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L2-maths
Cours Informatique appliquée aux mathématiques
TP6. Equations différentielles, étude expérimentale
Vous pouvez ranger ce TP dans le dossier TP5, pour pouvoir utiliser les scripts que vous
avez écrits.Créez un fichier monTP6.m dans lequel vous tapez vos commandes avant de les faire
exécuter dans la fenêtre de commande.
Programmation 1 (Théorème d’existence).
On considère l’équation différentielle
y 0 = y(1 − y)
(1)
1. Utiliser le schéma d’Euler
yk+1 = yk + hn f (tk , y(tk ))
(2)
pour montrer (expérimentalement) qu’on peut créer une suite un de fonctions où chaque un
est affine par morceaux (sur un partage Tn de pas hn = 1/2n ), qui converge uniformément
vers la solution y de l’équation, qui vaut 21 en 0.
2. Montrer que la solution générale de l’équation (1) s’écrit, dans certaines conditions, sous
la forme
Cet
y=
1 + Cet
Calculer la constante C pour que u(0) = 12 .
3. Tracer sur le même graphique la solution exacte y et les fonctions un pour n = 1, 2, 3.
4. On définit En comme le vecteur des différences y(ti ) − un (ti ) sur le partage Tn . On définit
en comme la fonction affine par morceaux associée naturellement. Représenter en pour
n = 1, 2, 3.
5. Montrer expérimentalement que l’erreur tend vers 0.
Exercice 1 (Calcul exact de l’erreur).
On cherche maintenant à évaluer l’erreur au moyen de la formule de Taylor
1. A l’étape n on note tn,0 < tn,1 · · · < tn,2n les points du partage Tn . Pourquoi ?
2. Exprimer y(tn,p+1 ) − y(tn,p ) comme une intégrale de f (t, y(t)).
3. En déduire une expression de en (tn,p+1 ) − en (tn,p ).
4. Utiliser la formule de Taylor-Lagrange pour obtenir (avec hn =
en (tn,p+1 ) − en (tn,p ) =
1
)
2n
h2n
[y(1 − y)(1 − 2y)](ξn,p )
2
5. Montrer que
n
+1
1
2X
[y(1 − y)(1 − 2y)](ξn,p ) ≤ (2n + 1)
4
p=1
6. En déduire une estimation de |en (tn,p )| pour tout p.
Programmation 2 (Unicité).
Le cours affirme que si la fonction f est lipschitzienne par rapport à y, il y a une solution
locale unique. Nous allons étudier un exemple de non unicité.
1. Etudier la fonction ode45 de matlab.
2. L’utiliser pour calculer une solution de l’équation différentielle
y 0 = 3y 2/3
qui vaut 0 en 0 (contre exemple de Peano) .
3. Quelle est (sont) la (les) solution(s) de ce problème de Cauchy. Laquelle ode45 a t-elle
calculée ?
4. Qu’est-ce qui empêche le théorème de Cauchy Lipschitz de fonctionner ?
5. mêmes questions pour
y0 =
4yt3
,
y 2 + t4
y(0) = 0.