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Différentielle
et taux de variation
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction
Dans cette présentation, nous verrons :
• comment utiliser la différentielle pour estimer la variation
d’une fonction f(x) sur un intervalle [x; x + ∆x].
• comment utiliser la différentielle pour estimer l’aire sous la
courbe d’une fonction f '(x) sur un intervalle [x; x + ∆x].
• comment utiliser la différentielle pour « résoudre » une
équation différentielle.

v(t)

Exemple 1.3.1
Une automobile roule à 90 km/h.
Estimer la distance parcourue par
l’automobile au cours des quinze
prochaines minutes.
∆s
∆t = 90 km/h

∆s = 22,5 km
∆s
∆t

∆s = 90 km/h ∆t
= 90 km/h 0,25 h = 22,5 km

s(t)

∆s = 22,5 km

La distance parcourue au cours des
quinze prochaines minutes est donc
estimée à 22,5 km.
On a implicitement fait une hypothèse,
on a considéré que la vitesse resterait
constante pendant ce quart d’heure.
Est-ce toujours le cas?

t

Temps (h)

t

∆t

S

Discussion
Considérons le taux de 90 km/h comme
un taux de variation instantané, soit :
ds
dt = 90 km/h
Si le taux de variation diminue durant
l’intervalle considéré, la variation ∆s
est plus petite que l’estimation ds qui
en est faite.

Si le taux de variation augmente
durant l’intervalle considéré, la
variation ∆s est plus grande que
l’estimation ds qui en est faite.
Rappelons la définition de différentielle.

S

Différentielle
DÉFINITION
Différentielle
Soit y = f(x), une fonction dérivable au point d’abscisse c. On appelle
différentielle de f en ce point la fonction définie par :

dy|c = f '(c)dx

où dx représente une variation de la
variable indépendante.
La différentielle en un point (x; f(x))
quelconque est définie par :
dy = f '(x)dx

Graphiquement, dy représente la variation de la fonction qu’on
obtiendrait si le taux de variation restait constant.

Interprétation géométrique
Interprétons la différentielle à partir
y ' = f '(x), la fonction dérivée de y = f(x).

f '(c) est la hauteur jusqu’à la courbe de
f '(x) au point d’abscisse c, dx = ∆x est la
largeur de l’intervalle [c; c+∆x].
Le produit f '(c) dx est l’aire du rectangle
de hauteur f '(c) sous la courbe de f '(x)
dans l’intervalle [c; c+∆x].

Par conséquent, la différentielle :
dy |c = f '(c) dx
est une valeur approchée de l’aire sous la
courbe de f '(x) dans l’intervalle [c; c+∆x].
La différentielle donne une estimation de :
• la variation de la fonction y = f(x) dans
l’intervalle [c; c+∆x];
• l’aire sous la courbe de y ' = f '(x) dans
l’intervalle [c; c+∆x].

S

Exemple 1.3.2
Soit la fonction définie par f (x) = ln x.
a) Estimer la variation de la fonction dans
l’intervalle [1; 1,5]. Représenter graphiquement la valeur calculée.
dy |1 = f '(1) dx = 1  0,5 = 0,5 u
b) Estimer l’aire sous la courbe de la
fonction dérivée dans l’intervalle
[1; 1,5]. Représenter graphiquement la
valeur calculée.
dy |1 = f '(1) dx = 1  0,5 = 0,5 u2

La différentielle donne :
• une estimation de la variation de la
fonction,
• une estimation de l’aire sous la courbe
de la fonction dérivée.

S

Équation différentielle
DÉFINITION
Équation différentielle
On appelle équation différentielle toute équation comportant des
variables et des dérivées (ou des différentielles).
Un réservoir est muni d’un dispositif électronique
de contrôle de niveau qui se déclenche lorsque le
volume de liquide est de 1 m3. Le débit est alors de
1 m3/min durant une minute puis il diminue selon
le modèle :
dV
1
dt



t

où V est le volume de liquide en mètres cubes (m3) et t est le temps en
minutes (min). La valve d’entrée se ferme automatiquement après
quatre minutes.
L’équation différentielle de cette situation est :

dV
dt



1
t

Exemple 1.3.4
Estimer le volume de liquide lorsque le
système s’arrête et esquisser le graphique
du volume de liquide dans le réservoir.
On doit estimer l’aire sous la courbe du
débit. Considérons que le débit est
constant sur des intervalles de 30 s et
calculons l’aire des rectangles.
V(0) = 1 m3
dV

 dt 
3

1

V(1)
dt 1,5= 2 m 1, 5



2
3

m 3 min  0, 5 min

(4; 3,593)

dV
dV  1  1 m
2 3 min
3
3

dt

m
min

0
,
5
min

0,
33
...
m
dtdt 1 1
3
1,5
dV

1

3 = 2,83... m3
V(2) =dt2,5
 m3 1+ 0,33...
m 3 minm
0, 5 min  0 , 5 m 3

dt

1

1

V(1,5) = 2 m3 + 0,5 m3 = 2,5 m3

S

Conclusion
On peut utiliser la différentielle pour :
• estimer la variation d’une fonction f(x) sur un intervalle
[x; x + ∆x].
• estimer l’aire sous la courbe d’une fonction f '(x) sur un
intervalle [x; x + ∆x].
• résoudre une équation différentielle par une méthode
numérique.


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Différentielle
et taux de variation
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction
Dans cette présentation, nous verrons :
• comment utiliser la différentielle pour estimer la variation
d’une fonction f(x) sur un intervalle [x; x + ∆x].
• comment utiliser la différentielle pour estimer l’aire sous la
courbe d’une fonction f '(x) sur un intervalle [x; x + ∆x].
• comment utiliser la différentielle pour « résoudre » une
équation différentielle.

v(t)

Exemple 1.3.1
Une automobile roule à 90 km/h.
Estimer la distance parcourue par
l’automobile au cours des quinze
prochaines minutes.
∆s
∆t = 90 km/h

∆s = 22,5 km
∆s
∆t

∆s = 90 km/h ∆t
= 90 km/h 0,25 h = 22,5 km

s(t)

∆s = 22,5 km

La distance parcourue au cours des
quinze prochaines minutes est donc
estimée à 22,5 km.
On a implicitement fait une hypothèse,
on a considéré que la vitesse resterait
constante pendant ce quart d’heure.
Est-ce toujours le cas?

t

Temps (h)

t

∆t

S

Discussion
Considérons le taux de 90 km/h comme
un taux de variation instantané, soit :
ds
dt = 90 km/h
Si le taux de variation diminue durant
l’intervalle considéré, la variation ∆s
est plus petite que l’estimation ds qui
en est faite.

