Transcript Mathématiques ECE 1 - exercices

MATHEMATIQUES ECE 1
NOTIONS DE COURS A CONNAITRE PAR COEUR
CALCULS NUMERIQUES
Fractions, puissances, racines carrées, résolution d’équations et inéquations
GENERALITES SUR LES FONCTIONS
1°) Nombre dérivé d’une fonction en un point
2°) Tangente à la courbe représentative d’une fonction en un point
3°) Dérivées d’une somme, d’un produit et d’un quotient
4°) Etude des variations – Recherche d’extremum
5°) Notion de continuité – Propriétés des valeurs intermédiaires
6°) Convexité et point d’inflexion
FONCTIONS USUELLES
1°) Fonction trinôme du second degré : f (x) = ax2 + bx + c
- Equation du second degré
- Signe du trinôme, inéquations du second degré
1
; x → x3
x
Etude des variations
Représentation graphique
2°) Fonctions x → x ; x →
-
3°) Fonctions exponentielles
Sens de variations et représentation graphique
Propriétés fondamentales
Fonctions x → eu(x)
4°) Fonction logarithme népérien
Sens de variations et représentation graphique
Propriétés fondamentales
SUITES
1°) Etude du sens de variation d’une suite
2°) Suites arithmétiques
3°) Suites géométriques
4°) Suites arithmético-géométrique
5°) Limite de la suite (qn) avec q > 0
MATHEMATIQUES ECE 1
EXERCICES (sans calculatrice !!)
EXERCICES DE CALCULS NUMERIQUES
Exercice 1 : Simplifier les fractions suivantes
7 2
x =
8 3
1
=
1
4
2+3
=
3
4
7
=
8
3
=
3+5
4
3
=
5
3
4x3+3x3
=
3x6
4
=
7
8
Exercice 2 : Réduire au même dénominateur en choisissant le plus petit dénominateur commun.
2 3
2
a)
- +
=
5 10 15
1 6 5
b)
- + =
6 8 9
2 1 5
c)
- + =
9 15 6
1 3
d) 2 –
=
n 2n
2
3
e)
- =
x+1 x
1
1
2
f)
- +
=
n+1 n n+2
1
3
g)
=
x – 2 x2 – 4
Exercice 3
1°) Ecrire à l’aide des puissances de 2 et 3 les quantités 43 et 65
2°) Transformer les expressions ln24 et ln 2 en faisant apparaitre ln2
3°) Simplifier les expressions A =
exp(x2)
exp(2x)
Exercice 4 : Résoudre les inéquations suivantes
I1 : (4x – 5) (5x – 4) < 0
I2 :
5x + 2
≥0
1–x
I3 : 5x2 – 10x + 4 ≤ 0
I4 : ln (3x) ≤ ln (2x)
I5 : x3 + 5x ≤ 6x
I6 :
x
1
+
≤1
x + 1 x (x + 1)
I 7 : x + 5 ≥ x2 – 4
B=
ln(2x)
lnx
C = exp(- ln5)
EXERCICES SUR LES FONCTIONS
Exercice 1 : Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la dérivée puis étudier le sens de variations sur Df
a) f (x) = e-x – ex
b) f (x) = x2 – 8x + 8 + 6 lnx
c) f (x) = (x – 1) ex
x2 – 3x
d) f (x) =
ex
3
e) f (x) = + 2 lnx
x
ln x
f) f (x) = 1 +
x
1–x
e
g) f (x) = 2
x +1
h) f (x) = (x + 2) ex + 1
Exercice 2 :
1°) Soit g la fonction définie sur IR par g (x) = x ex + 1
a) Calculer g’(x) et dresser le tableau de variations de g
b) Calculer g(-1) et en déduire le signe de g(x)
2°) Soit f la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par f (x) = ex + lnx
a) Démontrer que pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[ f ’(x) =
g(x)
x
b) En déduire le tableau de variations de f
Exercice 3 :
b
lnx
Déterminer les réels a et b pour que la représentation (Γ) de g coupe l’axe des abscisses au point E d’abscisse e
et que la tangente à (Γ) en E soit parallèle à la droite (D) d’équation y = 2x + 3
1°) On considère la fonction g définie sur ]1 ; + ∞[ par g(x) = ax +
e
lnx
a) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations
b) Donner une équation de la tangente (T) à la courbe représentative (C) de f au point d’abscisse e
2°) On considère la fonction f définie sur ]1 ; + ∞[ par f (x) = x –
Exercice 4 : Soit f la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par f (x) = x lnx – x + 1
1°) Etudier les variations de f
2°) Calculer f (1) et en déduire le signe de f (x)
1
3°) Montrer que l’équation f (x) = admet une solution unique sur [1 ; e]
2
Exercice 5 : Soit f la fonction définie sur IR par f (x) = (2x – 4) e-x
1°) Etudier les variations de f
2°) Calculer f ’’(x) et étudier la convexité de f. Déterminer les points d’inflexion éventuels.
Exercice 6
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, une seule des trois réponses
proposées est exacte.
Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; + ∞ [ par f ( x) = 2 x − x ln x .
1°) f (3e) est égal à:
a.
6e − 3e ln 3 ;
b. 3e(1 − ln 3) ;
c.
3e 2 ln(3e) .
2°) L'ensemble des solutions de l'équation f ( x ) = 0 est :
2
a. S = {0 ; e } ;
2
b. S = { e } ;
3°) Sur [0 ; + ∞ [ la fonction f est :
a. convexe.
c. S = {ln2}.
b. concave
c. ni convexe, ni concave.
Exercice 7 : Soient f et g deux fonctions dérivables et convexes sur un intervalle I.
1°)
a) Quel est le sens de variation de chacune des fonctions dérivées f ’ et g’ sur I.
b) Quel est le sens de variation de la fonction f ’ + g’ sur I ?
c) En déduire que la fonction f + g est convexe sur I.
2°)
a) Quel est le sens de variation de la fonction (- f ’) sur I ?
b) En déduire la concavité de la fonction (- f) sur I
3°) λ est un réel strictement positif
a) Quel est le sens de variation de la fonction λ f ’ sur I ?
b) En déduire que la fonction λ f est convexe sur I.
(
Exercice 8 : On considère la fonction f définie sur [0 ; + ∞ [ par : f ( x ) = − 4 x
On note (Cf) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.
On note f ' la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle [0 ; + ∞ [.
1°)
2
)
+ 5 e−x + 3 .
(
)
f ' ( x) = 4 x 2 − 8 x − 5 e − x
b) Etudier le signe de la fonction f ' sur l'intervalle [0 ; + ∞ [.
a) Démontrer que pour tout réel x de [0 ; + ∞ [ on a :
c) À l'aide des questions a. et b., dresser le tableau de variation de la fonction f.
2°) Justifier que l'équation f(x) = 3 admet une unique solution
x 0 dans l'intervalle [0 ; 2].
3°) Déterminer les intervalles contenus dans [0 ; + ∞ [ dans lesquels Cf est située au-dessous de ses tangentes.
EXERCICES SUR LES SUITES
Exercice 1 : Etudier le sens de variation de la suite (un) dans chacun des cas suivants :
a) un = 5n2 + 3n
n
b) un =
n+1
 u0 = 2
c)  ∀ n ∈ IN u

