Transcript TD équation differentielle du premier

Equations différentielles linéaires du 1ier ordre
Exercices de Mathématiques
I . Etude de quelques exemples .
Exercice.8.
Varions la constante...
Résoudre les équations différentielles suivantes :
1
1 ) y0 + y =
sur R
2 ) (1 + x) y0 + y = 1 + ln(1 + x) sur ] − 1, +∞[ ;
1 + ex
y
4 ) y0 − 2xy = −(2x − 1)e x sur R ;
3 ) y0 − = x2 sur ]0, +∞[
x
2
5 ) y0 − y = t2 sur ]0, +∞[
t
Exercice.1.
Premier ordre, à coefficients constants Résoudre les équations différentielles suivantes :
1 ) 7y0 + 2y = 2x3 − 5x2 + 4x − 1 2 ) y0 + 2y = x2 − 2x + 3 ;
3 ) y0 + y = xe− x
4 ) y0 − 2y = cos( x) + 2 sin( x) ;
Exercice.2.
Exercice.9.
Donner une équation différentielle dont f est solution :
ex
ex
; f ( x) = sin( x) + 3 cos( x).
f ( x) = x
; f ( x) = 1 +
e +1
1 + x2
Un dernier exemple
Résoudre sur ]0, 1[ l’équation différentielle :
( E) xy0 ( x) + y( x) = −
Exercice.3.
1
1
+ √
.
x(1 + x)
x 1 − x2
II . Raccordement des solutions.
Exercice.1.
1. Résoudre sur ]0, +∞[ : 2xy0 + y = 0 .
2. Préciser la solution vérifiant y(2) = 1.
On considère : ( E) : 2x(1 + x2 ) y0 + 2x2 y = 1 .
1. Montrer sans calculs qu’il n’existe pas de solutions sur R.
2. Trouver les solutions de ( E) sur ]0, +∞[ puis sur ] − ∞, 0[. Retrouver le résultat
précédent.
(a) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur C et D pour que f
se prolonge par continuité en 0.
(b) Démontrer que si cette condition est remplie, ce prolongement, toujours noté
f , est alors dérivable en 0 et que f 0 est continue en 0.
2. On considère l’équation différentielle : x2 y0 − y = 0. Résoudre cette équation sur
les intervalles ]0, +∞[ et ] − ∞, 0[.
3. Résoudre l’équation précédente sur R.
Exercice.5.
i π πh
Résoudre, sur − ,
, l’équation différentielle : y0 + y tan( x) = sin(2x)
2 2
Exercice.6.
1. Montrer qu’une primitive de x 7→ e x cos(2x) est x 7→
Raccordement détaillé
1. Soient C, D ∈ R. On considère la fonction f définie sur R∗ par