Si le taux de variation augmente
durant l’intervalle considéré, la
variation ∆s est plus grande que
l’estimation ds qui en est faite.
Rappelons la définition de différentielle.

S

Différentielle
DÉFINITION
Différentielle
Soit y = f(x), une fonction dérivable au point d’abscisse c. On appelle
différentielle de f en ce point la fonction définie par :

dy|c = f '(c)dx

où dx représente une variation de la
variable indépendante.
La différentielle en un point (x; f(x))
quelconque est définie par :
dy = f '(x)dx

Graphiquement, dy représente la variation de la fonction qu’on
obtiendrait si le taux de variation restait constant.

Interprétation géométrique
Interprétons la différentielle à partir
y ' = f '(x), la fonction dérivée de y = f(x).

f '(c) est la hauteur jusqu’à la courbe de
f '(x) au point d’abscisse c, dx = ∆x est la
largeur de l’intervalle [c; c+∆x].
Le produit f '(c) dx est l’aire du rectangle
de hauteur f '(c) sous la courbe de f '(x)
dans l’intervalle [c; c+∆x].

Par conséquent, la différentielle :
dy |c = f '(c) dx
est une valeur approchée de l’aire sous la
courbe de f '(x) dans l’intervalle [c; c+∆x].
La différentielle donne une estimation de :
• la variation de la fonction y = f(x) dans
l’intervalle [c; c+∆x];
• l’aire sous la courbe de y ' = f '(x) dans
l’intervalle [c; c+∆x].

S

Exemple 1.3.2
Soit la fonction définie par f (x) = ln x.
a) Estimer la variation de la fonction dans
l’intervalle [1; 1,5]. Représenter graphiquement la valeur calculée.
dy |1 = f '(1) dx = 1  0,5 = 0,5 u
b) Estimer l’aire sous la courbe de la
fonction dérivée dans l’intervalle
[1; 1,5]. Représenter graphiquement la
valeur calculée.
dy |1 = f '(1) dx = 1  0,5 = 0,5 u2

La différentielle donne :
• une estimation de la variation de la
fonction,
• une estimation de l’aire sous la courbe
de la fonction dérivée.

S

Équation différentielle
DÉFINITION
Équation différentielle
On appelle équation différentielle toute équation comportant des
variables et des dérivées (ou des différentielles).
Un réservoir est muni d’un dispositif électronique
de contrôle de niveau qui se déclenche lorsque le
volume de liquide est de 1 m3. Le débit est alors de
1 m3/min durant une minute puis il diminue selon
le modèle :
dV
1
dt



t

où V est le volume de liquide en mètres cubes (m3) et t est le temps en
minutes (min). La valve d’entrée se ferme automatiquement après
quatre minutes.
L’équation différentielle de cette situation est :

dV
dt



1
t

Exemple 1.3.4
Estimer le volume de liquide lorsque le
système s’arrête et esquisser le graphique
du volume de liquide dans le réservoir.
On doit estimer l’aire sous la courbe du
débit. Considérons que le débit est
constant sur des intervalles de 30 s et
calculons l’aire des rectangles.
V(0) = 1 m3
dV

 dt 
3

1

V(1)
dt 1,5= 2 m 1, 5



2
3

m 3 min  0, 5 min

(4; 3,593)

dV
dV  1  1 m
2 3 min
3
3

dt

m
min

0
,
5
min

0,
33
...
m
dtdt 1 1
3
1,5
dV

1

3 = 2,83... m3
V(2) =dt2,5
 m3 1+ 0,33...
m 3 minm
0, 5 min  0 , 5 m 3

dt

1

1

V(1,5) = 2 m3 + 0,5 m3 = 2,5 m3

S

Conclusion
On peut utiliser la différentielle pour :
• estimer la variation d’une fonction f(x) sur un intervalle
[x; x + ∆x].
• estimer l’aire sous la courbe d’une fonction f '(x) sur un
intervalle [x; x + ∆x].
• résoudre une équation différentielle par une méthode
numérique.


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Différentielle
et taux de variation
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction
Dans cette présentation, nous verrons :
• comment utiliser la différentielle pour estimer la variation
d’une fonction f(x) sur un intervalle [x; x + ∆x].
• comment utiliser la différentielle pour estimer l’aire sous la
courbe d’une fonction f '(x) sur un intervalle [x; x + ∆x].
• comment utiliser la différentielle pour « résoudre » une
équation différentielle.

v(t)

Exemple 1.3.1
Une automobile roule à 90 km/h.
Estimer la distance parcourue par
l’automobile au cours des quinze
prochaines minutes.
∆s
∆t = 90 km/h

∆s = 22,5 km
∆s
∆t

∆s = 90 km/h ∆t
= 90 km/h 0,25 h = 22,5 km

s(t)

∆s = 22,5 km

La distance parcourue au cours des
quinze prochaines minutes est donc
estimée à 22,5 km.
On a implicitement fait une hypothèse,
on a considéré que la vitesse resterait
constante pendant ce quart d’heure.
Est-ce toujours le cas?

t

Temps (h)

t

∆t

S

Discussion
Considérons le taux de 90 km/h comme
un taux de variation instantané, soit :
ds
dt = 90 km/h
Si le taux de variation diminue durant
l’intervalle considéré, la variation ∆s
est plus petite que l’estimation ds qui
en est faite.

Si le taux de variation augmente
durant l’intervalle considéré, la
variation ∆s est plus grande que
l’estimation ds qui en est faite.
Rappelons la définition de différentielle.

S

Différentielle
DÉFINITION
Différentielle
Soit y = f(x), une fonction dérivable au point d’abscisse c. On appelle
différentielle de f en ce point la fonction définie par :

dy|c = f '(c)dx

où dx représente une variation de la
variable indépendante.
La différentielle en un point (x; f(x))
quelconque est définie par :
dy = f '(x)dx

Graphiquement, dy représente la variation de la fonction qu’on
obtiendrait si le taux de variation restait constant.

Interprétation géométrique
Interprétons la différentielle à partir
y ' = f '(x), la fonction dérivée de y = f(x).

f '(c) est la hauteur jusqu’à la courbe de
f '(x) au point d’abscisse c, dx = ∆x est la
largeur de l’intervalle [c; c+∆x].
Le produit f '(c) dx est l’aire du rectangle
de hauteur f '(c) sous la courbe de f '(x)
dans l’intervalle [c; c+∆x].

Par conséquent, la différentielle :
dy |c = f '(c) dx
est une valeur approchée de l’aire sous la
courbe de f '(x) dans l’intervalle [c; c+∆x].
La différentielle donne une estimation de :
• la variation de la fonction y = f(x) dans
l’intervalle [c; c+∆x];
• l’aire sous la courbe de y ' = f '(x) dans
l’intervalle [c; c+∆x].

