CHAPITRE 9 Equations - Inéquations Objectifs: - Résoudre une équation du type A x B = 0 où A et B sont des.
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CHAPITRE 9
Equations - Inéquations
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Objectifs:
- Résoudre une équation du type A x B = 0 où A et B
sont des expressions du 1er degré de la même variable.
- Résoudre l’équation x² = a, où a est un nombre positif.
- Comparer des nombres en utilisant l’addition et la
multiplication.
- Résoudre une inéquation du 1er degré à une inconnue.
Slide 3
La méthode de résolution des équations (muadala) découverte par le
perse Abu Djafar Muhammad ibn Musa al Khwarizmi (Bagdad, 780-850)
consiste en:
- al jabr (le reboutement, 4x - 3 = 5 devient 4x = 5 + 3),
le mot est devenu "algèbre" aujourd’hui.
Dans l’équation, un terme négatif est accepté mais
al Khwarizmi
s’attache à s’en débarrasser au plus vite.
Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de l’équation.
- al muqabala (la réduction, 4x = 9 + 3x devient x = 9)
Les termes semblables sont réduits.
A cette époque, la « famille des nombres » est appelée dirham
et la « famille des x » est appelée chay (=chose), devenu plus tard
xay en espagnol qui explique l’origine du x dans les équations.
Slide 4
I. Equations du 1er degré à une
inconnue
Résoudre les équations suivantes :
12 x 4 9
12 x 9 4
12 x 13
x
13
12
Le but est de réunir la « famille des x »
dans le membre de gauche et la « famille
des nombres » dans le membre de droite.
On passe +4 de gauche à droite:
Il se transforme en son opposé c-a-d
-4
On divise alors le membre de droite de
l’équation par le facteur de x: ici par 12
La solution de cette équation est x
13
12
Slide 5
4 x 13 5 x 1
4 x 5 x 1 13
9 x 14
x
Le but est de réunir la « famille des x »
dans le membre de gauche et la « famille
des nombres » dans le membre de droite.
On passe -13 de gauche à droite:
il se transforme en son opposé c-a-d +13
… Et on passe le -5x de droite à gauche:
il se transforme en son opposé c-a-d +5x
On divise alors le membre de droite de
l’équation par le facteur de x: ici par 9
14
9
La solution de cette équation est x
14
9
Slide 6
4 x 2 5 x 6 3 x
4 x 8 5 x 18 6 x
4 x 13 5 x 18
On va d’abord développer et réduire
chaque membre de l’équation avant de
passer à la résolution.
On peut maintenant passer à la résolution
comme pour l’exemple n°2.
4 x 5 x 18 13
9 x 5
x
5
9
La solution de cette équation est x
5
9
Slide 7
x
1
2x
7
14
x
2x
14
2
14
2 x7
On va d’abord réduire chaque membre
de l’équation au même dénominateur, ici 14.
7
14
x2
1 x7
14
7
14
x27
On peut supprimer maintenant les
dénominateurs qui sont égaux
On peut maintenant passer à la résolution
comme pour l’exemple n°1.
x 7 2
x9
La solution de cette équation est
x9
Slide 8
II. Equations du 2nd degré à une
inconnue
1) Equation produit nul
Si un produit de facteurs est nul, alors l’un au moins des facteurs est nul.
Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0
Exemple: Résoudre l’équation (4x + 6)(3 - 7x) = 0
Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0
Soit 4x + 6 = 0
4x = -6
Soit 3 - 7x = 0
- 7x = -3
x = -3/-7
x = 3/7
x = -6/4
x = -3/2
Les deux solutions de l’équation sont : x = -3/2
Remarque : on peut noter aussi
S = {-3/2 ; 3/7}
et x = 3/7
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2) Etude d’équations se ramenant
à une équation produit nul
Voici quelques équations du 2nd degré :
(1 - x)² - (1 - x)( 9 + 3x) = 0
4x² + 12x + 9 = 0
25x² = 70x - 49
3x = 5x²
(x + 3)² = 64
Pour toutes ces équations du 2nd degré, on va basculer toutes
les « quantités » dans le membre de gauche afin que le membre
de droite soit égal à 0.
Puis on va factoriser le membre de gauche afin de se ramener
à une équation produit nul.
Puis résoudre.
