Transcript Chapitre 10 − Équations du 1er degré à une - Podcast

1.2
Que veut dire : « Résoudre une équation » ?
Mathématiques pour la classe de Quatrième
Objectif (La résolution d’une équation).
Chapitre 10
Équations du 1er degré à une inconnue
−
Rémi CHEVAL
-
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−
● Résoudre une équation consiste à trouver toutes les valeurs possibles du nombre
x permettant à l’égalité d’être vérifiée.
26 février 2015
● Ces valeurs sont appelées les solutions de l’équation.
Revoir :
Découvrir :
1) La notion d’égalité
1) La résolution d’une équation du 1er degré
à une inconnue.
Pour terminer cette première partie du chapitre, nous allons faire quelques exercices où il faudra
vérifier si un nombre est solution d’une équation. On remplace les x par notre nombre et
ensuite on fait les calculs : cela doit vous rappeler le chapitre sur le calcul littéral.
2) La mise en équation d’un problème concret.
Table des matières
1 Quelques définitions
1.1 Analyse du titre de ce chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Que veut dire : « Résoudre une équation » ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
1
2 Les
2.1
2.2
2.3
deux propriétés de la balance
L’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2
3 Résoudre un problème concret
3.1 Méthode complète pour résoudre une équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Traduire un problème concret en une équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
4
1
Analyse du titre de ce chapitre
Définition. Revenons quelques instants sur l’expression « Équations du 1er degré à une inconnue »
et pour mieux la comprendre, décortiquons chacun des termes qui la constitue.
● Équation :
égalité entre deux expressions littérales.
Exemple :
7x + 3
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
1er membre de l’équation
Valeur de x
4
−3
5
−4
Valeur de 3x − 5
7
− 14
10
− 17
Valeur de 5x − 15
5
− 30
10
− 35
Solution ?
Non
Non
Oui
Non
Nous venons ainsi de vérifier que 5 est solution de l’équation 3x − 5 = 5x − 15 et que ce n’est
pas le cas pour les nombres 4 ; − 3 et − 4. Par contre, rien nous dit qu’il n’existe pas d’autres
solutions à notre équation.
1.3
Exercices d’application
Exercice (Page 83 n°33). Chacun des nombres suivants est-il solution de l’équation :
2x (x + 1) = 12 ?
a) 2
b) 3
c) − 2
d) − 3
Quelques définitions
1.1
Exemple (Est-ce que 4 ; −3 ; 5 ou −4 sont solutions de l’équation 3x − 5 = 5x − 15 ?).
Pour savoir si 4 est solution de notre équation, il suffit de calculer en remplaçant x par 4, la valeur
des deux expressions littérales 3x − 5 et 5x − 15 . Si on obtient le même valeur, alors on
peut dire que 4 est solution de l’équation 3x − 5 = 5x − 15.
=
Exercice (Page 83 n°34). Pour les équations suivantes, préciser si chacun des nombres
2, −1 ou 3 est solution :
b)
2 (3x − 6) = 5x − 9
a)
3x + 2 = 5x + 4
− 2x + 1
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
c)
2 − 4x = − 3 (x − 1) − 3
d)
1 + 2x = 4x + 3
2e membre de l’équation
● du 1er degré :
● Il n’y a pas de termes en x2 et de termes en x3 .
Exercice (Page 83 n°35). Pour les équations suivantes, préciser si le nombre
● Mais, il y a des termes en x et des termes sans x.
solution :
a)
● à une inconnue :
c)
● x est la seule lettre dont on cherche la valeur.
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Page 1/5
2 (3x − 6) = 12x − 14
2
2 − 5x = 3x −
3
b)
1
est une
3
1 − 5x = 2x − 4
Quatrième - Chapitre 10 - Équations du 1er degré à une inconnue
2
Les deux propriétés de la balance
Exemple. Résoudre les deux équations suivantes.
Avant de commencer mon explication, je vais m’attarder deux secondes sur le mot « balance ».
En effet, même si l’électricité est très présente dans nos vies, je parle ici de la balance à deux
plateaux dans laquelle l’équilibre signifie qu’il y a autant à gauche qu’à droite.
Balance électrique
2.1
x
9
x
9×
9
Balance à deux plateaux
2.3
L’addition
a = b
alors
42
3
=
3x
3
x = − 12
14 = x
Le ÷ 9 est passé du côté droit de
l’égalité, et s’est transformé en × 9
Le × 3 est passé du côté gauche de
l’égalité, et s’est transformé en ÷ 3
Exercices d’application
a + c = b + c
⎧
Il faut évacuer tous les nombres qui sont autour de l’in⎪
⎪
⎪
⎨ connu, pour faire en sorte qu’elle soit seule dans l’un
⎪
⎪
⎪
⎩ de deux membres de l’égalité (à gauche ou à droite).