S

Exemple 1.3.2
Soit la fonction définie par f (x) = ln x.
a) Estimer la variation de la fonction dans
l’intervalle [1; 1,5]. Représenter graphiquement la valeur calculée.
dy |1 = f '(1) dx = 1  0,5 = 0,5 u
b) Estimer l’aire sous la courbe de la
fonction dérivée dans l’intervalle
[1; 1,5]. Représenter graphiquement la
valeur calculée.
dy |1 = f '(1) dx = 1  0,5 = 0,5 u2

La différentielle donne :
• une estimation de la variation de la
fonction,
• une estimation de l’aire sous la courbe
de la fonction dérivée.

S

Équation différentielle
DÉFINITION
Équation différentielle
On appelle équation différentielle toute équation comportant des
variables et des dérivées (ou des différentielles).
Un réservoir est muni d’un dispositif électronique
de contrôle de niveau qui se déclenche lorsque le
volume de liquide est de 1 m3. Le débit est alors de
1 m3/min durant une minute puis il diminue selon
le modèle :
dV
1
dt



t

où V est le volume de liquide en mètres cubes (m3) et t est le temps en
minutes (min). La valve d’entrée se ferme automatiquement après
quatre minutes.
L’équation différentielle de cette situation est :

dV
dt



1
t

Exemple 1.3.4
Estimer le volume de liquide lorsque le
système s’arrête et esquisser le graphique
du volume de liquide dans le réservoir.
On doit estimer l’aire sous la courbe du
débit. Considérons que le débit est
constant sur des intervalles de 30 s et
calculons l’aire des rectangles.
V(0) = 1 m3
dV

 dt 
3

1

V(1)
dt 1,5= 2 m 1, 5



2
3

m 3 min  0, 5 min

(4; 3,593)

dV
dV  1  1 m
2 3 min
3
3

dt

m
min

0
,
5
min

0,
33
...
m
dtdt 1 1
3
1,5
dV

1

3 = 2,83... m3
V(2) =dt2,5
 m3 1+ 0,33...
m 3 minm
0, 5 min  0 , 5 m 3

dt

1

1

V(1,5) = 2 m3 + 0,5 m3 = 2,5 m3

S

Conclusion
On peut utiliser la différentielle pour :
• estimer la variation d’une fonction f(x) sur un intervalle
[x; x + ∆x].
• estimer l’aire sous la courbe d’une fonction f '(x) sur un
intervalle [x; x + ∆x].
• résoudre une équation différentielle par une méthode
numérique.


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Différentielle
et taux de variation
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction
Dans cette présentation, nous verrons :
• comment utiliser la différentielle pour estimer la variation
d’une fonction f(x) sur un intervalle [x; x + ∆x].
• comment utiliser la différentielle pour estimer l’aire sous la
courbe d’une fonction f '(x) sur un intervalle [x; x + ∆x].
• comment utiliser la différentielle pour « résoudre » une
équation différentielle.

v(t)

Exemple 1.3.1
Une automobile roule à 90 km/h.
Estimer la distance parcourue par
l’automobile au cours des quinze
prochaines minutes.
∆s
∆t = 90 km/h

∆s = 22,5 km
∆s
∆t

∆s = 90 km/h ∆t
= 90 km/h 0,25 h = 22,5 km

s(t)

∆s = 22,5 km

La distance parcourue au cours des
quinze prochaines minutes est donc
estimée à 22,5 km.
On a implicitement fait une hypothèse,
on a considéré que la vitesse resterait
constante pendant ce quart d’heure.
Est-ce toujours le cas?

t

Temps (h)

t

∆t

S

Discussion
Considérons le taux de 90 km/h comme
un taux de variation instantané, soit :
ds
dt = 90 km/h
Si le taux de variation diminue durant
l’intervalle considéré, la variation ∆s
est plus petite que l’estimation ds qui
en est faite.

Si le taux de variation augmente
durant l’intervalle considéré, la
variation ∆s est plus grande que
l’estimation ds qui en est faite.
Rappelons la définition de différentielle.

S

Différentielle
DÉFINITION
Différentielle
Soit y = f(x), une fonction dérivable au point d’abscisse c. On appelle
différentielle de f en ce point la fonction définie par :

dy|c = f '(c)dx

où dx représente une variation de la
variable indépendante.
La différentielle en un point (x; f(x))
quelconque est définie par :
dy = f '(x)dx

Graphiquement, dy représente la variation de la fonction qu’on
obtiendrait si le taux de variation restait constant.

Interprétation géométrique
Interprétons la différentielle à partir
y ' = f '(x), la fonction dérivée de y = f(x).

f '(c) est la hauteur jusqu’à la courbe de
f '(x) au point d’abscisse c, dx = ∆x est la
largeur de l’intervalle [c; c+∆x].
Le produit f '(c) dx est l’aire du rectangle
de hauteur f '(c) sous la courbe de f '(x)
dans l’intervalle [c; c+∆x].

Par conséquent, la différentielle :
dy |c = f '(c) dx
est une valeur approchée de l’aire sous la
courbe de f '(x) dans l’intervalle [c; c+∆x].
La différentielle donne une estimation de :
• la variation de la fonction y = f(x) dans
l’intervalle [c; c+∆x];
• l’aire sous la courbe de y ' = f '(x) dans
l’intervalle [c; c+∆x].

S

Exemple 1.3.2
Soit la fonction définie par f (x) = ln x.
a) Estimer la variation de la fonction dans
l’intervalle [1; 1,5]. Représenter graphiquement la valeur calculée.
dy |1 = f '(1) dx = 1  0,5 = 0,5 u
b) Estimer l’aire sous la courbe de la
fonction dérivée dans l’intervalle
[1; 1,5]. Représenter graphiquement la
valeur calculée.
dy |1 = f '(1) dx = 1  0,5 = 0,5 u2

La différentielle donne :
• une estimation de la variation de la
fonction,
• une estimation de l’aire sous la courbe
de la fonction dérivée.

