) × 𝐟(𝐠(𝐱))
f(t) dt est dérivable
Valeur moyenne :
Soit f une fonction continue sur [a,b] :On appelle valeur moyenne de f sur [a,b]
le réel ,noté f ̅
f̅ =
b
1
� f(x) dx
b−a a
Inégalité de la moyenne :
Soit f une fonction continue sur [a,b] (a<b).Soit M et m deux réels ,si pour tout x
de [a,b] m ≤ f(x) ≤ M alors m ≤ f̅ ≤ M
Calcul d’aires :
Soit f une fonction continue et positive sur [a,b] .L’aire 𝒜 du domaine définie
b
par : a ≤ 𝑥 ≤ b et 0 ≤ 𝑦 ≤ f(x) est 𝒜 = ∫a f(x) dx
Exercice n°1 :
Calculer l’intégrale I :
2
1)𝐼 = ∫0
(2+𝑥)2
𝜋
4
4) 𝐼 = ∫0
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
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1
; 2) 𝐼 = ∫0
√𝜋
2
; 5) 𝐼 = ∫0
𝑥
(2+𝑥 2 )2
2𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 2
𝜋
𝑑𝑥 ; 3) 𝐼 = ∫0
𝑑𝑥
𝜋
4
2𝑠𝑖𝑛𝑥
(2+𝑐𝑜𝑠𝑥)3
; 6) ∫0 cos(𝑥 ) 𝑠𝑖𝑛3 (𝑥) d𝑥
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Exercice n°2 :
Calculer au moyen d’intégration par partie, l’intégrale I.
𝜋
2
1) ∫0 𝑥sin(𝑥 ) d𝑥
𝜋
2
𝜋
2
𝜋
2
3) ∫0 𝑥 2 sin(𝑥 ) d𝑥
2) ∫0 𝑥cos(𝑥 ) d𝑥
2
4) ∫0 (𝑥 + 1) sin(2𝑥 ) d𝑥
Exercice n°3 :
𝜋
3
𝜋
2
5) ∫0 𝑥𝑐𝑜𝑠(3𝑥) d𝑥 6) ∫0 𝑥 2 sin(2𝑥 ) d𝑥
𝜋
Soient I et J les intégrales suivantes : 𝐼 = ∫0 𝑥𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 d𝑥 et
𝜋
1) Calculer I+J.
2) En déduire I et J.
𝐽 = ∫0 𝑥𝑠𝑖𝑛2 𝑥 d𝑥
Exercice n°4 :
x dt
Soit la fonction f définie sur ] − 1, +∞[ par f(x) = ∫0
1+t3
.
1) Monter que f dérivable sur ] − 1, +∞[ et calculer sa fonction dérivée.
n dt
2) Soit U la suite définie sur IN par Un = ∫0
a) Montrer que U est croissante.
1+t3
n dt
b) Démonter les inégalités suivantes : U1 < 1 et Un < ∫0
c) En déduire que U est majoré et par suite ,convergente.
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t3
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Exercice n°5 :
Pour tout n de IN , on considère la fonction Fn définie et dérivable sur [0,1[
x dt
F0 (x) = ∫0
par :�
x
Fn (x) = ∫0
√1−t
tn
√1−t
dt
1) a) Vérifier que pour tout n de IN , Fn définie et dérivable sur [0,1[.
b) Montrer que Fn est croissante sur [0,1[.
2) a) Calculer F0 (x).
b) En déduire que pour tout x de [0,1[ ; Fn (x) ≤ 2.
c) En déduire que Fn (x) admet une limite à gauche de 1.On note In cette
limite.
3) a) Vérifier que pour tout n∈IN* et pour tout x de [0,1[,on a :
x
Fn (x) − Fn−1 (x) = − ∫0 t n √1 − t dt
b) A l’aide d’une intégration par partie , prouver que pour tout
IN* et pour tout x de [0,1[,on a :
n
n de
x
Fn (x) = −2x √1 − x + 2n � t n−1 √1 − t dt
0
d) Monter que pour tout n de IN* et pour tout x∈[0,1[ , on a :
(2n + 1)Fn (x) = −2x n √1 − x + 2nFn−1 (x)
4)a) Déduire que pour tout n de IN* (2n + 1)In = 2nIn−1 .
b) Calculer I0 , I1 et I2 .
c) Montrer que pour tout n>0 : In =
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22n+1 (n!)2
(2n+1)!
