Transcript CHAPITRE 8 Equations - Inéquations Objectifs: - Résoudre une équation du type A x B = 0 où A et B sont des expressions.

CHAPITRE 8
Equations - Inéquations
Objectifs:
- Résoudre une équation du type A x B = 0 où A et B
sont des expressions du 1er degré de la même variable.
- Résoudre l’équation x² = a, où a est un nombre positif.
- Comparer des nombres en utilisant l’addition et la
multiplication.
- Résoudre une inéquation du 1er degré à une inconnue.
La méthode de résolution des équations (muadala) découverte par le
perse Abu Djafar Muhammad ibn Musa al Khwarizmi (Bagdad, 780-850)
consiste en:
- al jabr (le reboutement, 4x - 3 = 5 devient 4x = 5 + 3),
le mot est devenu "algèbre" aujourd’hui.
Dans l’équation, un terme négatif est accepté mais
al Khwarizmi
s’attache à s’en débarrasser au plus vite.
Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de l’équation.
- al muqabala (la réduction, 4x = 9 + 3x devient x = 9)
Les termes semblables sont réduits.
A cette époque, la « famille des nombres » est appelée dirham
et la « famille des x » est appelée chay (=chose), devenu plus tard
xay en espagnol qui explique l’origine du x dans les équations.
I. Equations du 1er degré à une
inconnue
1) Les deux règles de résolution
Pour résoudre une équation, on peut appliquer les deux règles
suivantes :
Règle n°1 : On ne change pas les solutions d’une équation en
ajoutant ou en retranchant un même nombre aux
deux membres d’une équation.
Règle n°2 : On ne change pas les solutions d’une équation en
multipliant ou en divisant ses deux membres par
un même nombre non nul.
Vocabulaire
Inconnue
Equation
c’est une lettre qui cache un nombre cherché →
x
c’est une opération « à trous » dont « les trous »
sont remplacés par une inconnue →
Résoudre une équation
10 x  2  2 x  3
c’est chercher et trouver le nombre
caché sous l’inconnue.
Solution
c’est le nombre caché sous l’inconnue →
x  0,625
Vérification :
10 x 0,625 - 2 = 2 x 0,625 + 3
donc 0,625 est solution.
2) Quatre exemples
Résoudre les équations suivantes :
12x  4  9
12x  4  4  9  4
Le but est de réunir la « famille des x »
dans le membre de gauche et la « famille
des nombres » dans le membre de droite.
On élimine +4 à gauche en ajoutant
dans chaque membre -4 (Règle n°1 )
12x  13
12x
13

12
12
On élimine 12 (qui est multiplié à x) à
gauche en divisant chaque membre par
12 (Règle n°2 )
13
x
12
La solution de cette équation est x  
13
12
4x 13  5x 1
Le but est de réunir la « famille des x »
dans le membre de gauche et la « famille
des nombres » dans le membre de droite.
4x 1313  5x 113
On élimine -13 à gauche en ajoutant
dans chaque membre +13 (Règle n°1 )
4x  5x 14
4x  5x  5x 14 5x
9x  14
9 x 14

9
9
14
x
9
On élimine -5x à droite en ajoutant
dans chaque membre +5x (Règle n°1 )
On élimine 9 (qui est multiplié à x) à gauche en
divisant chaque membre par 9
(Règle n°2 )
La solution de cette équation est x 
14
9
4  x  2   5  x  6 3  x 
4 x  8  5  x  18  6 x
4 x  13  5 x  18
On va d’abord développer et réduire
chaque membre de l’équation avant de
passer à la résolution.
On peut maintenant passer à la résolution
comme pour l’exemple n°2.
4 x  5 x  18  13
9 x  5
5
x
9
La solution de cette équation est x  
5
9
x 2x 1 1x7
  x7
14 2x 7 2
On va d’abord réduire chaque membre
de l’équation au même dénominateur, ici 14.
x 2
7
 