n + 1 = un – 15
 u0 = 3
(un)2 + 1
d)  ∀ n ∈ IN u
n+1 =
2

Exercice 2 : On pose u0 = 2 et pour tout n ≥ 1, un + 1 = a un + b où a et b sont deux nombres strictement positifs.
Pour chacune des propriétés suivantes, dire si elle vraie ou fausse en justifiant votre réponse.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
(un) est une suite arithmético-géométrique
Si a = 2 et b = -1 alors u2 = 5
Si a = 1 alors (un) est une suite arithmétique
Si a = 1 alors (un) est une suite géométrique
Si b = 0 alors (un) est une suite géométrique
Si b = 0 alors pour tout n de IN un = 2 an + 1
Si a = 1 alors pour tout n de IN un = 2 + nb
Si a = 1 et b = 1 alors la suite (un) est strictement croissante
Exercice 3 : Soit la suite (un) définie par la donnée de son premier terme u0 = 14 000 et par la relation : pour tout
entier naturel n, un + 1 = 1,04 un + 200
1°) Calculer u1 et u2
2°) Pour tout entier naturel n, on pose vn = un + 5 000
a) Calculer v0
b) Montrer que (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
c) Exprimer vn en fonction de n
d) En déduire que un = 19 000 (1,04)n – 5 000
e) Déterminer la limite de la suite (un)