Transcript X20 -Equa diff 1e ordre - Xcas - NPIR

Tp Ma
Math
EQUATIONS DIFFERENTIELLES
1e ordre
Xcas
X20
I – Dérivée n-ième
(n)
Objectif : Déterminer l’expression de f ( x) en fonction de n, où f ( n ) est la dérivée n-ième d’une
fonction f donnée et dérivable à l’infini.
Ouvrir le logiciel Xcas.
Soit f la fonction définie sur IR par : f ( x ) = e
3x
1°) Entrer la fonction ; On écrira dans la ligne de saisie :
f (x) : = exp(3*x)
2°) Entrer et valider une à une les lignes suivantes, puis noter les résultats :
Résultats :
deriver(f(x))
diff(f(x),x)
simplifier(diff (f(x),x))
diff (f(x),x,2)
simplifier(diff (f(x),x,2))
simplifier(diff (f(x),x,3))
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Aide :
• Copier coller : Penser à utiliser les raccourcis du clavier Ctrl C Ctrl V
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II – Equation différentielle 1e ordre
Exemple 1
Enoncé :
1) Résoudre sur R l’équation différentielle : y '− 3 y = 0 .
2) Résoudre sur R l’équation différentielle y '− 3 y = 0 avec y (0) = 1 .
Avec Xcas :
Entrer et valider une à une les lignes suivantes, puis noter les résultats :
Résultats :
desolve(y'-3y=0,y)
desolve([y'-3y=0,y(0)=1],y)
Que représente c_0 ? ……………………………………………………….
Vérifier par le calcul.
Exemple 2
1) Résoudre sur R l’équation différentielle : y '− 3 y = sin x .
Enoncé :
2) Résoudre sur R l’équation différentielle y '− 3 y = sin x avec y (0) = 1 .
Avec Xcas :
Entrer et valider une à une les lignes suivantes, puis noter les résultats :
Résultats :
desolve(y'-3y=sin(x),y)
simplifier(desolve(y'-3y=sin(x),y))
desolve([y'-3y=sin(x),y(0)=1],y)
simplifier(ans())
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Attention : Importance des parenthèses : On note « sin(x) » et non « sinx » !!
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
10
3
10
Vérifier par le calcul. ( On vérifiera que yP = − cos x − sin x
est une solution particulière de l’équation )
Exemple 3
Enoncé type BTS :
1) Déterminer deux réels a et b, tels que, pour tout x de ] 1,+ ∞ [,
2) Résoudre sur ] 1,+ ∞ [ l’équation différentielle :
(x
2
(
)
2
a
b
=
+
x −1 x −1 x + 1
2
− 1 y '+ 2 y = 0 (E0).
)
3) On considère l’équation différentielle sur ] 1,+ ∞ [ : x − 1 y '+ 2 y = 6 (E)
2
a) Trouver une fonction constante solution de l’équation différentielle (E)
b) Résoudre l’équation différentielle (E).
c) Déterminer la solution f de l’équation (E) vérifiant : f (2) = 0
Avec Xcas : Résoudre le problème avec Xcas :
Résultats :
questions
1)
partfrac(2/(x ^2-1))
2)
3)b)
3)c)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Attention : Importance du
du produit *
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Traiter l’exercice.
( Vérifier que la fonction g définie par g ( x) = −
6
est une autre solution de l’équation différentielle (E) )
x −1
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E Q U A T I O N D I F F 1e ordre
Fiche PROF
X40
I – Dérivée n-ième
(n)
Objectif : Déterminer l’expression de f ( x) en fonction de n, où f ( n ) est la dérivée n-ième d’une
fonction f donnée et dérivable à l’infini.
Ouvrir le logiciel Xcas.
Soit f la fonction définie sur IR par :
f ( x ) = e3 x
1°) Entrer la fonction ; On écrira dans la ligne de saisie :
f (x) : = exp(3*x)
2°) Entrer et valider une à une les lignes suivantes, puis noter les résultats :
Résultats :
deriver(f(x))
diff(f(x),x)
simplifier(diff (f(x),x))
diff (f(x),x,2)
simplifier(diff (f(x),x,2))
simplifier(diff (f(x),x,3))
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Aide :
• Copier coller : Penser à utiliser les raccourcis du clavier Ctrl C Ctrl V
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II – Equation différentielle 1e ordre
Exemple 1
Enoncé :
1) Résoudre sur R l’équation différentielle : y '− 3 y = 0 .
2) Résoudre sur R l’équation différentielle y '− 3 y = 0 avec y (0) = 1 .
Avec Xcas :
Entrer et valider une à une les lignes suivantes, puis noter les résultats :
Résultats :
desolve(y'-3y=0,y)
desolve([y'-3y=0,y(0)=1],y)
Vérifier par le calcul.
Exemple 2
Enoncé :
1) Résoudre sur R l’équation différentielle : y '− 3 y = sin x .
2) Résoudre sur R l’équation différentielle y '− 3 y = sin x avec y (0) = 1 .
Avec Xcas :
Entrer et valider une à une les lignes suivantes, puis noter les résultats :
Résultats :
desolve(y'-3y=sin(x),y)
simplifier(desolve(y'-3y=sin(x),y))
desolve([y'-3y=sin(x),y(0)=1],y)
simplifier(ans())
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Attention :
• Importance des parenthèses : On note « sin(x) » et non « sinx » !!
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Vérifier par le calcul. ( On vérifiera que yP = −
1
3
cos x − sin x est une solution particulière de l’équation )
10
10
Exemple 3
Enoncé type BTS :
1) Déterminer deux réels a et b, tels que, pour tout x de ] 1,+ ∞ [,
2) Résoudre sur ] 1,+ ∞ [ l’équation différentielle :
(x
2
(
)
2
a
b
=
+
x −1 x −1 x + 1
2
− 1 y '+ 2 y = 0 (E0).
)
3) On considère l’équation différentielle sur ] 1,+ ∞ [ : x − 1 y '+ 2 y = 6 (E)
2
a) Trouver une fonction constante, solution particulière de l’équation différentielle (E)
b) Résoudre l’équation différentielle (E).
c) Déterminer la solution f de l’équation (E) vérifiant : f (2) = 0
Avec Xcas : Résoudre le problème avec Xcas :
Résultats :
questions
1)
2)
3)b)
3)c)
partfrac(2/(x ^2-1))
desolve((x^2-1)*y'+2y=0,y)
desolve((x ^2-1)*y'+2y=6,y)
desolve([(x ^2-1)*y'+2y=6,y(2)=0],y))
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Attention : Importance du produit *
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Traiter l’exercice.
( Vérifier que la fonction g définie par g ( x) = −
6
est une autre solution de l’équation différentielle (E) )
x −1