S

Équation différentielle
DÉFINITION
Équation différentielle
On appelle équation différentielle toute équation comportant des
variables et des dérivées (ou des différentielles).
Un réservoir est muni d’un dispositif électronique
de contrôle de niveau qui se déclenche lorsque le
volume de liquide est de 1 m3. Le débit est alors de
1 m3/min durant une minute puis il diminue selon
le modèle :
dV
1
dt



t

où V est le volume de liquide en mètres cubes (m3) et t est le temps en
minutes (min). La valve d’entrée se ferme automatiquement après
quatre minutes.
L’équation différentielle de cette situation est :

dV
dt



1
t

Exemple 1.3.4
Estimer le volume de liquide lorsque le
système s’arrête et esquisser le graphique
du volume de liquide dans le réservoir.
On doit estimer l’aire sous la courbe du
débit. Considérons que le débit est
constant sur des intervalles de 30 s et
calculons l’aire des rectangles.
V(0) = 1 m3
dV

 dt 
3

1

V(1)
dt 1,5= 2 m 1, 5



2
3

m 3 min  0, 5 min

(4; 3,593)

dV
dV  1  1 m
2 3 min
3
3

dt

m
min

0
,
5
min

0,
33
...
m
dtdt 1 1
3
1,5
dV

1

3 = 2,83... m3
V(2) =dt2,5
 m3 1+ 0,33...
m 3 minm
0, 5 min  0 , 5 m 3

dt

1

1

V(1,5) = 2 m3 + 0,5 m3 = 2,5 m3

S

Conclusion
On peut utiliser la différentielle pour :
• estimer la variation d’une fonction f(x) sur un intervalle
[x; x + ∆x].
• estimer l’aire sous la courbe d’une fonction f '(x) sur un
intervalle [x; x + ∆x].
• résoudre une équation différentielle par une méthode
numérique.


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Différentielle
et taux de variation
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction
Dans cette présentation, nous verrons :
• comment utiliser la différentielle pour estimer la variation
d’une fonction f(x) sur un intervalle [x; x + ∆x].
• comment utiliser la différentielle pour estimer l’aire sous la
courbe d’une fonction f '(x) sur un intervalle [x; x + ∆x].
• comment utiliser la différentielle pour « résoudre » une
équation différentielle.

v(t)

Exemple 1.3.1
Une automobile roule à 90 km/h.
Estimer la distance parcourue par
l’automobile au cours des quinze
prochaines minutes.
∆s
∆t = 90 km/h

∆s = 22,5 km
∆s
∆t

∆s = 90 km/h ∆t
= 90 km/h 0,25 h = 22,5 km

s(t)

∆s = 22,5 km

La distance parcourue au cours des
quinze prochaines minutes est donc
estimée à 22,5 km.
On a implicitement fait une hypothèse,
on a considéré que la vitesse resterait
constante pendant ce quart d’heure.
Est-ce toujours le cas?

t

Temps (h)

t

∆t

S

Discussion
Considérons le taux de 90 km/h comme
un taux de variation instantané, soit :
ds
dt = 90 km/h
Si le taux de variation diminue durant
l’intervalle considéré, la variation ∆s
est plus petite que l’estimation ds qui
en est faite.

Si le taux de variation augmente
durant l’intervalle considéré, la
variation ∆s est plus grande que
l’estimation ds qui en est faite.
Rappelons la définition de différentielle.

S

Différentielle
DÉFINITION
Différentielle
Soit y = f(x), une fonction dérivable au point d’abscisse c. On appelle
différentielle de f en ce point la fonction définie par :

dy|c = f '(c)dx

où dx représente une variation de la
variable indépendante.
La différentielle en un point (x; f(x))
quelconque est définie par :
dy = f '(x)dx

Graphiquement, dy représente la variation de la fonction qu’on
obtiendrait si le taux de variation restait constant.

Interprétation géométrique
Interprétons la différentielle à partir
y ' = f '(x), la fonction dérivée de y = f(x).

f '(c) est la hauteur jusqu’à la courbe de
f '(x) au point d’abscisse c, dx = ∆x est la
largeur de l’intervalle [c; c+∆x].
Le produit f '(c) dx est l’aire du rectangle
de hauteur f '(c) sous la courbe de f '(x)
dans l’intervalle [c; c+∆x].

Par conséquent, la différentielle :
dy |c = f '(c) dx
est une valeur approchée de l’aire sous la
courbe de f '(x) dans l’intervalle [c; c+∆x].
La différentielle donne une estimation de :
• la variation de la fonction y = f(x) dans
l’intervalle [c; c+∆x];
• l’aire sous la courbe de y ' = f '(x) dans
l’intervalle [c; c+∆x].

S

Exemple 1.3.2
Soit la fonction définie par f (x) = ln x.
a) Estimer la variation de la fonction dans
l’intervalle [1; 1,5]. Représenter graphiquement la valeur calculée.
dy |1 = f '(1) dx = 1  0,5 = 0,5 u
b) Estimer l’aire sous la courbe de la
fonction dérivée dans l’intervalle
[1; 1,5]. Représenter graphiquement la
valeur calculée.
dy |1 = f '(1) dx = 1  0,5 = 0,5 u2

La différentielle donne :
• une estimation de la variation de la
fonction,
• une estimation de l’aire sous la courbe
de la fonction dérivée.

S

Équation différentielle
DÉFINITION
Équation différentielle
On appelle équation différentielle toute équation comportant des
variables et des dérivées (ou des différentielles).
Un réservoir est muni d’un dispositif électronique
de contrôle de niveau qui se déclenche lorsque le
volume de liquide est de 1 m3. Le débit est alors de
1 m3/min durant une minute puis il diminue selon
le modèle :
dV
1
dt



t

où V est le volume de liquide en mètres cubes (m3) et t est le temps en
minutes (min). La valve d’entrée se ferme automatiquement après
quatre minutes.
L’équation différentielle de cette situation est :

dV
dt



1
t

Exemple 1.3.4
Estimer le volume de liquide lorsque le
système s’arrête et esquisser le graphique
du volume de liquide dans le réservoir.
On doit estimer l’aire sous la courbe du
débit. Considérons que le débit est
constant sur des intervalles de 30 s et
calculons l’aire des rectangles.
V(0) = 1 m3
dV

 dt 
3

1

V(1)
dt 1,5= 2 m 1, 5



2
3

m 3 min  0, 5 min

(4; 3,593)

dV
dV  1  1 m
2 3 min
3
3

dt

m
min

0
,
5
min

0,
33
...
m
dtdt 1 1
3
1,5
dV

1

3 = 2,83... m3
V(2) =dt2,5
 m3 1+ 0,33...
m 3 minm
0, 5 min  0 , 5 m 3

dt

1

1

V(1,5) = 2 m3 + 0,5 m3 = 2,5 m3

S

Conclusion
On peut utiliser la différentielle pour :
• estimer la variation d’une fonction f(x) sur un intervalle
[x; x + ∆x].
• estimer l’aire sous la courbe d’une fonction f '(x) sur un
intervalle [x; x + ∆x].
• résoudre une équation différentielle par une méthode
numérique.