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Exercice n°6 :
x
1) Calculer pour tout réel x positif I(x) = ∫0 t√1 − t 2 dt.
x
2) Soit la suite définie sur IN* par : In (x) = ∫0 t n √1 − t 2 dt.
a) Trouver une relation de récurrence entre In (x) et In−2 (x).
b) Que devient cette relation pour 𝑥 = 1 ?En déduire I2p (1) et I2p+1 (1)
Exercice n°7 :
Soit la fonction f définie par :f(x) = 2√x − x
1) Etudier la dérivabilité de f sur [0 ,1].Dresser son tableau de variations.
2) a)Montrer que f est une bijection de I sur un intervalle J que l’on
précisera .On note g sa fonction réciproque .
b)Etudier la dérivabilité de de g sur J .
3) Tracer dans un repère orthonormé (𝑂, 𝚤⃗, 𝚥⃗) Cf et Cg.
4) Expliciter g(x) pour tout x de J.
5) Calculer l’aire délimitée par Cf et Cg.
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Correction des exercices :
Exercice n°1 :
1)𝐼 =
2) 𝐼 =
2 𝑑𝑥
∫0 (2+𝑥)2
3) 𝐼 =
1
𝑥
∫0 (2+𝑥 2 )2 𝑑𝑥
𝜋 2𝑠𝑖𝑛𝑥
∫0 (2+𝑐𝑜𝑠𝑥)3
𝜋
4
4) 𝐼 = ∫0
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
√𝜋
2
5) 𝐼 = ∫0
𝜋
4
= �−
2𝑥
1
2
1
x+2 0
= �−
= �−
1
4
1
2
1
4
1
1
� = − − �− � =
2(2+𝑥 2 ) 0
1
(2+𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝜋
4
= [tg(x)]0 = 1
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 2
1
� = − − �− � = ;
6
𝜋
4
1
12
;
1
( )
2 � = −1 − �− � = −
9
0
8
9
;
√𝜋
2
𝑑𝑥 = ∫0 2𝑥 ×
1
1
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 2
2
√𝜋
2
𝑑𝑥 == [tg(𝑥 )]0 = 1
𝜋
4
;
1 √2
4 2
6) ∫0 cos(𝑥 ) 𝑠𝑖𝑛3 (𝑥) d𝑥 == � 𝑠𝑖𝑛4 (𝑥)� = ( )4 = 2
4
Exercice n°2 :
𝜋
2
1) ∫0 𝑥sin(𝑥 ) d𝑥
0
On pose 𝑈(𝑥) = 𝑥
→
𝑈 ′ (𝑥) = 1
𝑉 ′ (𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 → 𝑉(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑥
Par une intégration par partie on obtient :
𝜋
2
𝜋
2
𝜋
2 −cosx
∫0 𝑥sin(𝑥 ) d𝑥 = [−x. cosx]0 − ∫0
𝜋
2
dx = [sinx]0 = 1
𝜋
2
2) ∫0 𝑥cos(𝑥 ) d𝑥 on pose 𝑈(𝑥) = 𝑥 → 𝑈 ′ (𝑥) = 1
𝑉 ′ (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 → 𝑉(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥
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𝜋
2
Par une intégration par partie on obtient : ∫0 𝑥cos(𝑥 ) d𝑥 =
𝜋
2
3) ∫0 𝑥 2 sin(𝑥 ) d𝑥