Slide 10
(1 - x)² - (1 - x)( 9 + 3x) = 0
(1 - x)[ (1 - x) - ( 9 + 3x)] = 0
(1 - x)( -8 - 4x) = 0
Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0
Soit 1 - x = 0
Soit -8 - 4x = 0
-x=-1
-4x= 8
x= 1
x = 8/-4
x= -2
S= {1;-2 }
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4x² + 12x + 9 = 0
(2 x + 3)² = 0
(2 x + 3) (2 x + 3) = 0
Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0
Soit 2 x + 3 = 0
Soit 2 x + 3 = 0
2x=-3
x = -3/2
S = { -3/2 }
Solution double
Slide 12
25x² = 70x - 49
25x² - 70x + 49 = 0
(5 x - 7)² = 0
(5 x - 7) (5 x - 7) = 0
Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0
Soit 5 x - 7 = 0
Soit 5 x - 7 = 0
5x=7
x = 7/5
S = { 7/5 }
Solution double
Slide 13
3x = 5x²
- 5x² + 3x = 0
x (-5 x + 3 ) = 0
Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0
Soit x = 0
Soit - 5x +3 = 0
- 5 x = -3
x = -3/-5
x = 3/5
S = { 0 ; 3/5 }
Slide 14
(x + 3)² = 64
(x + 3)² - 64 = 0
(x + 3)² - 8² = 0
[(x + 3)
- 8] [(x + 3) + 8] = 0
( x – 5 )( x + 11) = 0
Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0
Soit
x-5=0
Soit x +11 = 0
x=5
x = - 11
S = { 5 ; - 11 }
Slide 15
III. Inéquations du 1er degré à une
inconnue
1) Ordre et inégalités
Règle n°1 : On ne change pas le sens d’une inégalité si on ajoute ou on
retranche un même nombre (positif ou négatif) aux deux membres
d’une inéquation.
Règle n°2 : On ne change pas le sens d’une inégalité si on multiplie ou on
divise les deux membres d’une inéquation par un même nombre POSITIF.
Règle n°2 bis: On change le sens d’une inégalité si on multiplie ou on
divise les deux membres d’une inéquation par un même nombre NEGATIF.
Slide 16
2) Résolution d’une inéquation
Inéquation inégalité qui contient une inconnue
x.
Résoudre une inéquation c’est trouver toutes les valeurs
de x
qui vérifient cette inégalité.
il s’agit d’un ensemble de valeurs.
Remarque : On résout une inéquation du 1er degré à une
inconnue de la même manière qu’une équation
du 1er degré à une inconnue, en veillant à bien
appliquer les règles 1, 2 et 2bis.
Slide 17
Exemples : Résoudre les inéquations suivantes et représenter
les solutions sur une droite graduée.
2x 3 4 5x
2x 5x 4 3
7x 1
x
1
.
7
solutions
0
1/7
1
Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à
1
7
.
Slide 18
2( x 4 ) 4 x 5
2x 8 4x 5
2x 4x 8 5
2 x 3
≥
x
On divise par un nombre négatif
donc on change le sens de l’inégalité.
3
2
solutions
-2
-1
-3/2
0
1
2
Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à
3
2
.
CHAPITRE 9
Equations - Inéquations
Slide 2
Objectifs:
- Résoudre une équation du type A x B = 0 où A et B
sont des expressions du 1er degré de la même variable.
- Résoudre l’équation x² = a, où a est un nombre positif.
- Comparer des nombres en utilisant l’addition et la
multiplication.
- Résoudre une inéquation du 1er degré à une inconnue.
Slide 3
La méthode de résolution des équations (muadala) découverte par le
perse Abu Djafar Muhammad ibn Musa al Khwarizmi (Bagdad, 780-850)
consiste en:
- al jabr (le reboutement, 4x - 3 = 5 devient 4x = 5 + 3),
le mot est devenu "algèbre" aujourd’hui.
Dans l’équation, un terme négatif est accepté mais
al Khwarizmi
s’attache à s’en débarrasser au plus vite.
Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de l’équation.
- al muqabala (la réduction, 4x = 9 + 3x devient x = 9)
Les termes semblables sont réduits.
A cette époque, la « famille des nombres » est appelée dirham
et la « famille des x » est appelée chay (=chose), devenu plus tard
xay en espagnol qui explique l’origine du x dans les équations.
Slide 4
I. Equations du 1er degré à une
inconnue
Résoudre les équations suivantes :
12 x 4 9
12 x 9 4
12 x 13
x
13
12
Le but est de réunir la « famille des x »
dans le membre de gauche et la « famille
des nombres » dans le membre de droite.
On passe +4 de gauche à droite:
Il se transforme en son opposé c-a-d
-4
On divise alors le membre de droite de
l’équation par le facteur de x: ici par 12
La solution de cette équation est x
13
12
Slide 5
4 x 13 5 x 1
4 x 5 x 1 13
9 x 14
x
Le but est de réunir la « famille des x »
dans le membre de gauche et la « famille
des nombres » dans le membre de droite.
On passe -13 de gauche à droite:
il se transforme en son opposé c-a-d +13
… Et on passe le -5x de droite à gauche:
il se transforme en son opposé c-a-d +5x
On divise alors le membre de droite de
l’équation par le facteur de x: ici par 9
14
9
La solution de cette équation est x
14
9
Slide 6
4 x 2 5 x 6 3 x
4 x 8 5 x 18 6 x
4 x 13 5 x 18
On va d’abord développer et réduire
chaque membre de l’équation avant de
passer à la résolution.