Slide 6

Différentielle
et taux de variation
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction
Dans cette présentation, nous verrons :
• comment utiliser la différentielle pour estimer la variation
d’une fonction f(x) sur un intervalle [x; x + ∆x].
• comment utiliser la différentielle pour estimer l’aire sous la
courbe d’une fonction f '(x) sur un intervalle [x; x + ∆x].
• comment utiliser la différentielle pour « résoudre » une
équation différentielle.

v(t)

Exemple 1.3.1
Une automobile roule à 90 km/h.
Estimer la distance parcourue par
l’automobile au cours des quinze
prochaines minutes.
∆s
∆t = 90 km/h

∆s = 22,5 km
∆s
∆t

∆s = 90 km/h ∆t
= 90 km/h 0,25 h = 22,5 km

s(t)

∆s = 22,5 km

La distance parcourue au cours des
quinze prochaines minutes est donc
estimée à 22,5 km.
On a implicitement fait une hypothèse,
on a considéré que la vitesse resterait
constante pendant ce quart d’heure.
Est-ce toujours le cas?

t

Temps (h)

t

∆t

S

Discussion
Considérons le taux de 90 km/h comme
un taux de variation instantané, soit :
ds
dt = 90 km/h
Si le taux de variation diminue durant
l’intervalle considéré, la variation ∆s
est plus petite que l’estimation ds qui
en est faite.

Si le taux de variation augmente
durant l’intervalle considéré, la
variation ∆s est plus grande que
l’estimation ds qui en est faite.
Rappelons la définition de différentielle.

S

Différentielle
DÉFINITION
Différentielle
Soit y = f(x), une fonction dérivable au point d’abscisse c. On appelle
différentielle de f en ce point la fonction définie par :

dy|c = f '(c)dx

où dx représente une variation de la
variable indépendante.
La différentielle en un point (x; f(x))
quelconque est définie par :
dy = f '(x)dx

Graphiquement, dy représente la variation de la fonction qu’on
obtiendrait si le taux de variation restait constant.

Interprétation géométrique
Interprétons la différentielle à partir
y ' = f '(x), la fonction dérivée de y = f(x).

f '(c) est la hauteur jusqu’à la courbe de
f '(x) au point d’abscisse c, dx = ∆x est la
largeur de l’intervalle [c; c+∆x].
Le produit f '(c) dx est l’aire du rectangle
de hauteur f '(c) sous la courbe de f '(x)
dans l’intervalle [c; c+∆x].

Par conséquent, la différentielle :
dy |c = f '(c) dx
est une valeur approchée de l’aire sous la
courbe de f '(x) dans l’intervalle [c; c+∆x].
La différentielle donne une estimation de :
• la variation de la fonction y = f(x) dans
l’intervalle [c; c+∆x];
• l’aire sous la courbe de y ' = f '(x) dans
l’intervalle [c; c+∆x].

S

Exemple 1.3.2
Soit la fonction définie par f (x) = ln x.
a) Estimer la variation de la fonction dans
l’intervalle [1; 1,5]. Représenter graphiquement la valeur calculée.
dy |1 = f '(1) dx = 1  0,5 = 0,5 u
b) Estimer l’aire sous la courbe de la
fonction dérivée dans l’intervalle
[1; 1,5]. Représenter graphiquement la
valeur calculée.
dy |1 = f '(1) dx = 1  0,5 = 0,5 u2

La différentielle donne :
• une estimation de la variation de la
fonction,
• une estimation de l’aire sous la courbe
de la fonction dérivée.

S

Équation différentielle
DÉFINITION
Équation différentielle
On appelle équation différentielle toute équation comportant des
variables et des dérivées (ou des différentielles).
Un réservoir est muni d’un dispositif électronique
de contrôle de niveau qui se déclenche lorsque le
volume de liquide est de 1 m3. Le débit est alors de
1 m3/min durant une minute puis il diminue selon
le modèle :
dV
1
dt



t

où V est le volume de liquide en mètres cubes (m3) et t est le temps en
minutes (min). La valve d’entrée se ferme automatiquement après
quatre minutes.
L’équation différentielle de cette situation est :

dV
dt



1
t

Exemple 1.3.4
Estimer le volume de liquide lorsque le
système s’arrête et esquisser le graphique
du volume de liquide dans le réservoir.
On doit estimer l’aire sous la courbe du
débit. Considérons que le débit est
constant sur des intervalles de 30 s et
calculons l’aire des rectangles.
V(0) = 1 m3
dV

 dt 
3

1

V(1)
dt 1,5= 2 m 1, 5



2
3

m 3 min  0, 5 min

(4; 3,593)

dV
dV  1  1 m
2 3 min
3
3

dt

m
min

0
,
5
min

0,
33
...
m
dtdt 1 1
3
1,5
dV

1

3 = 2,83... m3
V(2) =dt2,5
 m3 1+ 0,33...
m 3 minm
0, 5 min  0 , 5 m 3

dt

1

1

V(1,5) = 2 m3 + 0,5 m3 = 2,5 m3

S

Conclusion
On peut utiliser la différentielle pour :
• estimer la variation d’une fonction f(x) sur un intervalle
[x; x + ∆x].
• estimer l’aire sous la courbe d’une fonction f '(x) sur un
intervalle [x; x + ∆x].
• résoudre une équation différentielle par une méthode
numérique.


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Différentielle
et taux de variation
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction
Dans cette présentation, nous verrons :
• comment utiliser la différentielle pour estimer la variation
d’une fonction f(x) sur un intervalle [x; x + ∆x].
• comment utiliser la différentielle pour estimer l’aire sous la
courbe d’une fonction f '(x) sur un intervalle [x; x + ∆x].
• comment utiliser la différentielle pour « résoudre » une
équation différentielle.

v(t)

Exemple 1.3.1
Une automobile roule à 90 km/h.
Estimer la distance parcourue par
l’automobile au cours des quinze
prochaines minutes.
∆s
∆t = 90 km/h

∆s = 22,5 km
∆s
∆t

∆s = 90 km/h ∆t
= 90 km/h 0,25 h = 22,5 km

s(t)

∆s = 22,5 km

La distance parcourue au cours des
quinze prochaines minutes est donc
estimée à 22,5 km.
On a implicitement fait une hypothèse,
on a considéré que la vitesse resterait
constante pendant ce quart d’heure.
Est-ce toujours le cas?

t

Temps (h)

t

∆t

S

Discussion
Considérons le taux de 90 km/h comme
un taux de variation instantané, soit :
ds
dt = 90 km/h
Si le taux de variation diminue durant
l’intervalle considéré, la variation ∆s
est plus petite que l’estimation ds qui
en est faite.

