Transcript Analyse et Algèbre pour les sciences 1M001 - imj

Analyse et Algèbre pour les sciences 1M001
Feuille de TD 8 (corrigé)
Exercice 1. Résoudre, sur un intervalle que l’on précisera, les équations différentielles suivantes :
1. y 0 = y + 1,
3. y 0 + y = cos(x) + sin(x)
5. (x2 − 1)y 0 + xy = 1,
2. y 0 − y = xex ,
5. On a l’équation
4. xy 0 + 2y = x3 .
(E)
6. y 0 −2y = x2 avec y(0) = 1.
(x2 − 1)y 0 + xy = 1.
Elle est définie sur R tout entier. Pour l’etudier, on considère l’équation
(E 0 )
y0 +
x2
x
1
y= 2
−1
x −1
qui est définie sur R \ {−1, 1}. On peut donc l’étudier sur les intervalles I1 =] − ∞, −1[, I2 =] − 1, 1[ et
I3 =]1, +∞. On remarquera que (E 0 ) est équivalente à (E) sur chaque intervalle mais pas sur R tout entier.
Sur I1 : Une primitive de − x2x−1 sur I1 est − 21 ln(x2 −1). (On remarquera qu’on peut bien appliquer la fonction
ln à x2 − 1 sur I1 ). D’après le cours, les solutions de l’équation homogène associée à (E 0 ) sur I1 sont
les fonctions : yh (x) = K1 exp(− 12 ln(x2 − 1)) = K1 √x12 −1 .
On cherche maintenant une solution particulière à l’aide de la méthode de variation de la constante. On
cherche une solution de la forme λ(x)yh (x) (par exemple lorsque K1 = 1). On réinjecte dans l’équation
et on obtient :
1
x
yh (x)] = 2
λ0 (x)yh (x) + λ(x)[yh0 (x) + 2
x −1
x −1
1
λ0 (x)yh (x) = 2
x −1
1
λ0 (x) = √
x2 − 1
On en déduit que λ(x) = argch(x) convient comme primitive. Les solutions de l’équation (E 0 ) sur I1
+argch(x)
sont donc de la forme y1 (x) = K1√
avec K1 ∈ R.
x2 −1
Sur I3 De même que sur I1 , on obtient comme solution générale de (E 0 ) sur I3 les fonctions de la forme
λ(x) √x12 −1 avec λ0 (x) = √x12 −1 . Dans ce cas, λ(x) = −argch(−x) convient comme primitive. Les
K3 −argch(−x)
√
avec K3 ∈ R.
x2 −1
x
1
de 1−x
2 sur I2 est − 2 ln(1 −
solutions de l’équation (E 0 ) sur I3 sont donc de la forme y3 (x) =
x
1
Sur I2 On récrit (E 0 ) sous la forme y 0 − 1−x
x2 ). (On
2 y = x2 −1 . Une primitive
2
remarquera qu’on peut bien appliquer la fonction ln à 1 − x sur I2 ). D’après le cours, les solutions
de l’équation homogène associée à (E 0 ) sur I2 sont les fonctions : yh (x) = K3 exp(− 21 ln(1 − x2 )) =
1
K3 √1−x
.
2
On cherche maintenant une solution particulière à l’aide de la méthode de variation de la constante. On
cherche une solution de la forme λ(x)yh (x) (par exemple lorsque K3 = 1). On réinjecte dans l’équation
et on obtient :
x
1
λ0 (x)yh (x) + λ(x)[yh0 (x) −
yh (x)] = 2
1 − x2
x −1
1
λ0 (x)yh (x) = 2
x −1
1
λ0 (x) = − √
1 − x2
On en déduit que λ(x) = −arcsin(x) convient comme primitive. Les solutions de l’équation (E 0 ) sur I2
√
sont donc de la forme y2 (x) = K2 −arcsin(x)
avec K3 ∈ R.
1−x2
1
On a donc des familles de solutions sur I1 , I2 et I3 . On se pose maintenant la question de s’il existe une
solution définie sur R tout entier. On raisonne par l’absurde, en supposant qu’il existe une solution y définie
√
pour un
sur R tout entier. On considère y2 : I2 → R la restriction de y à I2 . On sait que y2 = K2 −arcsin(x)
1−x2
certain K2 ∈ R.
√
√
On remarque que lim− | K2 −arcsin(x)
| = +∞ dès que K2 6= arcsin(1) = π2 . Or, lim− | K2 −arcsin(x)
| = |y(1)| ∈
1−x2
1−x2
x→1
x→1
R. On en déduit que K2 = π2 .
√
| = +∞ dès que K2 6= arcsin(−1) = − π2 . Donc K2 = − π2 , ce qui est absurde.
De même, lim + | K2 −arcsin(x)
1−x2
x→−1
Il n’existe donc aucune solution de (E) définie sur R tout entier.
2