Vendredi 28 mars 2014 1°S

DEVOIR de Mathématiques (3h)

(Calculatrice autorisée)

Exercice 1 (3,5 points) Deux tireurs à l’arc A et B ont chacun réalisé 25 tirs sur cette cible. Un tir rapporte le nombre de points indiqué sur la zone et zéro point lorsque la cible est manquée. Ils ont obtenu les résultats suivants : 0 10 30 50 100 10 30 50 A B 1 2 6 8 2 3 11 4 5 8 100 1°) a) Calculer pour chaque concurrent, l’étendue des scores et la moyenne par tir. Ces indicateurs permettent-ils de départager les tireurs A et B ? b) Quel tireur vous semble – à priori, sans aucun calcul – le plus régulier ? Pourquoi ? 2°) a) Déterminer la médiane et l’écart interquartile des points marqués par chaque concurrent. Cela confirme-t-il votre impression ? b) Calculer l’écart-type de la série des points marqués par chaque tireur. Le nouvel indicateur vient-il renforcer votre conviction ou installer le doute ? Exercice 2 (5 points) Soit f la fonction définie sur R\{0} par : f(x) = ( 1 −

x

) 3

x

2 . On note (C) sa courbe représentative. 1°) Déterminer les réels a, b, c et d tels que pour tout réel x non nul : f(x) = ax + b +

cx x

+ 2

d

. − + 2°) Montrer que l’on peut écrire :

f’

(x) = ( 1 −

x

) 2 (

x

2 ) .

x

3 3°) Etudier les variations de f. 4°) Peut-on trouver un point de la courbe (C) où la tangente à (C) est parallèle à la droite (D) d’équation y = –x + 3 ? Si oui, préciser une équation de cette tangente (T). 5°) Etudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (D) d’équation y = –x + 3.

…/…

Exercice 3 (2,5 points) Pour mesurer la hauteur d’une falaise, un géomètre part avec son théodolite sur une barque. Une fois installé, le théodolite est à 1 m au-dessus du niveau de la mer. Attention : Le dessin n’est pas à l’échelle… C H A B Il place son instrument en un point A puis mesure l’angle H ˆ C entre le point H situé à l’horizontal de son instrument et le point C situé au sommet de la falaise : H ˆ C = 80°. 1°) Il s’éloigne alors de 50 m pour atteindre un point B il mesure alors : H ˆ C = 70°. Déterminer la longueur AC 2°) En déduire une valeur approchée de CH puis de la hauteur de la falaise à 10 cm près. Exercice 4 (4 points) On donne cos x = 2 − 2 et x ∈ [– π / 2 ; 0]. 2 1°) Calculer cos 2x. 2°) Calculer sin x puis sin 2x. 3°) En déduire la valeur exacte de 2x puis celle de x. Exercice 5 (5 points) Dans un repère orthonormé (O ;

i

r

j

r D(0 ;-5). 1°) a) Déterminer la nature du triangle ABC. En déduire le centre et le rayon de son cercle circonscrit (C). b) Déterminer une équation du cercle (C). c) Le point D appartient-il au cercle (C) ? 2°) a) Déterminer une équation de la tangente (T) au cercle (C) au point C. b) Le point D appartient-il à la droite (T) ? 3°) Déterminer une valeur approchée de la mesure de l’angle A ˆ C à 0,1° près. 4°) a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble (E) des points M tels que MA 2 + MB 2 = 102. b) Le point D appartient-il à l’ensemble (E) ?