Transcript Équations différentielles Équations différentielles Se dit d’une équation qui lie une fonction dérivable et ses dérivées successives. On note le plus souvent y.

Équations
différentielles
Équations différentielles
Se dit d’une équation qui lie une fonction dérivable et ses dérivées successives.
On note le plus souvent y la fonction inconnue de l’équation
et y‘, y‘’ (…) les dérivées de cette fonction.
Résoudre une équation différentielle sur un intervalle I, c’est trouver toutes les
fonctions solutions y définies sur I ; c’est à dire toutes les fonctions, un certain
nombre de fois dérivables sur I, et qui vérifient, pour tout x  I , l’équation
différentielle proposée.
Exemples :
y ' ' y' y  8 x
3 y '4 y  5 x  3
y ' 3x  4
2
1
2
 x 1 y  0
y'
8
3 y ' '4 x y '2 y  2
x 2
5
y ''  2
x
2
y'
(3)
4y  2
2
y
Pour simplifier (!) les
équations, on évite
d’écrire y (x) , y‘(x) ...
Tout d’abord, comme nous ne sommes pas courageux !
Nous nous intéressons aux équations les plus simples :
Que des y et y ’
Équations différentielles
linéaires
du premier ordre
à coefficients constants
sans second membre
D’un côté les « y »
de l’autre 0 !
C’est à dire :
ou encore :
y 'a y  0
y ' a y
Pas de
y2
1
, de
...
y
Coefficients
sans la
variable x
Théorème :
Les solutions sur R de l’équation différentielle (1) : y ’ = a y , où a  0,
sont les fonctions fk définies sur R par :
f k : x  k ea x
, où k  R .
Ce théorème est à connaître par cœur !
Tout comme la preuve de ce théorème !
Preuve :
 Montrons tout d’abord qu’il y a des solutions !
C’est à dire des fonctions dérivables qui vérifient (1) : y ’ = a y .
Pour cela nous allons simplement vérifier que f1 est une solution de (1).
f1 ( x)  ea x
f1 est dérivable sur R et pour tout x :
Ainsi, pour tout x  R :
f1 ' ( x)  a  ea x
f1 ' ( x)  a  f1( x)
Ce qui veut bien dire que f1 est une solution de l’équation (1).
On peut de la même manière
vérifier le théorème pour fk .
 Maintenant, montrons qu’il ne peut pas y avoir d’autres solutions !
Pour cela, soit g une solution quelconque de (1) : y ’ = a y .
On sait qu’il y a des solutions (cf diapo précédente !)
g est donc une fonction dérivable sur R qui vérifie l’équation (1) ;
c’est à dire que pour tout x  R , g’(x) = a g (x) .
a x
On considère la fonction u définie sur R par : u ( x)  g ( x)  e
La fonction u est dérivable sur R comme produit de fonctions dérivables sur R.
On a :
g ( x)  u ( x)  e a x
Donc : g ' ( x)  u ' ( x)  e
Comme g’(x) - a g (x) = 0, il en vient :

ax
 u ( x)  a e a x

g ' ( x)  a g ( x)  u ' ( x)  ea x  u ( x)  a ea x  a u ( x)  ea x  u ' ( x)  ea x  0
Comme une exponentielle n’est pas nulle, on a pour tout x  R , u‘ (x) = 0.
Ainsi, la fonction u est une constante que l’on peut notée k. Pour tout x  R , u (x) = k.
ax
Ce qui donne pour la fonction g : g ( x)  k  e
Exemple :
On considère l’équation différentielle : y ’ = 3 y.
Les solutions de cette équation sont les fonctions f définies sur R par :
f ( x )  k e3 x
, où k  R .
C ’est aussi simple que ça !
Théorème :
Pour tout couple (x0 ; y0) , il existe une unique solution f
à l ’équation (1) : y ’ = a y qui vérifie la condition initiale : f (x0) = y0 .
Cela revient à choisir la constante k
de la fonction solution fk
qui vérifie cette condition initiale.
L’interprétation graphique de ce théorème nous donne :
Par tout point M (x0 ; y0) , il ne passe qu’une seule courbe solution de (1).
Ou encore : on peut toujours trouver une unique solution de (1) telle que
la courbe de cette solution passe par un point donné.
Quelques courbes de solutions de l’équation différentielle : y ’ = 3 y.
Ici k = 100
Ici k = 0,00001
Exemple :
On considère l’équation différentielle (1) : y ’ = 3 y.
On recherche la solution particulière f qui vérifie : f (-1) = 10.
Les solutions de l’équation (1) sont les fonctions f définies sur R par :
f ( x )  k e3 x
Or si f (-1) = 10 , on a :
, où k  R .
f (1)  k e3  10
Ce qui donne pour la constante k :
k  10 e3
Soit environ k = 201 !
Courbe de la fonction f définie par :
f ( x)  10 e3 x3
Théorème :
Les solutions sur R de l’équation différentielle (1) : y ’ = a y + b ,
où a  0 et b  0 sont les fonctions fk définies sur R par :
fk : x  k e
ax
b

a
, où k  R .
Exemple :
On considère l’équation différentielle : y ’ = 3 y - 2.
Les solutions de cette équation sont les fonctions f définies sur R par :
f ( x )  k e3 x 
2
3
, où k  R .
On peut aussi rechercher une solution particulière en imposant une condition.