Explication de la propriété :
−
Si une balance est à l’équilibre avec a à gauche et b à droite.
−
Alors l’équilibre est conservé si on ajoute c des deux côtés.
2.3.1
Exemple. Résoudre les deux équations suivantes.
2.2
42 = 3x
Nous verrons en détails la méthode pour résoudre une équation dans la partie suivante. Mais, pour
l’instant, retenez une seule chose :
Propriété. Soient a, b, c trois nombres relatifs.
Si
4
3
4
= − ×9
3
= −
3 = x − 2
6 + x = −2
2 + 3 = x − 2 + 2
(− 6) + 6 + x = − 2 + (− 6)
5 = x
x = −8
Le − 2 est passé du côté gauche de
l’égalité, et s’est transformé en + 2
Le 6 est passé du côté droit de
l’égalité, et s’est transformé en − 6
Utilisation de l’addition :
Si a = b,
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
alors a + c = b + c
Exercice (Page 81 n°15). Résoudre chaque équation.
a)
x + 5 = 25
b)
6 + y = −5
c)
−6 + a = 7
d)
t − 12 = − 7
Indications. a) Il faut évacuer le 5 vers le membre de droite. b) Il faut évacuer le 6 vers le
membre de droite. c) Il faut évacuer le − 6 vers le membre de droite. d) Il faut évacuer le − 12
vers le membre de droite.
Exercice (Page 81 n°16). Résoudre chaque équation.
a)
− 5 = x + 15
b)
6, 2 = y − 5, 1
La multiplication
c)
−5 + a = 7
d)
−3 = t − 6
Propriété. Soient a, b, c trois nombres relatifs avec c non nul.
Si
a = b,
alors,
a × c = b × c
a
c
=
b
c
Explication de la propriété :
−
Si une balance est à l’équilibre avec a à gauche et b à droite.
−
Alors l’équilibre est conservé s’il y en a c fois plus ou c fois moins des deux côtés.
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2.3.2
Utilisation de la division :
Si a = b,
alors
a
b
=
c
c
Exercice (Page 81 n°17). Résoudre chaque équation. Simplifier les fractions obtenues.
a)
3x = 27
b)
6y = − 54
c)
Page 2/5
− 7 = 14a
d)
− 3t = − 12
Quatrième - Chapitre 10 - Équations du 1er degré à une inconnue
Indications. a) Il faut évacuer le × 3 vers le membre de droite. b) Il faut évacuer le × 6 vers le
membre de droite. c) Il faut évacuer le × 14 vers le membre de gauche. d) Il faut évacuer le
× (− 3) vers le membre de droite.
2.3.3
Utilisation de la multiplication :
Si a = b,
alors
Méthode. Prenons un exemple et détaillons la méthode sur celui-ci.
5 (3 − 2x) = − (4x + 1)
Étape 1 : Développer les membres
de gauche et de droite de l’équation.
15 − 10x = − 4x − 1
a×c = b×c
− 1 +
4x + 15 − 10x = − 4x
4
x
Étape 2 : Évacuer tous les termes
en x du côté gauche de l’équation.
Exercice (Page 81 n°18). Résoudre chaque équation. Simplifier les fractions obtenues.
x
y
3
a
t
1
a)
= 25
b)
= −4
c)
=
d)
= −
2
3
5
5
15
6
Étape 3 : Évacuer tous les termes
sans x du côté droit de l’équation.
Multiplication, division & fraction : un cocktail explosif.
6x = − 16
6x = − 8 × 2
3×
2
6
Étape 4 : Évacuer le coefficient devant x vers le côté droit de l’équation.
Indications. a) Il faut évacuer le ÷ 2 vers le membre de droite. b) Il faut évacuer le ÷ 3 vers le
membre de droite. c) Il faut évacuer le ÷ 5 vers le membre de gauche. d) Il faut évacuer le ÷ 15
vers la droite.
2.3.4
− 6x + 15 = − 1
+ 6x + − 15
1
5 = − 1 − 15
3.1.1
x = −
8
3
Trois exercices d’application directe
Avant de passer à la suite du chapitre, je voudrais prendre un peu de temps pour revenir sur l’idée :
Exercice (Page 83 n°40). Résoudre chaque équation. Les expressions sont déjà développées.
« Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse ».
a)
1) Avec la propriété sur la multiplication, on peut retrouver celle sur la division.