14 14 14
x2 7

14
14
On peut supprimer maintenant les
dénominateurs qui sont égaux (Règle n°2 )
x 2  7
On peut maintenant passer à la résolution
comme pour l’exemple n°1.
x  7 2
x 9
La solution de cette équation est
x 9
II. Equations du 2nd degré à une
inconnue
1) Equation produit nul
Si un produit de facteurs est nul, alors l’un au moins des facteurs est nul.
Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0
Exemple: Résoudre l’équation (4x + 6)(3 - 7x) = 0
Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0
Soit 4x + 6 = 0
4x = -6
Soit 3 - 7x = 0
- 7x = -3
x = -3/-7
x = 3/7
x = -6/4
x = -3/2
Les deux solutions de l’équation sont : x = -3/2
Remarque : on peut noter aussi
S = {-3/2 ; 3/7}
et x = 3/7
2) Etude d’équations se ramenant
à une équation produit nul
Voici quelques équations du 2nd degré :
(1 - x)² - (1 - x)( 9 + 3x) = 0
4x² + 12x + 9 = 0
25x² = 70x - 49
3x = 5x²
(x + 3)² = 64
Pour toutes ces équations du 2nd degré, on va basculer toutes
les « quantités » dans le membre de gauche afin que le membre
de droite soit égal à 0.
Puis on va factoriser le membre de gauche afin de se ramener
à une équation produit nul.
Puis résoudre.
(1 - x)² - (1 - x)( 9 + 3x) = 0
(1 - x)[ (1 - x) - ( 9 + 3x)] = 0
(1 - x)( -8 - 4x) = 0
Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0
Soit 1 - x = 0
Soit -8 - 4x = 0
-x=-1
-4x= 8
x= 1
x = 8/-4
x= -2
S= {1;-2 }
4x² + 12x + 9 = 0
(2 x + 3)² = 0
(2 x + 3) (2 x + 3) = 0
Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0
Soit 2 x + 3 = 0
Soit 2 x + 3 = 0
2x=-3
x = -3/2
S = { -3/2 }
Solution double
25x² = 70x - 49
25x² - 70x + 49 = 0
(5 x - 7)² = 0
(5 x - 7) (5 x - 7) = 0
Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0
Soit 5 x - 7 = 0
Soit 5 x - 7 = 0
5x=7
x = 7/5
S = { 7/5 }
Solution double
3x = 5x²
- 5x² + 3x = 0
x (-5 x + 3 ) = 0
Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0
Soit x = 0
Soit - 5x +3 = 0
- 5 x = -3
x = -3/-5
x = 3/5
S = { 0 ; 3/5 }
(x + 3)² = 64
(x + 3)² - 64 = 0
(x + 3)² - 8² = 0
[(x + 3)
- 8] [(x + 3) + 8] = 0
( x – 5 )( x + 11) = 0
Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0
Soit
x-5=0
Soit x +11 = 0
x=5
x = - 11
S = { 5 ; - 11 }
III. Inéquations du 1er degré à une
inconnue
1) Ordre et inégalités
Règle n°3 : On ne change pas le sens d’une inégalité si on ajoute ou on
retranche un même nombre (positif ou négatif) aux deux membres
d’une inéquation.
Règle n°4 : On ne change pas le sens d’une inégalité si on multiplie ou on
divise les deux membres d’une inéquation par un même nombre POSITIF.
Règle n°4 bis: On change le sens d’une inégalité si on multiplie ou on
divise les deux membres d’une inéquation par un même nombre NEGATIF.
2) Résolution d’une inéquation
Inéquation inégalité qui contient une inconnue
x.
Résoudre une inéquation c’est trouver toutes les valeurs
de x
qui vérifient cette inégalité.
il s’agit d’un ensemble de valeurs.
Remarque : On résout une inéquation du 1er degré à une
inconnue de la même manière qu’une équation
du 1er degré à une inconnue, en veillant à bien
appliquer les règles 3, 4 et 4bis.
Exemples : Résoudre les inéquations suivantes et représenter
les solutions sur une droite graduée.
2x  3  4  5x
2x  5x  4  3
7x 1
1
x
7
.
solutions
0
1/7
1
Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à
1
.
7
2( x  4)  4 x  5
2x  8  4 x  5
2x  4 x  8  5
2 x  3
On divise par un nombre négatif
donc on change le sens de l’inégalité.
3
x≥
2
solutions
-2
-1
-3/2
0
1
2
3
Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à  .
2