Transcript Exercice - Alain Camanes

Équations diérentielles
Stanislas
Exercices
MPSI 1
Chapitre IV
2014/2015
I - Équations du premier ordre
Exercice 1. (-) Résoudre les équations diérentielles suivantes.
1. y 0 = y + 1.
7. y 0 − 2y = cos x + 2 sin x.
2. y 0 = 3y + e3x .
8. y 0 =
3. y 0 = 2y + e2x (1 + x).
9. y 0 +
4. 7y 0 + 2y = 2x3 − 5x2 + 4x − 1.
10. y 0 + tan(x)y = sin(2x), x ∈] − π2 , π2 [.
5. y 0 = −y + xex .
y
.
x2
2x
y
1+x2
11. y 0 −
6. y 0 = 2y + 2x2 − 1.
=
2x
y
1+x2
1+3x2
.
1+x2
= (x2 + 1) cos(x).
12. y 0 − (ln x)y = xx .
Exercice 2. (Lemme de Gronwall, ♥) Soient c un réel positif et g : [a, b] → R une fonction
continue positive. Soit u : I → R telle que
Z x
∀ x ∈ [a, b[, |u(x)| 6 c +
|u(t)|g(t) dt.
a
1. On pose v : x 7→ c +
est décroissante.
Z
x
a
Z
|u(t)|g(t) dt et w : x →
7 v(x) exp −
x
a
2. En déduire que : ∀ x ∈ [a, b[, |u(x)| 6 c exp
Z
x
g(t) dt .
a
Exercice 3. Résoudre l'équation diérentielle : (1 − x2 )y 0 + xy =
1. Sur ]0, 1[ et ]1, +∞[.
g(t) dt . Montrer que w
2. Sur
R?+ .
1
x
+ x ln(x) − x.
Exercice 4. (Équation
intégrale) Déterminer l'ensemble des fonctions f ∈ C (R, R) telles
Z x
x2
que : ∀ x ∈ R,
f (t)(2x − 3t) dt =
.
2
0
Exercice 5. (Recollements) Résoudre sur R les équations diérentielles suivantes.
1. (sinh x)y 0 − y cosh x = −1.
2. xy 0 + (x + 1)y = 1.
3. xy 0 + αy = 0, α ∈ R.
II - Équations du second ordre
Exercice 6. (-) Résoudre les équations diérentielles suivantes.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
y 00 − 3y 0 + 2y = 2e3x .
y 00 − 3y 0 + 2y = ex .
y 00 − 3y 0 + 2y = 2e3x + ex .
y 00 + 4y 0 + 4y = 2.
y 00 + 2y 0 + 2y = x2 + 2.
y 00 − 2y 0 + y = xex .
y 00 + 3y 0 + 2y = e−x (x2 + 1).
Stanislas
8. y 00 − 2y 0 + 5y = 2 cos x.
9. y 00 + y = cos2 x.
10. y 00 + y 0 − 2y = cos x + cosh x.
11. y 00 − 2y 0 + 2y = 2ex sin x.
12. y 00 + y 0 + y = xex .
13. y 00 + y = |x| + 1.
A. Camanes
Exercices. Équations diérentielles
MPSI 1
Exercice 7. (Parties paire / impaire)
1. Soient a un nombre réel et b : R → R une fonction continue. Notons c (resp. d) la partie
paire (resp. impaire) de b. Soit f : R → R une fonction deux fois dérivable et ϕ (resp. ψ ) sa
partie paire (resp. impaire). Montrer que f est solution de l'équation diérentielle y 00 + ay = b si
et seulement si ϕ est solution de y 00 + ay = c et ψ est solution de y 00 + ay = d.
2. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation diérentielle y 00 − 4y = cosh x + sin x.
3. Déterminer l'ensemble des fonctions f de classe C 2 (R, R) telles que pour tout x ∈ R, f 00 (x) +
f (−x) = x + cos(x).
Exercice 8. (Équations fonctionnelles)
1. Déterminer l'ensemble des fonctions dénies et dérivables sur R, telles que, pour tout x ∈ R,
la tangente à leur courbe représentative au point d'abscisse x passe par le point ( x2 , 0).
2. Déterminer l'ensemble des fonctions dérivables vériant pour tout x ∈ R, f 0 (x) = f (−x) + ex
3. Déterminer l'ensemble des fonctions deux fois dérivables vériant pour tout x ∈ R, f 00 (x) +
f (−x) = cosh(x).
Exercice 9. (-) Déterminer l'ensemble des fonctions f ∈ C (R, R) telles que
Z x+y
∀ (x, y) ∈ R2 , f (x)f (y) =
f (t) dt.
x−y
Exercice 10. (Changement de variable, -) On cherche à résoudre l'équation diérentielle
(1 + x)y 00 − y 0 − xy = 0.
1. Montrer que x 7→ ex est solution.
2. Soit y une solution de l'équation diérentielle. Déterminer les fonctions z : x 7→ y(x)e−x .
3. Conclure.
Exercice 11. (Changement de variables) On considère l'équation diérentielle,
(1 + x2 )2 y 00 + 2x(1 + x2 )y 0 + y = 0.
1. Déterminer une bijection ϕ de R dans ] − π/2, π/2[ telle que ϕ et ϕ−1 soient de classe C 1 et
telles que le changement de variable déni par t = ϕ(x) transforme l'équation précédente en une
équation à coecients constants.
2. En déduire les solutions de l'équation diérentielle.
Exercice 12. ( !) On considère l'équation diérentielle y 0 = 1 + y 2 .
1. Trouver une solution particulière de cette équation sur l'intervalle ] − π2 , π2 [.
2. Soient a < b deux réels, I =]a, b[ et f : I → R une solution de l'équation. On dénit
g : I →] − π2 , π2 [, x 7→ arctan f (x). Montrer que g est une fonction dérivable et déterminer g 0 .
3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation sur l'intervalle ]a, b[.
4. Montrer que l'équation possède une unique solution sur l'intervalle ] − π2 , π2 [.
Stanislas
A. Camanes