1
1
a
b
= b×
et donc
=
c
c
c
c
b
a
a
(l’inverse de )
2) Pour évacuer une multiplication par , on multiplie par
b
a
b
Si a = b,
5
3
x =
2
2
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
Je veux
5
évacuer le ×
2
alors
⇒
a×
2 × 5 x = 3 × 2
5 2
2 5
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
Je multiplie
2
alors par
5
⇒
a)
3
x =
5
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
J’ai simplifié
l’équation obtenue
a)
2 (x − 5) = 3x + 5
b)
− 4 (3 + x) = 2x − 6
− 3 (2 + x) = 1 − 5x
b)
4 − 7 (2 − x) = 5 − 4x
Les fractions, on fait en sorte de les éviter
Exemple (Page 83 n°48). Pour résoudre l’équation suivante, nous allons multiplier à
gauche et à droite par 3 et par 7 pour supprimer les dénominateurs.
Résoudre un problème concret
Méthode complète pour résoudre une équation
Nous arrivons au moment le plus important du chapitre : Savoir application la méthode complète pour résoudre une équation. Pas de panique, il y aura beaucoup
d’exercices d’application pour s’entraîner. Avant de commencer, je vous conseille de
relire le chapitre sur le calcul littéral.
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− 3x + 7 = 3x − 11
Exercice (Page 83 n°43). Résoudre chaque équation.
3.1.2
3.1
b)
Exercice (Page 83 n°42). Résoudre chaque équation.
Exercice (Page 81 n°19). Résoudre chaque équation. Simplifier les fractions obtenues.
5
4
a)
t = −8
b)
x = 2
3
4
3
1
2
3
c)
−
y =
d)
=
a
2
2
3
2
3
3x + 2 = 2x − 5
Page 3/5
2x − 5
3
7 × (2x − 5)
=
2 − 5x
×3 × 7
7
3 × (2 − 5x)
14x − 35
=
6 − 15x
14x + 15x
=
6 + 35
29x
=
41
x
=
41
29
3 × 7 ×
=
Quatrième - Chapitre 10 - Équations du 1er degré à une inconnue
Méthode. Dernière difficulté du chapitre : Savoir traduire un énoncé en une équation
Exercice (Page 83 n°49). Résoudre chaque équation.
a)
x
7
=
5
2
b)
3 − x
x + 1
=
2
3
Étape 1 : Que va représenter notre
inconnu x ? Regardez la question.
3.1.3
3 + x
6
=
−5
7
b)
26 =
¯
Étape 2 : Mise en équation du problème. Il suffit de relire l’énoncé.
Exercice (Page 83 n°50). Résoudre chaque équation.
a)
On désigne par x le nombre de chansons
rock téléchargées.
3x − 1
−x + 2
=
4
−3
total
(− 1) + 26
25
5
5
Étape 3 : Résolution de l’équation
Les équations du second degré
Dans l’exemple suivant, vous allez vous rendre compte assez facilement que des équations du second degré se transforment en équation du premier degré quand les termes
en x2 se simplifient.
1
®
variétés
+ 4x +
¯
rap
x
®
rock
=
−
1)
1 + 5x + (
5x
= 5
=
x
Étape 4 : Vérification. Ça doit vous
prendre au maximum 5 secondes.
1 + 4 × 5 + 5 = 1 + 20 + 5 = 26
5 est bien solution de l’équation initiale.
Étape 5 : Interprétation et conclusion. Soyons un peu logique.
5 est un nombre entier positif, cette
solution est cohérente. Axel a donc
téléchargé 5 chansons rock.
Exemple (Page 85 n°62). On considère l’équation :
3x (2x − 6) + 3
=
6x (x − 2)
3.3
3x × 2x − 3x × 6 + 3
=
6x × x − 6x × 2
3.3.1
6x2 − 18x + 3
=
6x2 − 12x
On peut maintenant supprimer les termes en x2
2
2
(
− 6x
) + 6x
− 18x + 3
=
−
+ 3
18x
18x
=
3
=
6x
3
6
1
2
=
6x
6
=
x
Exercices d’application
Il faut manger 5 fruits et légumes par jour
Exercice (Page 82 n°26). Sur un étalage, il y a cinq fois plus de bananes que de mangues. On
compte en tout 54 de ces fruits. Combien y a-t-il de mangues ?
2
2
6x
− 12x + (
− 6x
)
− 12x + 18x
Indications. On désigne par x le nombre de mangues.
54 =
¯
total
5x
¯
bananes
+
x
®
mangues
Exercice (Page 82 n°27). Un panier contient 29 fruits : des pommes, des poires et une pêche.