On peut maintenant passer à la résolution
comme pour l’exemple n°2.
4 x 5 x 18 13
9 x 5
x
5
9
La solution de cette équation est x
5
9
Slide 7
x
1
2x
7
14
x
2x
14
2
14
2 x7
On va d’abord réduire chaque membre
de l’équation au même dénominateur, ici 14.
7
14
x2
1 x7
14
7
14
x27
On peut supprimer maintenant les
dénominateurs qui sont égaux
On peut maintenant passer à la résolution
comme pour l’exemple n°1.
x 7 2
x9
La solution de cette équation est
x9
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II. Equations du 2nd degré à une
inconnue
1) Equation produit nul
Si un produit de facteurs est nul, alors l’un au moins des facteurs est nul.
Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0
Exemple: Résoudre l’équation (4x + 6)(3 - 7x) = 0
Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0
Soit 4x + 6 = 0
4x = -6
Soit 3 - 7x = 0
- 7x = -3
x = -3/-7
x = 3/7
x = -6/4
x = -3/2
Les deux solutions de l’équation sont : x = -3/2
Remarque : on peut noter aussi
S = {-3/2 ; 3/7}
et x = 3/7
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2) Etude d’équations se ramenant
à une équation produit nul
Voici quelques équations du 2nd degré :
(1 - x)² - (1 - x)( 9 + 3x) = 0
4x² + 12x + 9 = 0
25x² = 70x - 49
3x = 5x²
(x + 3)² = 64
Pour toutes ces équations du 2nd degré, on va basculer toutes
les « quantités » dans le membre de gauche afin que le membre
de droite soit égal à 0.
Puis on va factoriser le membre de gauche afin de se ramener
à une équation produit nul.
Puis résoudre.
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(1 - x)² - (1 - x)( 9 + 3x) = 0
(1 - x)[ (1 - x) - ( 9 + 3x)] = 0
(1 - x)( -8 - 4x) = 0
Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0
Soit 1 - x = 0
Soit -8 - 4x = 0
-x=-1
-4x= 8
x= 1
x = 8/-4
x= -2
S= {1;-2 }
Slide 11
4x² + 12x + 9 = 0
(2 x + 3)² = 0
(2 x + 3) (2 x + 3) = 0
Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0
Soit 2 x + 3 = 0
Soit 2 x + 3 = 0
2x=-3
x = -3/2
S = { -3/2 }
Solution double
Slide 12
25x² = 70x - 49
25x² - 70x + 49 = 0
(5 x - 7)² = 0
(5 x - 7) (5 x - 7) = 0
Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0
Soit 5 x - 7 = 0
Soit 5 x - 7 = 0
5x=7
x = 7/5
S = { 7/5 }
Solution double
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3x = 5x²
- 5x² + 3x = 0
x (-5 x + 3 ) = 0
Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0
Soit x = 0
Soit - 5x +3 = 0
- 5 x = -3
x = -3/-5
x = 3/5
S = { 0 ; 3/5 }
Slide 14
(x + 3)² = 64
(x + 3)² - 64 = 0
(x + 3)² - 8² = 0
[(x + 3)
- 8] [(x + 3) + 8] = 0
( x – 5 )( x + 11) = 0
Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0
Soit
x-5=0
Soit x +11 = 0
x=5
x = - 11
S = { 5 ; - 11 }
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III. Inéquations du 1er degré à une
inconnue
1) Ordre et inégalités
Règle n°1 : On ne change pas le sens d’une inégalité si on ajoute ou on
retranche un même nombre (positif ou négatif) aux deux membres
d’une inéquation.
Règle n°2 : On ne change pas le sens d’une inégalité si on multiplie ou on
divise les deux membres d’une inéquation par un même nombre POSITIF.
Règle n°2 bis: On change le sens d’une inégalité si on multiplie ou on
divise les deux membres d’une inéquation par un même nombre NEGATIF.
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2) Résolution d’une inéquation
Inéquation inégalité qui contient une inconnue
x.
Résoudre une inéquation c’est trouver toutes les valeurs
de x
qui vérifient cette inégalité.
il s’agit d’un ensemble de valeurs.
Remarque : On résout une inéquation du 1er degré à une
inconnue de la même manière qu’une équation
du 1er degré à une inconnue, en veillant à bien
appliquer les règles 1, 2 et 2bis.
Slide 17
Exemples : Résoudre les inéquations suivantes et représenter
les solutions sur une droite graduée.
2x 3 4 5x
2x 5x 4 3
7x 1
x
1
.
7
solutions
0
1/7
1
Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à
1
7
.
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2( x 4 ) 4 x 5
2x 8 4x 5
2x 4x 8 5
2 x 3
≥
x
On divise par un nombre négatif
donc on change le sens de l’inégalité.
3
2
solutions
-2
-1
-3/2
0
1
2
Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à
3
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