Si le taux de variation augmente
durant l’intervalle considéré, la
variation ∆s est plus grande que
l’estimation ds qui en est faite.
Rappelons la définition de différentielle.

S

Différentielle
DÉFINITION
Différentielle
Soit y = f(x), une fonction dérivable au point d’abscisse c. On appelle
différentielle de f en ce point la fonction définie par :

dy|c = f '(c)dx

où dx représente une variation de la
variable indépendante.
La différentielle en un point (x; f(x))
quelconque est définie par :
dy = f '(x)dx

Graphiquement, dy représente la variation de la fonction qu’on
obtiendrait si le taux de variation restait constant.

Interprétation géométrique
Interprétons la différentielle à partir
y ' = f '(x), la fonction dérivée de y = f(x).

f '(c) est la hauteur jusqu’à la courbe de
f '(x) au point d’abscisse c, dx = ∆x est la
largeur de l’intervalle [c; c+∆x].
Le produit f '(c) dx est l’aire du rectangle
de hauteur f '(c) sous la courbe de f '(x)
dans l’intervalle [c; c+∆x].

Par conséquent, la différentielle :
dy |c = f '(c) dx
est une valeur approchée de l’aire sous la
courbe de f '(x) dans l’intervalle [c; c+∆x].
La différentielle donne une estimation de :
• la variation de la fonction y = f(x) dans
l’intervalle [c; c+∆x];
• l’aire sous la courbe de y ' = f '(x) dans
l’intervalle [c; c+∆x].

S

Exemple 1.3.2
Soit la fonction définie par f (x) = ln x.
a) Estimer la variation de la fonction dans
l’intervalle [1; 1,5]. Représenter graphiquement la valeur calculée.
dy |1 = f '(1) dx = 1  0,5 = 0,5 u
b) Estimer l’aire sous la courbe de la
fonction dérivée dans l’intervalle
[1; 1,5]. Représenter graphiquement la
valeur calculée.
dy |1 = f '(1) dx = 1  0,5 = 0,5 u2

La différentielle donne :
• une estimation de la variation de la
fonction,
• une estimation de l’aire sous la courbe
de la fonction dérivée.

S

Équation différentielle
DÉFINITION
Équation différentielle
On appelle équation différentielle toute équation comportant des
variables et des dérivées (ou des différentielles).
Un réservoir est muni d’un dispositif électronique
de contrôle de niveau qui se déclenche lorsque le
volume de liquide est de 1 m3. Le débit est alors de
1 m3/min durant une minute puis il diminue selon
le modèle :
dV
1
dt



t

où V est le volume de liquide en mètres cubes (m3) et t est le temps en
minutes (min). La valve d’entrée se ferme automatiquement après
quatre minutes.
L’équation différentielle de cette situation est :

dV
dt



1
t

Exemple 1.3.4
Estimer le volume de liquide lorsque le
système s’arrête et esquisser le graphique
du volume de liquide dans le réservoir.
On doit estimer l’aire sous la courbe du
débit. Considérons que le débit est
constant sur des intervalles de 30 s et
calculons l’aire des rectangles.
V(0) = 1 m3
dV

 dt 
3

1

V(1)
dt 1,5= 2 m 1, 5



2
3

m 3 min  0, 5 min

(4; 3,593)

dV
dV  1  1 m
2 3 min
3
3

dt

m
min

0
,
5
min

0,
33
...
m
dtdt 1 1
3
1,5
dV

1

3 = 2,83... m3
V(2) =dt2,5
 m3 1+ 0,33...
m 3 minm
0, 5 min  0 , 5 m 3

dt

1

1

V(1,5) = 2 m3 + 0,5 m3 = 2,5 m3

S

Conclusion
On peut utiliser la différentielle pour :
• estimer la variation d’une fonction f(x) sur un intervalle
[x; x + ∆x].
• estimer l’aire sous la courbe d’une fonction f '(x) sur un
intervalle [x; x + ∆x].
• résoudre une équation différentielle par une méthode
numérique.


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et taux de variation
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction
Dans cette présentation, nous verrons :
• comment utiliser la différentielle pour estimer la variation
d’une fonction f(x) sur un intervalle [x; x + ∆x].
• comment utiliser la différentielle pour estimer l’aire sous la
courbe d’une fonction f '(x) sur un intervalle [x; x + ∆x].
• comment utiliser la différentielle pour « résoudre » une
équation différentielle.

v(t)

Exemple 1.3.1
Une automobile roule à 90 km/h.
Estimer la distance parcourue par
l’automobile au cours des quinze
prochaines minutes.
∆s
∆t = 90 km/h

∆s = 22,5 km
∆s
∆t

∆s = 90 km/h ∆t
= 90 km/h 0,25 h = 22,5 km

s(t)

∆s = 22,5 km

La distance parcourue au cours des
quinze prochaines minutes est donc
estimée à 22,5 km.
On a implicitement fait une hypothèse,
on a considéré que la vitesse resterait
constante pendant ce quart d’heure.
Est-ce toujours le cas?

t

Temps (h)

t

∆t

S

Discussion
Considérons le taux de 90 km/h comme
un taux de variation instantané, soit :
ds
dt = 90 km/h
Si le taux de variation diminue durant
l’intervalle considéré, la variation ∆s
est plus petite que l’estimation ds qui
en est faite.

Si le taux de variation augmente
durant l’intervalle considéré, la
variation ∆s est plus grande que
l’estimation ds qui en est faite.
Rappelons la définition de différentielle.

S

Différentielle
DÉFINITION
Différentielle
Soit y = f(x), une fonction dérivable au point d’abscisse c. On appelle
différentielle de f en ce point la fonction définie par :

dy|c = f '(c)dx

où dx représente une variation de la
variable indépendante.
La différentielle en un point (x; f(x))
quelconque est définie par :
dy = f '(x)dx

Graphiquement, dy représente la variation de la fonction qu’on
obtiendrait si le taux de variation restait constant.

Interprétation géométrique
Interprétons la différentielle à partir
y ' = f '(x), la fonction dérivée de y = f(x).

f '(c) est la hauteur jusqu’à la courbe de
f '(x) au point d’abscisse c, dx = ∆x est la
largeur de l’intervalle [c; c+∆x].
Le produit f '(c) dx est l’aire du rectangle
de hauteur f '(c) sous la courbe de f '(x)
dans l’intervalle [c; c+∆x].

Par conséquent, la différentielle :
dy |c = f '(c) dx
est une valeur approchée de l’aire sous la
courbe de f '(x) dans l’intervalle [c; c+∆x].
La différentielle donne une estimation de :
• la variation de la fonction y = f(x) dans
l’intervalle [c; c+∆x];
• l’aire sous la courbe de y ' = f '(x) dans
l’intervalle [c; c+∆x].

