Transcript BAC BLANC TES/L

NOM :
CLASSE :
PRENOM :
BAC BLANC
TES/L
Avril 2014
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EPREUVE DE MATHEMATIQUES
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DUREE DE L’EPREUVE : 3 HEURES
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Ce sujet comporte 3 pages
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les 4 exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans
l’appréciation des copies.
Exercice 1 Métropole Réunion 13 septembre 2013
On considère une fonction f définie sur l’intervalle [−1; 3],
deux fois dérivable sur cet intervalle et dont la représentation Cf
dans un repère orthonormé est proposée ci-contre.
On désigne par f ’(x) la fonction dérivée de f , par f ’’(x) la
fonction dérivée seconde de f , par F une primitive de f (On admet
l’existence de F ). La droite D est tangente à Cf au point A
d’abscisse 1, seul point en lequel la courbe traverse la tangente.
L’axe des abscisses est tangent à Cf au point d’abscisse 2.
La tangente à Cf au point d’abscisse 0 est la droite
d’équation y = 4.
Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des quatre propositions est exacte.
Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la proposition choisie.
Une réponse juste apporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne
rapportent ni n’enlèvent aucun point.
1. (a) f est convexe sur l’intervalle [−1; 0].
(b) f est concave sur l’intervalle ]1; 2[.
(c) f est convexe sur l’intervalle ]1; 3[.
(d) Cf est au-dessus de sa tangente au point d’abscisse −1.
2. (a) f (1) = 5
(b) f ’ (1) = 2
(c) f ’’ (1) = - 3
(d) La tangente à Cf au point d’abscisse 1 a pour équation y = −3x + 5.
3. (a) f ’(x) > 0 pour tout x de l’intervalle ] − 1; 2[.
(b) f ’ est croissante sur l’intervalle ]1; 2[.
(c) f (x) = 0 si et seulement si x = 0 ou x = 2.
(d) f ’(x) ≤ 0 pour tout x de l’intervalle ] − 2; −1[.
0
4. (a) ⌠
⌡−1 f (x) dx < 0
2
(b) 3 < ⌠
⌡ f (x) dx < 6
0
0
(c) ⌡
⌠−1
f (x) dx = ⌡
⌠ 2 f (x) dx
0
(d) La valeur moyenne de f sur l’intervalle [0; 2] est égale à 1.
5. (a) f ’ est croissante sur l’intervalle ] − 1; 2[.
(b) F est croissante sur l’intervalle ] − 1; 2[.
(c) f est croissante sur l’intervalle ] − 1; 2[.
(d) F (1) > F (2).
REPONSES
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Question 5
a
b
c
d
Exercice 2 Métropole Réunion 13 septembre 2013
Partie A
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [−10; 30] par :
f (x) = 5 + x e 0,2x − 1
On admet que f est dérivable sur cet intervalle et admet des primitives sur cet intervalle.
1. Soit f ’(x)la fonction dérivée de la fonction f .
Montrer que, pour tout réel x de l’intervalle [−10; 30], f ’(x) = (0,2x + 1) e 0,2x − 1
2. En déduire le sens de variation de f sur l’intervalle [−10; 30].
3. Justifier que l’équation f (x) = 80 admet une solution unique α dans l’intervalle [0; 20] et donner un
encadrement de α à 0,1 près.
4. Soit F la fonction définie sur [−10; 30] par : F (x) = 5(x − 5) e 0,2x − 1 + 5x
On admet que F est une primitive de f dans l’intervalle [−10; 30].
10
(a) Calculer la valeur exacte de I = ⌠
⌡ f (x) dx
5
(b) En déduire la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [5; 10]. (On donnera une valeur
arrondie au centième.)
Partie B
En 2010, un styliste a décidé d’ouvrir des boutiques de vêtements à prix modérés, tout d’abord dans son
pays d’origine, puis dans la communauté européenne et au niveau mondial.
Il a utilisé la fonction f définie dans la partie A mais seulement sur l’intervalle [0; 20] pour modéliser son
développement et a désigné par f (x) le nombre de magasins de son enseigne existant en 2010 + x.
1. Calculer f (0) et interpréter le résultat.
2. En utilisant la partie A, indiquer à partir de quelle année la chaîne possédera 80 boutiques.
3. Chaque magasin a un chiffre d’affaires journalier moyen de 2 500 euros.
Si on considère qu’un magasin est ouvert 300 jours par an, calculer à la centaine d’euros près, le
chiffre d’affaires annuel moyen que le styliste peut espérer pour l’ensemble de ses boutiques entre
2015 et 2020.
Exercice 3 Nouvelle-Calédonie 18 novembre 2013 (5 points)
Le premier janvier 2014, Monica ouvre un livret d’épargne sur lequel elle dépose 6 000 euros.
Elle décide de verser 900 euros sur ce livret chaque premier janvier à partir de 2015 jusqu’à atteindre le
plafond autorisé de 19 125 euros.
