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Mathématiques – AN3 – Equations différentielles - DM 6
DM 6 : Système D – corrigé
Conditions initiales : q1(0) = Q (positif) et q2(0) = 0.
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 ′
 q1 + q1 = 16 q2

q′ + 5 q = −q′
1
 2 16 2
(1)
(2 )
1) En dérivant ces deux expressions, puis en effectuant des substitutions adéquates, montrer
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que le système implique q2′′ + q2′ + q2 = 0 .
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Dérivons : q1′′ + q1′ = q2′ ( 1′ ) et q2′′ + q2′ = −q1′′ ( 2′ ) . Dans ( 2′ ) , je remplace q1′′ par
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ce qu’on peut en lire dans (1′ ) : q2′′ + q2′ + q2′ − q1′ = 0 . Enfin, l’équation ( 2 ) du système
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permet de substituer q1′ et on obtient : q2′′ + q2′ + q2′ + q2′ + q2 = 0 , soit :
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q2′′ + q2′ + q2 = 0 .
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2) Résoudre cette équation différentielle (sans oublier la condition initiale sur q2).
Cette équation différentielle est du second ordre à coefficients constants, linéaire et
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homogène. Son équation caractéristique est r 2 + r +
= 0 , de discriminant 1 et de
2
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1
− t
− t
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1
solutions (réelles) − et − . D’où q2 ( t ) = Ae 4 + Be 4 .
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Avec q2(0) = 0, on a A + B = 0, soit B = -A.
 − 5t − 1t 
D’où q2 ( t ) = A  e 4 - e 4 


3) a. Grâce à une combinaison linéaire des deux équations du système, exprimer q1 en fonction
de q’2 et q2 uniquement.
1
La combinaison linéaire ( 2 ) − (1) donne q1 = q2′ + q2
2
b. En déduire une expression de q1 en fonction du temps.
 5 − 45 t 1 − 14 t 1 − 45 t 1 − 14 t 
 3 − 45 t 1 − 14 t 
Donc q1 ( t ) = A  − e + e + e − e  = A  − e − e  .
4
2
2
4
 4

 4

c. Grâce à la condition initiale sur q1, obtenir les expressions définitives des deux fonctions.
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− t 
 3 − 45 t 1 − 14 t 
 − 14 t
4
q1(0) = Q donne -A = Q. Ainsi : q1 ( t ) = Q  e + e  et q2 ( t ) = Q  e − e  .
4
4



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