S

Exemple 1.3.2
Soit la fonction définie par f (x) = ln x.
a) Estimer la variation de la fonction dans
l’intervalle [1; 1,5]. Représenter graphiquement la valeur calculée.
dy |1 = f '(1) dx = 1  0,5 = 0,5 u
b) Estimer l’aire sous la courbe de la
fonction dérivée dans l’intervalle
[1; 1,5]. Représenter graphiquement la
valeur calculée.
dy |1 = f '(1) dx = 1  0,5 = 0,5 u2

La différentielle donne :
• une estimation de la variation de la
fonction,
• une estimation de l’aire sous la courbe
de la fonction dérivée.

S

Équation différentielle
DÉFINITION
Équation différentielle
On appelle équation différentielle toute équation comportant des
variables et des dérivées (ou des différentielles).
Un réservoir est muni d’un dispositif électronique
de contrôle de niveau qui se déclenche lorsque le
volume de liquide est de 1 m3. Le débit est alors de
1 m3/min durant une minute puis il diminue selon
le modèle :
dV
1
dt



t

où V est le volume de liquide en mètres cubes (m3) et t est le temps en
minutes (min). La valve d’entrée se ferme automatiquement après
quatre minutes.
L’équation différentielle de cette situation est :

dV
dt



1
t

Exemple 1.3.4
Estimer le volume de liquide lorsque le
système s’arrête et esquisser le graphique
du volume de liquide dans le réservoir.
On doit estimer l’aire sous la courbe du
débit. Considérons que le débit est
constant sur des intervalles de 30 s et
calculons l’aire des rectangles.
V(0) = 1 m3
dV

 dt 
3

1

V(1)
dt 1,5= 2 m 1, 5



2
3

m 3 min  0, 5 min

(4; 3,593)

dV
dV  1  1 m
2 3 min
3
3

dt

m
min

0
,
5
min

0,
33
...
m
dtdt 1 1
3
1,5
dV

1

3 = 2,83... m3
V(2) =dt2,5
 m3 1+ 0,33...
m 3 minm
0, 5 min  0 , 5 m 3

dt

1

1

V(1,5) = 2 m3 + 0,5 m3 = 2,5 m3

S

Conclusion
On peut utiliser la différentielle pour :
• estimer la variation d’une fonction f(x) sur un intervalle
[x; x + ∆x].
• estimer l’aire sous la courbe d’une fonction f '(x) sur un
intervalle [x; x + ∆x].
• résoudre une équation différentielle par une méthode
numérique.


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Différentielle
et taux de variation
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction
Dans cette présentation, nous verrons :
• comment utiliser la différentielle pour estimer la variation
d’une fonction f(x) sur un intervalle [x; x + ∆x].
• comment utiliser la différentielle pour estimer l’aire sous la
courbe d’une fonction f '(x) sur un intervalle [x; x + ∆x].
• comment utiliser la différentielle pour « résoudre » une
équation différentielle.

v(t)

Exemple 1.3.1
Une automobile roule à 90 km/h.
Estimer la distance parcourue par
l’automobile au cours des quinze
prochaines minutes.
∆s
∆t = 90 km/h

∆s = 22,5 km
∆s
∆t

∆s = 90 km/h ∆t
= 90 km/h 0,25 h = 22,5 km

s(t)

∆s = 22,5 km

La distance parcourue au cours des
quinze prochaines minutes est donc
estimée à 22,5 km.
On a implicitement fait une hypothèse,
on a considéré que la vitesse resterait
constante pendant ce quart d’heure.
Est-ce toujours le cas?

t

Temps (h)

t

∆t

S

Discussion
Considérons le taux de 90 km/h comme
un taux de variation instantané, soit :
ds
dt = 90 km/h
Si le taux de variation diminue durant
l’intervalle considéré, la variation ∆s
est plus petite que l’estimation ds qui
en est faite.

Si le taux de variation augmente
durant l’intervalle considéré, la
variation ∆s est plus grande que
l’estimation ds qui en est faite.
Rappelons la définition de différentielle.

S

Différentielle
DÉFINITION
Différentielle
Soit y = f(x), une fonction dérivable au point d’abscisse c. On appelle
différentielle de f en ce point la fonction définie par :

dy|c = f '(c)dx

où dx représente une variation de la
variable indépendante.
La différentielle en un point (x; f(x))
quelconque est définie par :
dy = f '(x)dx

Graphiquement, dy représente la variation de la fonction qu’on
obtiendrait si le taux de variation restait constant.

Interprétation géométrique
Interprétons la différentielle à partir
y ' = f '(x), la fonction dérivée de y = f(x).

f '(c) est la hauteur jusqu’à la courbe de
f '(x) au point d’abscisse c, dx = ∆x est la
largeur de l’intervalle [c; c+∆x].
Le produit f '(c) dx est l’aire du rectangle
de hauteur f '(c) sous la courbe de f '(x)
dans l’intervalle [c; c+∆x].

Par conséquent, la différentielle :
dy |c = f '(c) dx
est une valeur approchée de l’aire sous la
courbe de f '(x) dans l’intervalle [c; c+∆x].
La différentielle donne une estimation de :
• la variation de la fonction y = f(x) dans
l’intervalle [c; c+∆x];
• l’aire sous la courbe de y ' = f '(x) dans
l’intervalle [c; c+∆x].

S

Exemple 1.3.2
Soit la fonction définie par f (x) = ln x.
a) Estimer la variation de la fonction dans
l’intervalle [1; 1,5]. Représenter graphiquement la valeur calculée.
dy |1 = f '(1) dx = 1  0,5 = 0,5 u
b) Estimer l’aire sous la courbe de la
fonction dérivée dans l’intervalle
[1; 1,5]. Représenter graphiquement la
valeur calculée.
dy |1 = f '(1) dx = 1  0,5 = 0,5 u2

La différentielle donne :
• une estimation de la variation de la
fonction,
• une estimation de l’aire sous la courbe
de la fonction dérivée.