−1


si x > 0
C exp
x f ( x) =
−1


si x < 0.
 D exp
x
Exercice.4.
2. Résoudre les équations :
( E1 ) y0 + y = cos(2x) ; ( E2 ) y0 + y = 1 ;
MPSI (4) 14-15
1 x
e (cos(2x) + 2 sin(2x)).
5
Exercice.2.
Raccordement des solutions- tous les cas possibles
Déterminer les solutions sur R des équations différentielles suivantes :
1 ) ty0 − 2y = t3
2 ) t2 y0 − y = 0
3 ) (1 − t) y0 − y = t.
( E3 ) y0 + y = cos2 ( x) .
Exercice.7.
Exercice.3.
0
1. Résoudre, sur I =]0, π [, l’équation ( E) : sin( x) y − y + 1 = 0 .
x
2. Résoudre, sur I, l’équation ( F ) : sin( x) y0 − y = sin2 ( ) .
2
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D’autres raccordements...
Déterminer les solutions des équations différentielles suivantes :
1 + ln x
1. ( x ln x) y0 − y = −
sur ]1, +∞[, puis sur ]0, +∞[ ;
x
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Exercices de Mathématiques
Equations différentielles linéaires du 1ier ordre
x
sur R ;
1 + x2
3. y0 cos2 x − y = etan x sur R ;
2. xy0 + 2y =
Exercice.4.
MPSI (4) 14-15
1. Donner l’espace vectoriel des solutions de l’équation ( En ) sur chacun des intervalles I =] − ∞, 0[ et J =]0, +∞[.
2. Dans le cas ou n = 1, determiner l’espace vectoriel des solutions de ( E1 ) sur R .
Quelle est la dimension de cet espace vectoriel ?
3. Dans le cas ou n > 2. determiner avec soin l’espace vectoriel des solutions de ( En )
sur R. Quelle est la dimension de cet espace vectoriel ?
Un double raccordement, mais détaillé...
On cherche à déterminer les fonctions y : R → R dérivables vérifiant l’équation ( E)
suivante :
∀ x ∈ R, x( x − 1) y0 ( x) − (3x − 1) y( x) + x2 ( x + 1) = 0.
?∗
Exercice.5.
1. Déterminer deux constantes a et b telles que
Montrer que l’équation ( E) :
1. sinh( x) y0 + sin( x) y = e x ne possède aucune solution sur R.
2. | x| y0 + y = x2 possède une seule solution sur R.
3. x2 y0 − y = ( x2 − 1)e x possède une (simple) infinité de solutions sur R.
4. 2xy0 − 3y = − x possède une (double) infinité de solutions sur R.
3x − 1
a
b
= +
.
x( x − 1)
x
x−1
2. Sur quel(s) intervalle(s) connaît-on l’ensemble des solutions de l’équation homogène ? Résoudre l’équation homogène sur cet(ces) intervalle(s).
3. Chercher une solution particulière à ( E) sous la forme d’un polynôme du second
degré.
4. Résoudre ( E) sur R.
Exercice.6.
Soit l’équation différentielle ( E) : x2 y0 + y = 1 ».
1. Déterminer les solutions de ( E) sur I1 =] − ∞, 0[ puis sur I2 =]0, +∞[.
2. Montrer qu’il y a une infinité de solutions à ( E) sur l’intervalle R : quelles sontelles ?
III . Sujets autour du raccordement des solutions.
Exercice.1.
Exercice.7.
On considère l’équation différentielle : ( E) 2x(1 + x2 ) y0 + 2x2 y = 1.
1. Montrer sans calculs qu’il n’existe pas de solutions sur R.
2. Trouver les solutions de ( E) sur ]0, +∞[ puis sur ] − ∞, 0[.
Soit I1 =] − ∞, +1[ et I2 =]1, +∞, [, et l’équation ( E) : (1 − x) y0 + xy = e x .
x
1. Déterminer, sur I1 puis I2 , une primitive de f : x 7→
.
1−x
2. Déterminer les solutions y1 de ( E) sur I1 ,y2 de ( E) sur I2 ,et z de ( E) sur R.
3. Pour tout réel k, montrer qu’il existe une unique fonction zk solution de ( E) sur R
et telle que zk (0) = k.
4. Pour tout réel k, étudier la fonction zk (limites, asymptotes, branches infinies, variations, tangente au point d’abscisse 1). Représenter graphiquement z0 , z1 et z2 .
Exercice.2.
On considère l’équation différentielle : ( E) xy0 + y = √
CCP MP 2011
2x
.
1 − x4
1. Résoudre ( E) sur chacun des intervalles ] − 1, 0[ et ]0, 1[.
2. En déduire que ( E) possède une unique solution sur ] − 1, 1[.
Exercice.3.
IV . Equations à variables séparées.
CCP MP 2009
√
On considère l’équation différentielle : ( E) 2xy0 − 3y = x.
1. Résoudre ( E) sur ]0, +∞[.
2. Déterminer l’ensemble des solutions de ( E) sur l’intervalle [0, +∞[.
Exercice.4.
Exercice.1.
On appelle
homogène toute équation différentielle qui peut se mettre sous
équation
0 y
la forme F y ,
= 0.
x
En posant y = z.x. Résoudre les équations suivantes :
1) x2 y0 = x2 + y2 − xy
2) x2 y0 = y2 + 2x2
3) xy2 y0 = x3 + y3
y
4) ( x2 − 2y2 ) y0 − 2xy = 0 5) ( x + y) y0 = x − y 6) xy0 = y − x cos2 ( )
x
CCP MP 2005
Pour n entier naturel non nul, on considère l’équation différentielle linéaire :
( En ) xy0 − ny = 0.
Mathématiques Supérieures
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Exercices de Mathématiques
MPSI (4) 14-15
en posant z(t) = x(t) − y(t).
Exercice.2.
On appelle équation à variables séparables une équation qui peut se mettre sous
la forme y0 g( y) = h( x). On résout cette catégorie d’équation en intégrant les deux
membres, et on espère pouvoir en tirer y en fonction de x....
Exemples : Résoudre :
1) yy0 = (1 + x)(1 + y2 ) 2) x + yy0 = 0 3) xyy0 = y2 − 1
4) (1 + x2 ) y0 = 1 + y2
5) y0 − xy = x 6) y0 (1 + ln y) = 1 + ln x
Exercice.4.
e−2x
( poser z = y2 ).
2
2. Résoudre : (1 + e x ) y00 + y0 − e x y = 0 (poser z = y + y0 ).
1. Résoudre : yy0 + y2 =
Exercice.5.
Exercice.3.
Trouver toutes les fonctions f continues sur R Ztelles que :
On appelle équation de Bernoulli une équation différentielle qui peut se mettre sous
la forme y0 + a( x) y + b( x) yα = 0 . On résout ce genre d’équation en posant z = y1−α ,
ce qui permet de se ramener à une équation linéaire du 1er ordre.
Exemples : Résoudre :
√
√
x
1) y0 = y + x y 2) xy0 + 3y = x2 y2
3) y − y0 = y
2
√
4) y0 − y = x y 5) y0 + y tan x − y2 = 0 6) x2 y0 = x2 y + y2
∀ x ∈ R, 2x f ( x) = 3
0
f (t)dt.
Exercice.6.
Déterminer toutes les fonctions f : [0, 1] → R, dérivables, et telles que : ∀ x ∈ [0, 1],
0
f ( x) + f ( x) +
V . Compléments.
Z 1
0
f (t)dt = 0.
Exercice.7.
Exercice.1.
Résoudre le système différentiel :
x0 (t)
y0 (t)
=
=
Trouver toutes les fonctions numériques f , dérivable sur R et vérifiant :
y(t)
x(t)
∀ x ∈ R, f 0 ( x) f (− x) = 1
Indication : poser z(t) = x(t) + y(t).
Indication : raisonner par analyse-synthèse, en posant g( x) = f ( x) f (− x) et en étudiant g0 ( x).
Exercice.2.
Résoudre le système différentiel :
x0 (t)
y0 (t)
= x(t) + 4y(t)
= x(t) + y(t)
Exercice.8.
Indication : poser z(t) = x(t) − 2y(t).
Trouver toutes les fonctions f continues sur
R telles que :
Z x
∀ x ∈ R, f ( x) +
t f (t)dt = 1.
Exercice.3.
Résoudre le système différentiel :
0
x (t) = 5x(t)
y0 (t) = 4x(t)
Mathématiques Supérieures
x
0
− 6y(t) + et
− 5y(t) + t
L M N M L
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