𝜋
2
−1
𝑈(𝑥) = 𝑥2 → 𝑈 ′ (𝑥) = 2𝑥
𝑉 ′ (𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 → 𝑉(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑥
Par une intégration par partie on obtient :
𝜋
2
2
∫0 𝑥 sin(𝑥 ) d𝑥 = [−𝑥
𝜋
3
2
𝜋
. cosx] 2
0
𝜋
2
𝜋
− ∫0 −2𝑥cos(𝑥 ) d𝑥 = 2( − 1)
5) ∫0 𝑥𝑐𝑜𝑠(3𝑥) d𝑥 𝑈(𝑥) = 𝑥 → 𝑈′ (𝑥) = 1
𝑉 ′ (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠3𝑥 → 𝑉(𝑥) =
Par une intégration par partie on obtient :
𝜋
3
𝜋
3
1
1
2
1
3
sin(3𝑥)
𝜋
1
3 sin
∫0 𝑥𝑐𝑜𝑠(3𝑥) d𝑥 = [3 x sin(3𝑥)]0 − ∫0
𝜋
2
2
3
𝜋
2
2
𝜋
3
1
(3𝑥) d𝑥 = [ cos(3𝑥)]0 = −
9
10
9
𝜋
2
6) ∫0 𝑥 sin(2𝑥 ) d𝑥 = [− 𝑥 . cos2x] + ∫0 𝑥cos(2𝑥 ) d𝑥
2
Exercice n°3 :
𝜋
𝐼 = ∫0 𝑥𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 d𝑥
𝜋
et
0
𝜋
𝐽 = ∫0 𝑥𝑠𝑖𝑛2 𝑥 d𝑥
𝜋
𝜋
1) 𝐼 + 𝐽 = ∫0 𝑥𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 d𝑥 + ∫0 𝑥𝑠𝑖𝑛2 𝑥 d𝑥 =∫0 𝑥(𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥) d𝑥
𝜋
= ∫0 𝑥𝑑𝑥 =
𝜋
𝜋2
2
𝜋
2) 𝐼 = ∫0 𝑥𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 d𝑥 = ∫0 𝑥(
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1+cos(2𝑥)
2
𝜋1
)d𝑥 = ∫0
2
𝜋1
𝑥 d𝑥 + ∫0
2
𝑥 cos(2𝑥)𝑑𝑥
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1
𝜋
𝜋
1
= [ 𝑥 2 ]0 + ∫0 𝑥 cos(2𝑥 ) 𝑑𝑥 =
4
2
𝜋
𝐽 = ∫0 𝑥𝑠𝑖𝑛2 𝑥 d𝑥 =
𝜋2
2
−𝐼 =
𝜋2
2
𝜋2
4
−
𝜋2
4
=
𝜋2
4
x dt
Soit la fonction f définie sur ] − 1, +∞[ par f(x) = ∫0
1) 𝑥 →
1
continue sur IR\{-1} en particulier sur ] − 1, +∞[ alors f est
1+x3
dérivable sur ] − 1, +∞[ et 𝑓 ′ (𝑥 ) =
1
1+x3
.
n dt
2) a) Soit U la suite définie sur IN par Un = ∫0
0 dt
Un+1 − Un = − ∫n
n
= − ∫n+1
b) U1 =
1
1+t3
<
1
t3
1+t
n
dt
=∫n+1 3
1+t
dt
1+t3
1 dt
∫0 1+t3
n+1 dt
3 − ∫0
or
1+t3
=
1+t3
0 dt
−(∫n
1+t3
1
1+t3
n+1 dt
+ ∫0
> 0 donc U est croissante
1 dt
< 1(t ∈]0,1]) ⇔ ∫0
U1 < 1
n dt
On intègre sur]0,1] on obtient : ∫0
n dt
Un < ∫0
.
1+t3
1+t3
1+t3
n dt
< ∫0
1+t3
t3
)
1
< ∫0 1dt = 1 ⇔
et par suite
t3
Exercice n°5 :
Pour tout n de IN , on considère la fonction Fn définie et dérivable sur [0,1[
x dt
F0 (x) = ∫0
par :�
x
Fn (x) = ∫0
1) a) 𝑥 →
xn
√1−x
√1−t
tn
√1−t
dt
définie et continue sur ] − ∞, 1[ en particulier sur [0,1[ donc
Fn est définie et dérivable sur [0,1[.