S

Équation différentielle
DÉFINITION
Équation différentielle
On appelle équation différentielle toute équation comportant des
variables et des dérivées (ou des différentielles).
Un réservoir est muni d’un dispositif électronique
de contrôle de niveau qui se déclenche lorsque le
volume de liquide est de 1 m3. Le débit est alors de
1 m3/min durant une minute puis il diminue selon
le modèle :
dV
1
dt



t

où V est le volume de liquide en mètres cubes (m3) et t est le temps en
minutes (min). La valve d’entrée se ferme automatiquement après
quatre minutes.
L’équation différentielle de cette situation est :

dV
dt



1
t

Exemple 1.3.4
Estimer le volume de liquide lorsque le
système s’arrête et esquisser le graphique
du volume de liquide dans le réservoir.
On doit estimer l’aire sous la courbe du
débit. Considérons que le débit est
constant sur des intervalles de 30 s et
calculons l’aire des rectangles.
V(0) = 1 m3
dV

 dt 
3

1

V(1)
dt 1,5= 2 m 1, 5



2
3

m 3 min  0, 5 min

(4; 3,593)

dV
dV  1  1 m
2 3 min
3
3

dt

m
min

0
,
5
min

0,
33
...
m
dtdt 1 1
3
1,5
dV

1

3 = 2,83... m3
V(2) =dt2,5
 m3 1+ 0,33...
m 3 minm
0, 5 min  0 , 5 m 3

dt

1

1

V(1,5) = 2 m3 + 0,5 m3 = 2,5 m3

S

Conclusion
On peut utiliser la différentielle pour :
• estimer la variation d’une fonction f(x) sur un intervalle
[x; x + ∆x].
• estimer l’aire sous la courbe d’une fonction f '(x) sur un
intervalle [x; x + ∆x].
• résoudre une équation différentielle par une méthode
numérique.


Slide 10

Différentielle
et taux de variation
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction
Dans cette présentation, nous verrons :
• comment utiliser la différentielle pour estimer la variation
d’une fonction f(x) sur un intervalle [x; x + ∆x].
• comment utiliser la différentielle pour estimer l’aire sous la
courbe d’une fonction f '(x) sur un intervalle [x; x + ∆x].
• comment utiliser la différentielle pour « résoudre » une
équation différentielle.

v(t)

Exemple 1.3.1
Une automobile roule à 90 km/h.
Estimer la distance parcourue par
l’automobile au cours des quinze
prochaines minutes.
∆s
∆t = 90 km/h

∆s = 22,5 km
∆s
∆t

∆s = 90 km/h ∆t
= 90 km/h 0,25 h = 22,5 km

s(t)

∆s = 22,5 km

La distance parcourue au cours des
quinze prochaines minutes est donc
estimée à 22,5 km.
On a implicitement fait une hypothèse,
on a considéré que la vitesse resterait
constante pendant ce quart d’heure.
Est-ce toujours le cas?

t

Temps (h)

t

∆t

S

Discussion
Considérons le taux de 90 km/h comme
un taux de variation instantané, soit :
ds
dt = 90 km/h
Si le taux de variation diminue durant
l’intervalle considéré, la variation ∆s
est plus petite que l’estimation ds qui
en est faite.

Si le taux de variation augmente
durant l’intervalle considéré, la
variation ∆s est plus grande que
l’estimation ds qui en est faite.
Rappelons la définition de différentielle.

S

Différentielle
DÉFINITION
Différentielle
Soit y = f(x), une fonction dérivable au point d’abscisse c. On appelle
différentielle de f en ce point la fonction définie par :

dy|c = f '(c)dx

où dx représente une variation de la
variable indépendante.
La différentielle en un point (x; f(x))
quelconque est définie par :
dy = f '(x)dx

Graphiquement, dy représente la variation de la fonction qu’on
obtiendrait si le taux de variation restait constant.

Interprétation géométrique
Interprétons la différentielle à partir
y ' = f '(x), la fonction dérivée de y = f(x).

f '(c) est la hauteur jusqu’à la courbe de
f '(x) au point d’abscisse c, dx = ∆x est la
largeur de l’intervalle [c; c+∆x].
Le produit f '(c) dx est l’aire du rectangle
de hauteur f '(c) sous la courbe de f '(x)
dans l’intervalle [c; c+∆x].

Par conséquent, la différentielle :
dy |c = f '(c) dx
est une valeur approchée de l’aire sous la
courbe de f '(x) dans l’intervalle [c; c+∆x].
La différentielle donne une estimation de :
• la variation de la fonction y = f(x) dans
l’intervalle [c; c+∆x];
• l’aire sous la courbe de y ' = f '(x) dans
l’intervalle [c; c+∆x].

S

Exemple 1.3.2
Soit la fonction définie par f (x) = ln x.
a) Estimer la variation de la fonction dans
l’intervalle [1; 1,5]. Représenter graphiquement la valeur calculée.
dy |1 = f '(1) dx = 1  0,5 = 0,5 u
b) Estimer l’aire sous la courbe de la
fonction dérivée dans l’intervalle
[1; 1,5]. Représenter graphiquement la
valeur calculée.
dy |1 = f '(1) dx = 1  0,5 = 0,5 u2

La différentielle donne :
• une estimation de la variation de la
fonction,
• une estimation de l’aire sous la courbe
de la fonction dérivée.

S

Équation différentielle
DÉFINITION
Équation différentielle
On appelle équation différentielle toute équation comportant des
variables et des dérivées (ou des différentielles).
Un réservoir est muni d’un dispositif électronique
de contrôle de niveau qui se déclenche lorsque le
volume de liquide est de 1 m3. Le débit est alors de
1 m3/min durant une minute puis il diminue selon
le modèle :
dV
1
dt



t

où V est le volume de liquide en mètres cubes (m3) et t est le temps en
minutes (min). La valve d’entrée se ferme automatiquement après
quatre minutes.
L’équation différentielle de cette situation est :

dV
dt



1
t

Exemple 1.3.4
Estimer le volume de liquide lorsque le
système s’arrête et esquisser le graphique
du volume de liquide dans le réservoir.
On doit estimer l’aire sous la courbe du
débit. Considérons que le débit est
constant sur des intervalles de 30 s et
calculons l’aire des rectangles.
V(0) = 1 m3
dV

 dt 
3

1

V(1)
dt 1,5= 2 m 1, 5



2
3

m 3 min  0, 5 min

(4; 3,593)

dV
dV  1  1 m
2 3 min
3
3

dt

m
min

0
,
5
min

0,
33
...
m
dtdt 1 1
3
1,5
dV

1

3 = 2,83... m3
V(2) =dt2,5
 m3 1+ 0,33...
m 3 minm
0, 5 min  0 , 5 m 3

dt

1

1

V(1,5) = 2 m3 + 0,5 m3 = 2,5 m3

S

Conclusion
On peut utiliser la différentielle pour :
• estimer la variation d’une fonction f(x) sur un intervalle
[x; x + ∆x].
• estimer l’aire sous la courbe d’une fonction f '(x) sur un
intervalle [x; x + ∆x].
• résoudre une équation différentielle par une méthode
numérique.