Transcript exercices 24 – Équations différentielles BCPST 1

exercices 24 – Équations différentielles
BCPST 1 - lycée Jean-Baptiste Say
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✂1 ✁ Résoudre les équations différentielles suivantes en précisant à chaque fois les intervalles de validité.
1. y ′ = x + 2 x y
2. x3 y ′ = x2 y + 1
3. (1 + x) y ′ + y = ln(1 + x) et y(0) = 1
4. y ′ − y = ex + cos x
5. xy ′ + y = cos x
6. x(x + 2)y ′ + xy − 1 = 0
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✂2 ✁ Déterminer toutes les aplications f : R −→ R dérivables telles que, pour tout x ∈ R :
f ′ (x) + f (x) = f (0) + f (1).
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✂3 ✁ Le but de l’exercice est de éterminer toutes les applications f : R −→ R, dérivables en 0, telles que, pour tout (x, y) ∈ R :
f (x + y) = ex f (y) + ey f (x).
1. Dans cette question, on suppose que f est une solution du problème.
a) Déterminer f (0).
b) Montrer que f est dérivable sur R et que, pour tout réel x :
f ′ (x) = f ′ (0) ex + f (x).
2. En déduire l’ensemble des solutions du problème.
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✂4 ✁ Résoudre les équations différentielles suivantes.
1. y ′′ + 2 y ′ = x
2. y ′′ + 4 y = e2ix
3. y ′′ − 2 y ′ + y = (x3 − x2 ) ex
4. y ′′ − 2 y ′ + 2 y = ex sin x
5. y ′′ − a2 y = cos(ax) où a ∈ R∗+
6. y ′′ + y ′ − 2y = 8 sin(2x)
7. y (3) + y ′′ = 1
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✂5 ✁ On considère l’équation différentielle
(E) : (1 + ex )y ′′ + 2 ex y ′ + (2 ex + 1)y = x ex .
1. Soit une application y : R −→ R deux fois dérivable. On pose z(x) = (1 + ex )y(x) pour tout réel x. Démontrer que y
est solution de (E) sur R si et seulement si z est solution sur R d’une équation différentielle (F ) à déterminer.
2. Résoudre (E) sur R.
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∗
✂6 ✁ Soit α ∈ R . On considère l’équation différentielle
(E) : y (4) − 2 α2 y ′′ + α4 y = 0.
1. Soit y une fonction quatre fois dérivable sur R. On pose z = y ′′ − α2 y.
Montrer que y est solution de (E) sur R si et seulement si z est solution sur R d’une équation différentielle (F )
d’ordre 2 à déterminer.
2. Résoudre sur R les équations différentielles
(F1 ) : y ′′ − α2 y = eαx
et
(F2 ) : y ′′ − α2 y = e−αx .
3. Résoudre (F ).
4. En déduire l’ensemble des solutions de (E) sur R.
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(E) : (1 + ex )y ′′ + y ′ − ex y = 0.
✂7 ✁ Résoudre sur R l’équation différentielle
′
Indication : poser z = y + y .
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exercices 24 – Équations différentielles
BCPST 1 - lycée Jean-Baptiste Say
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✂8 ✁ Déterminer les fonctions f continues sur R qui vérifient, pour tout x ∈ R,
Z x
(x − t) f (t) dt = 1.
f (x) +
0
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continue et périodique de période 1 sur R. Montrer qu’il existe une et une seule solution de l’équation
✂9 ✁ Soit ϕ une fonction
différentielle y ′ + y = ϕ qui est périodique de période 1.
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