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b) Fn′ (x) =
croissante.
xn
√1−x
x dt
2) a) F0 (x) = ∫0
or 𝑥 ∈ [0,1[
√1−t
𝑥
donc Fn′ (x) =
n
b) On a 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑥 ⇔ 0 ≤ t ≤ x ⇔ 0 ≤
on intègre sur [0,x] on obtient :
𝑥 tn
0 ≤ ∫0
𝑥 xn
𝑑𝑡 ≤ ∫0
1−𝑡
√
√1−𝑡
≥0
√1−x
= �−2√1 − t�0 = −2√1 − x + 2
n
xn
tn
√1−𝑡
≤
d’où Fn est
xn
√1−𝑡
𝑑𝑡 ⇔ 0 ≤ Fn (x) ≤ x n (−2√1 − x + 2)
⇔ Fn (x) ≤ x n �−2√1 − x + 2� = x n F0 (x) ≤ 2 (car 𝑥 ∈ [0,1[)
⇔ Fn (x) ≤ 2
Conclusion : pour tout 𝑥 ∈ [0,1[
1 xn
c) limx→1− Fn (x) = Fn (1) = ∫0
x tn
3) a) Fn (x) − Fn−1 (x) = ∫0
√1−t
Fn (x) ≤ 2
√1−𝑡
𝑑𝑡 = 𝐼𝑛
x tn−1
dt − ∫0
√1−t
x
dt = ∫0 �
tn
√1−t
−
tn−1
� dt
√1−t
1
1−t
x −t n (
x
t n (1 − )
)
t n (1 − t)
t
t
=� �
� dt = � �
� dt = − � �
� dt
√1 − t
√1 − t
0
0
0 t × √1 − t
x
x
= − � t n−1 √1 − t dt
0
b)
Fn (x) =
x tn
∫0 1−t dt
√
𝑈(𝑥 ) = t n → U′ (x) = nt n−1
1
𝑉 ′ (𝑥 ) =
→ V(x) = −2√1 − t
√1−t
Par intégration par partie on obtient;
x
x
𝑥
tn
n
dt = �−2t √1 − t�0 + 2n � t n−1 √1 − t dt
Fn (x) = �
0 √1 − t
0
x n−1
n
= −2x √1 − x + 2n ∫0 t √1 − t dt
c)
(2n + 1)Fn (x) = 2nFn (x) + Fn (x)
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x
x
= 2nFn−1 (x) − 2n ∫0 t n−1 √1 − t dt − 2x n √1 − x + 2n ∫0 t n−1 √1 − t dt
= 2nFn−1 (x) − 2x n √1 − x
4) a) On a : (2n + 1)Fn (x) = 2nFn−1 (x) − 2x n √1 − x
lim𝑥→1− (2n + 1)Fn (x) = (2𝑛 + 1)𝐼𝑛 d’après 2) c) et
lim−(2nFn−1 (x) − 2x n √1 − x) = 2n𝐼𝑛−1 d’où (2𝑛 + 1)𝐼𝑛 = 2n𝐼𝑛−1
𝑥→1
4
b) 𝐼0 = 2 ; 𝐼1 = ; 𝐼2 =
c)( In =


22n+1 (n!)2
(2n+1)!
3
16
15
Démonstration par récurrence)
21+1 (1!)2
4
Pour n=1 𝐼1 =
et (2×1+1)! = (Vrai)
3
3
22n+1 (n!)2
On suppose que In = (2n+1)! montrons
4
On a (2𝑛 + 1)𝐼𝑛 = 2n𝐼𝑛−1
que In+1 =
22n+3 ((n+1)!)2
(2n+3)!
⇔ (2𝑛 + 3)𝐼𝑛+1 = (2n + 2)𝐼𝑛
⇔ (2𝑛 + 3)𝐼𝑛+1 = (2n + 2)
⇔ (2𝑛 + 3)𝐼𝑛+1 = (n + 1)
22n+1 (n!)2
(2n+1)!
2×22n+1 (n!)2
(2n+1)!
⇔ (2𝑛 + 3)𝐼𝑛+1 = (𝑛 + 1)2
22n+3 ((n+1)!)2
22 ×22n+1 (n!)2
2(n+1)(2n+1)!
⇔ 𝐼𝑛+1 = (2𝑛+3)(2n+2)(2n+1)!
⇔ 𝐼𝑛+1 =
22n+3 ((n+1)!)2
(2n+3)!
Conclusion : pour tout n>0 on a : In =
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2n+1 (n!)2
(2n+1)!
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