Transcript x y
Fonctions trigonométriques
inverses
Jacques Paradis
Professeur
Plan de la rencontre
Rappel : graphique d’une fonction inverse
Définition de la fonction arcsinus x (arc sinus)
Dérivée de arcsinus x
Définition de arccos x et sa dérivée
Définition de arctan x et sa dérivée
Définition de arccot x et sa dérivée
Définition de arcsec x et sa dérivée
Définition de arccsc x et sa dérivée
Département de mathématiques
2
Rappel : graphique d’une fonction inverse
Soit f(x) une fonction et f-1(x) la fonction inverse
de f(x)
Les courbes représentatives de ces fonctions sont
symétriques par rapport à la droite y = x
y
x
Département de mathématiques
3
Exemple
f(x) = ex
h(x) = x
g(x) = lnx
Département de mathématiques
4
Définition de arcsinus x
On a y = arcsin x si et seulement si x = sin y
Bien
noté que y représente un angle et que arcsin x = angle
x
y
Domsiny = IR
Imasiny = [-1 , 1]
Département de mathématiques
Domarcsinx = [-1 , 1]
Imaarcsinx = [-/2 , /2]
5
Exemples
arcsin x est égal à l’angle y tel que sin y = x
Arcsin 1 = /2 radians (90º)
/2
Arcsin 0 = 0 (0 º)
Arcsin ½ = /6 (30 º)
-/2
Arcsin (0,75) = 0,848 rad (ou 48,6 º)
Arcsin 2 n’existe pas*
Département de mathématiques
6
Dérivée de arcsinus x (1 de 2)
Soit y = arcsin x
sin y = x
dy
1 (dérivation implicite)
cos y
dx
Département de mathématiques
dy
1
dx cos y
sin 2 y cos 2 y 1
dy
1
, car
2
dx
1 sin y
cos y 0 sur 2 , 2
dy
1
, car sin y x
2
dx
1 x
7
Dérivée de arcsinus x (2 de 2)
Si y arcsin[f (x)]
1
Alors y'
f '(x)
1 [f (x)]2
Exemple :
Trouver la dérivée de f(x) = arcsin (8x – x3)
Exercice :
Trouver la dérivée de g(x) = (arcsin x2)4
Département de mathématiques
8
Définition de arccos x et sa dérivée
On a y = arccos x si et seulement si x = cos y
Domcosy = IR
Imasiny = [-1 , 1]
Domarccosx = [-1 , 1]
Imaarccosx = [0 , ]
dy
1
On a
2
dx
1 x
Exercice : Démontrer la formule pour dériver y = arccos x.
Département de mathématiques
9
Définition de arctan x et sa dérivée
On a y = arctan x si et seulement si x = tan y
Domtany = IR/{± /2, ±3/2, …}
Imatany = IR
Domarctanx = IR
Imaarctanx = ]-/2 , /2[
dy
1
On a
2
dx 1 x
Département de mathématiques
10
Dérivée de arctan x
Soit y
= arctan x
tan y = x
2
sec y
dy
1 (dérivation implicite)
dx
dy
1
dx sec2 y
Département de mathématiques
dy
1
sin 2 y cos 2 y
1
,
car
dx 1 tan 2 y
cos 2 y cos 2 y cos 2 y
dy
1
, car tan y x
2
dx 1 x
11
Définition de arccot x et sa dérivée
On a y = arccot x si et seulement si x = cot y
Imaarccotx = ]0 , [
dy
1
On a
2
dx 1 x
Démontrer la formule pour dériver y = arctanx.
Département de mathématiques
12
Définitions et dérivées de arcsec x et arccsc x
On a y = arcsec x si et seulement si x = sec y
dy
1
dx x x 2 1
ou
dy
1
dx x x 2 1
On a y = arccsc x si et seulement si x = csc y
dy
1
dx x x 2 1
Département de mathématiques
ou
dy
1
dx x x 2 1
13
Résumé
Soit u = f(x) et du/dx = f’(x),
d(arcsin u)
1 du
dx
1 u 2 dx
d(arccos u)
1 du
dx
1 u 2 dx
d(arctan u)
1 du
dx
1 u 2 dx
d(arccot u)
1 du
dx
1 u 2 dx
d(arcsec u)
1
du
dx
u u 2 1 dx
d(arccsc u)
1 du
dx
u u 2 1 dx
Département de mathématiques
14
Exemples
Calculer f’(x) si
a) f(x) = arcsin (3x + 7)
b) f(x) = 3arccos (2x2 – 1)
c) f(x) = (arcsin x)3
d) f(x)= (arccos x)/x
e) f(x) = x·arctan x
Département de mathématiques
15
Exercices
Calculer f’(x) si
a) f(x) = arcsin (4x2 – 1)
b) f(x) = arctan (x+2)
c) f(x) = arcsin x3
d) f(x)= arccos x – x2
e) f(x) = arcsin [(x +1)/(x – 7)]
Département de mathématiques
16
Devoir
Exercices 10.1, page 399, nos 1 et 3 (sauf h).
Exercices 10.2, page 406, nos 1 (sauf f), 2 (sauf j
et l), 3a et 3b.
Exercices 10.3, page 414, nos 1a, 1b et 2a à 2f.
Exercices 10.4, page 420, no 5
Exercices récapitulatifs, page423, nos 4a à 4e, 4h,
4i, 4k et 13.
e x
4i) x '(t)
e x 2 1 Arc cot e x
Département de mathématiques
4k) x '(t)
arccos t arcsin t
1 t 2 (arccos t) 2
17
Devoir (suite)
Réponse du numéro 13 :
a)
x
Arc tan
75
b)
d
75
dx
dt 5625 x 2 dt
c) -0,12 rad/min et -0,1875 rad/min
d) 25 m
Département de mathématiques
18