Il y a trois plus de pointes que de pommes. Combien y a-t-il de pommes ?
Exercice (Page 85 n°63). Résoudre les équations suivantes :
a)
3.2
(2x − 4) (3 + x) − 2x2 = 5x − 6
b)
3.3.2
(4x + 2) (2x − 4) = 8x2
Deux énigmes avec les âges des parents et des enfants
Exercice (Page 84 n°59). Éric a 43 ans aujourd’hui. Il dit à son fils Joshua : « Dans 27 ans,
j’aurai le double de ton âge. » On désigne par x l’âge actuel de Joshua.
Traduire un problème concret en une équation
1) a) Quel sera l’âge du père dans 27 ans ?
b) Exprimer en fonction de x l’âge du fils dans 27 ans.
Exemple. Son son MP3, Axel a téléchargé 26 chansons : de rap, de variétés et de rock. Elle a
téléchargé une seule chanson de variétés et quatre fois plus de chansons rap que de chansons rock.
Combien Axel a-t-elle téléchargé de chansons rock ?
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c) En déduire une équation vérifiée par le nombre x.
2) Résoudre cette équation pour déterminer l’âge actuel de Joshua.
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Quatrième - Chapitre 10 - Équations du 1er degré à une inconnue
Exercice (Page 86 n°71). « Aujourd’hui, ma mère a trois fois mon âge. Dans 12 ans, elle aura
deux fois l’âge que j’aurai. » dit Camille. Quel est l’âge actuel de Camille et celui de sa
mère ?
Exercice (Page 84 n°51). Déterminer la valeur du nombre x pour que le périmètre de
la figure bleue soit égale à 28 cm.
o
m
5c ∣
∣
∣∣
3.3.3
o
o
o
Des histoires de bonbons et de chocolats
x
Exercice (Page 84 n°56). Au supermarché, Mercedes a acheté 3 lots contenant chacun 4 tablettes
de chocolat et un paquet de bonbons. Chaque paquet de bonbons coûte 1, 70 e. Mercedes paye en
tout 35, 10 e. On désigne par x le prix d’une tablette de chocolat.
Exercice (Page 85 n°67). EF G est un triangle et le point M appartient à [EF ].
G
2 cm
1) Exprimer en fonction de x le prix d’un lot.
2) Mettre en équation le problème.
3) Déterminer le prix d’une tablette de chocolat.
E
F
M
x
6 cm
Exercice (Page 86 n°70). Maéva va faire ses courses de Noël. Elle achète une boîte de chocolats,
du foie gras, une glace à la pistache et un pain au sésame.
● L’aire du triangle EM G est égale au double de l’aire du triangle M F G.
● La boîte de chocolats coûte 5 e de plus que la glace.
1) Écrire une équation vérifiée par le nombre x.
● Le fois gras coûte 4 fois plus cher que la boîte de chocolats et le pain coûte 2, 40 e.
2) Résoudre cette équation.
● Maéva donne un billet de 100 e et on lui rend 21, 60 e.
Quels sont les prix de la boîte de chocolats, de la glace et du foie gras ?
Indications (Rappel sur l’aire d’un triangle).
Atriangle
3.3.4
=
base × hauteur
2
;
AEM G
=
EM × 2
2
;
AM F G
=
MF × 2
2
Aires et périmètres
Extrait du programme officiel
Exercice (Page 82 n°31). Déterminer le nombre x pour que l’aire du rectangle bleu
soit égale à celle du triangle jaune. Toutes les longueurs sont exprimées en centimètres.
4
2x
3x − 2
2
Indications. Nous allons tout simplement écrire sous la forme d’une équation l’égalité
entre les deux aires.
2 × 2x
4 × (3x − 2)
=
2
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
L’aire du rectangle bleu
L’aire du triangle jaune
On pense à simplifier la fraction pour se simplifier la vie.
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Page 5/5
Connaissances
Capacités
Résolution de problèmes conduisant à
une équation du premier degré à une inconnue.
– Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation du premier degré à une inconnue.
Commentaires
Les problèmes issus d’autres parties du programme et d’autres disciplines conduisent à l’introduction
d’équations et à leur résolution. À
chaque fois sont dégagées les différences étapes du travail : mise en
équation, résolution de l’équation
et interprétation du résultat.
Les élèves, dans le cadre du socle
commun, peuvent être amenés à résoudre des problèmes se ramenant
à une équation du premier degré
sans que la méthode experte soit
exigible.
Quatrième - Chapitre 10 - Équations du 1er degré à une inconnue