On suppose dans tout cet exercice que le taux de rémunération du livret reste fixé à 2,25 % par an et que
les intérêts sont versés sur le livret le premier janvier de chaque année.
Première partie
1. Calculer le montant des intérêts pour l’année 2014 et montrer que Monica disposera d’un montant
de 7 035 euros sur son livret le premier janvier 2015.
2. On note Mn le montant en euros disponible sur le livret le premier janvier de l’année 2014 + n.
On a donc M0 = 6000 et M1 = 7035.
Montrer que pour tout entier naturel n : M n +1 = 1,0225 Mn + 900.
Deuxième partie
Monica souhaite savoir en quelle année le montant de son livret atteindra le plafond de 19 125 euros.
1. Première méthode :
On considère la suite (Gn) définie, pour tout entier naturel n, par Gn = Mn + 40 000.
(a) Montrer que la suite (Gn) est une suite géométrique de raison 1,0225. On précisera le premier
terme.
(b) Donner l’expression de Gn en fonction de n.
En déduire que, pour tout entier naturel n, Mn = 46 000 × 1,0225 n − 40 000.
(c) Déduire de l’expression de Mn obtenue en b) l’année à partir de laquelle le plafond de 19 125
euros sera atteint.
2. Deuxième méthode :
L’algorithme ci-dessous permet de déterminer l’année à partir de laquelle le plafond sera atteint.
LIGNE
1 Variables :
MONTANT est un réel
2
ANNÉE est un entier
3
4 Initialisation : Affecter à MONTANT la valeur 6 000
5
Affecter à ANNÉE la valeur 2014
6
7 Traitement :
Tant que MONTANT < 19 125
8
Affecter à MONTANT la valeur 1,022 5 × MONTANT + 900
9
Affecter à ANNÉE la valeur ANNÉE + 1
10
11 Sortie :
Afficher « le plafond du livret sera atteint en . . . »
12
Afficher ANNÉE
(a) Il suffit de modifier deux lignes de cet algorithme pour qu’il détermine l’année à partir de laquelle
le plafond est atteint pour un montant versé initialement de 5 000 euros et des versements annuels
de 1 000 euros.
Indiquez sur votre copie les numéros des lignes et les modifications proposées.
(b) Proposez une modification de la boucle conditionnelle pour que l’algorithme affiche également à
l’écran le montant disponible au premier janvier de chaque année.
Exercice 4 NON SPE Antilles septembre 2010 TS
Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à 0,0001 près
Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment
tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle.
Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d’animaux dont 1 % est porteur de la maladie.
On obtient les résultats suivants :
• si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ;
• si un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas.
On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d’utiliser le
test pour un dépistage préventif de la maladie.
On note :
M l’évènement : « l’animal est porteur de la maladie » ;
T l’évènement : « le test est positif ».
1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée.
2. Un animal est choisi au hasard.
a. Quelle est la probabilité qu’il soit porteur de la maladie et que son test soit positif ?
b. Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est 0,058.
3. Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour
qu’il soit porteur de la maladie ?
4. On choisit cinq animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves
comme indépendantes et d’assimiler les tirages à des tirages avec remise. On note X la variable
aléatoire qui, aux cinq animaux choisis, associe le nombre d’animaux ayant un test positif.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ?
b. Quelle est la probabilité pour qu’au moins un des cinq animaux ait un test positif ?
5. Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de 100 euros et
le coût de l’abattage d’un animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de
1 000 euros. On suppose que le test est gratuit.
D’après les données précédentes, la loi de probabilité du coût à engager par animal subissant le
test est donnée par le tableau suivant :
Coût
0
100
Probabilité
0,9405
0,0580
1 000
0,001 5
a. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire associant à un animal le coût à
engager.
b. Un éleveur possède un troupeau de 200 bêtes. Si tout le troupeau est soumis au test, quelle
somme doit-il prévoir d’engager ?
Exercice 4 Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Pondichéry avril 2009
Une agence de voyages organise différentes excursions dans une région du monde
et propose la visite de sites incontournables, nommés A, B, C, D, E et F.
Baccalauréat ES A. P. M. E. P.
Ces excursions sont résumées sur le graphe ci-dessous dont les sommets désignent les sites, les arêtes
représentent les routes pouvant être empruntées pour relier deux sites et le poids des arêtes désigne le temps de
transport (en heures) entre chaque site.
1. Justifier que ce graphe est connexe.
2. Un touriste désire aller du site A au site F en limitant au maximum les temps
de transport.
a. En utilisant un algorithme, déterminer la plus courte chaîne reliant le
sommet A au sommet F.
b. En déduire le temps de transport minimal pour aller du site A au site F.
3. Un touriste désirant apprécier un maximum de paysages souhaite suivre un
parcours empruntant toutes les routes proposées une et une seule fois.
Si ce parcours existe, le décrire sans justifier ; dans le cas contraire justifier
qu’un tel parcours n’existe pas.