Transcript Devoir surveillé n 4 - Laurent Garcin

© Laurent Garcin
MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot
Devoir surveillé no 4
I La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
I On prendra le temps de vérifier les résultats dans la mesure du possible.
I Les calculatrices sont interdites.
Exercice 1.
On considère sur R l’équation différentielle :
(E) :
(1 + x2 )y 0 = 1 + 3xy
1. Résoudre l’équation homogène (EH ) associée à (E).
2. Rechercher une solution particulière de (E) sous la forme d’une fonction polynomiale de degré 3.
3. En déduire l’ensemble des solutions de (E).
3
3
4. Montrer que (1 + x2 ) 2 = x3 + x + o(1).
x→+∞
2
3
2 3
2
5. On pose g : x 7→ x + x − (1 + x2 ) 2 . Vérifier que g est l’unique solution de (E) admettant une limite
3
3
finie en +∞.
6. Déterminer les variations de g. On précisera ses limites en −∞ et en +∞.
Exercice 2.
On considère, pour tout entier naturel n, l’application ϕn définie sur R par :
∀x ∈ R, ϕn (x) = (1 − x)n e−2x
Z1
ainsi que l’intégrale In =
ϕn (x)dx.
0
On se propose de démontrer l’existence de trois réels a, b, c tels que :

b
c
1
In = a + + 2 + o
n→+∞
n n
n2
‹
1. Calculer I0 , I1 .
2.
a. Étudier la monotonie de la suite (In ).
b. Déterminer le signe de In pour tout entier naturel n.
c. Qu’en déduit-on pour la suite (In ) ?
3.
a. Majorer la fonction g : x 7→ e−2x sur [0, 1] et en déduire que :
∀n ∈ N, 0 6 In 6
1
n+1
b. Déterminer la limite de la suite (In ).
4. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que :
∀n ∈ N, 2In+1 = 1 − (n + 1)In
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5. En déduire la limite de la suite (nIn ).
6. Déterminer la limite de la suite (n(nIn − 1)).
7. Donner alors les valeurs de a, b, c.
Exercice 3.
Toutes les fonctions entrant en jeu dans cet exercice sont à valeurs réelles.
˜ π π•
l’équation différentielle suivante :
1. On souhaite résoudre sur − ,
2 2
(E) : cos(t)z 00 (t) − 2 sin(t)z 0 (t) − cos(t)z(t) = 0
˜ π π•
˜ π π•
a. Soit z une fonction deux fois dérivable sur − , . On pose ϕ(t) = cos(t)z(t) pour tout t ∈ − , .
2 2
2 2
˜ π π•
00
0
00
Exprimer ϕ (t) en fonction de z(t), z (t) et z (t) pour tout t ∈ − , .
2 2
b. En déduire les solutions de (E).
2. On souhaite maintenant résoudre sur ] − 1, 1[ l’équation différentielle suivante :
(F) : (1 − x2 )y 00 (x) − 3xy 0 (x) − y(x) = 0
˜ π π•
a. Soit y une fonction deux fois dérivable sur ] − 1, 1[. On pose z(t) = y(sin(t)) pour t ∈ − , .
2 2
Exprimer y(x), y 0 (x) et y 00 (x) en fonction de z(arcsin x), z 0 (arcsin x) et z 00 (arcsin x) pour tout x ∈
] − 1, 1[.
b. En déduire que y est solution de (F) sur ] − 1, 1[ si et seulement si z est solution d’une équation
différentielle que l’on précisera. En déduire les solutions de (F).
3. Soit f une solution de (F) sur ] − 1, 1[.
a. Montrer par récurrence que f est de classe C ∞ .
b. Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N
∀x ∈] − 1, 1[, (1 − x2 )f(n+2) (x) − (2n + 3)xf(n+1) (x) − (n + 1)2 f(n) (x) = 0
c. Pour tout n ∈ N, on pose an = f(n) (0). Déterminer une relation de récurrence entre an+2 et an à
l’aide de la question précédente.
d. Montrer que pour tout p ∈ N,
a2p =
((2p)!)2
22p (p!)2
a2p+1 = 22p (p!)2 a1
a0
4. On se propose de déterminer plusieurs développements limités à l’aide de la question 3.
a. Soit f une fonction de classe C ∞ . Rappeler la formule de Taylor-Young appliquée à f en 0 à un ordre
n ∈ N.
arcsin x
b. Soit g : x ∈] − 1, 1[7→ √
. Que valent g(0) et g 0 (0) ? En remarquant que g est solution de (F),
1 − x2
donner le développement limité à l’ordre 2n + 1 en 0 de g.
1
c. Soit h : x ∈] − 1, 1[7→ √
. Que valent h(0) et h 0 (0) ? En remarquant que h est solution de (F),
1 − x2
donner le développement limité à l’ordre 2n en 0 de h.
d. Soit k : x ∈] − 1, 1[7→ arcsin x. Déduire de la question 4.c le développement limité à l’ordre 2n + 1 en
0 de k.
5. En remarquant que g = hk et en considérant le coefficient de x2n+1 dans le développement limité de cette
fonction, montrer que
‚ Œ‚
Œ
n
X
2p 2(n − p)
24n
1
=
2p + 1 p
n−p
(n + 1) 2n+1
n
p=0
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