Transcript TD 6. Bijections- Fonctions : arctan,arcsin et arccos.

TD 6. Bijections- Fonctions : arctan, arcsin et arccos.
2010-2011
Exercice 1 :
Etudier la fonction f (x) = |x2 − 1|. Etudier la continuit´e de f en x = 1 et en x = −1.
Exercice 2 :
π
On d´esigne par f la fonction d´efinie sur R par : f (x) = tanx si 0 ≤ x ≤ , f paire et f p´eriodique
4
π
de p´eriode .
2
1 ◦ ) Tracer le graphe de f sur l’intervalle] − π, π[.
2 ◦ ) f est-elle continue ?
Exercice 3 :
Pour chacune des fonctions suivantes, d´eterminer les intervalles de monotonie et calculer la fonction
r´eciproque relative `
a chacun de ces intervalles.
ex − 1
◦
1 ) f1 : x → x
e +1
x
◦
2 ) f2 : x → 2
x +1
3 ◦ ) f3 : x → 2ex − e2x
Exercice 4 :
Faire l’´etude de f (x) = x ln x–x2 + 1. En d´eduire le nombre et la valeur des solutions de l’´equation
f (x) = 0.
Exercice 5 :
Calculer (sans calculatrice !) :
π
arccos cos
3 3π
arcsin sin
4
arcsin (sin(−0, 2))
π
arccos − cos
3 3π
arcsin − sin
4
arccos (− cos(4))
Exercice 6 :
Etudier et tracer le graphe des fonctions suivantes :
1 ◦ ) f (x) = sin(arcsin x)
2 ◦ ) g(x) = arcsin(sin x)
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5π
arccos cos
3 5π
arcsin sin
4 4π
arctan tan
3
Exercice 7 :
Simplifier les expressions
1 ◦ ) sin (arccos x)
2 ◦ ) sin (2arcsin x) 1
arccos x
3 ◦ ) sin2
2
Exercice 8 :
Exprimer en fonction du param`etre r´eel a les arguments des nombres complexes :
ii)z = a − 2j
i)z = 1 + ja
iii)z =
Exercice 9 :
Calculer (de deux mani`eres diff´erentes) la fonction suivante :
1
f (x) = arctan x + arctan .
x
Exercice 10 :
D´emontrer que
1 ◦ ) 2 arctan
4
1
= arctan .
2
3
2 ◦ ) 2 arccos
3
1
= arccos .
4
8
Exercice 11 :
Soit la fonction num´erique : f (x) = ln x arcsin
1 ◦ ) Donner le domaine de d´efinition de f .
2 ◦ ) Etudier la limite en 0 de f .
3 ◦ ) Etudier la limite en +∞ de f .
x
1 + x2
Exercice 12 :
x+y
+ kπ, k ∈ Z
1 − xy
2 ◦ ) En d´eduire l’´egalit´e : arctan 1 + arctan 2 + arctan 3 = π.
1 ◦ ) D´emontrer que arctan x + arctan y = arctan
Exercice 13 : Extrait Test No2 2008-2009
p
1 ◦ ) D´emontrer : cos(arcsin x) = 1 − x2 sur [−1, 1].
1
2 ◦ ) R´esoudre : cos(arcsin x) = dans [−1, 1].
2
3 ◦ ) Calculer en fonction de x : cos(2 arcsin x).
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−1 + aj
.
−3 + 5aj