Transcript Colle 10 - allken

Colle MPSI, semaine 10, lundi 8 décembre 2014
Limites, fonctions continues
Encore un programme assez théorique cette semaine : les calculs de limites utilisant les équivalents usuels ou les développements limités viendront plus tard, dans un chapitre intitulé «analyse asymptotique».
– L’expression «au voisinage de a» (où a ∈ R).
– Définition de la limite pour les fonctions numériques définies sur un intervalle.
– Caractérisation séquentielle de la limite.
– Unicité de la limite, opérations sur les limites, composition des fonctions et limites.
– Limites latérales.
– Conservation des inégalités larges, théorème de convergence par encadrement, de divergence par minoration ou majoration.
– Continuité en un point, prolongement par continuité, continuité latérale.
– Caractérisation séquentielle de la continuité en un point.
– Opérations sur les fonctions continues en un point.
– Fonctions continues sur un intervalle, ensemble C (I , R).
– TVI, image d’un intervalle par une fonction continue.
– Théorème des bornes (toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses
bornes).
– Théorème de la bijection (soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle, alors . . . ). Application : continuité de certaines fonctions usuelles.
Exemples de questions de cours
Ce ne sont que des exemples. D’autres questions élémentaires du même genre peuvent convenir.
1. Énoncer la caractérisation séquentielle de la continuité en un point. L’utiliser par exemple pour démontrer que la somme (ou le produit . . . ) de deux fonctions continues en un
point est continue.
2. Montrer que la fonction indicatrice de Q n’est continue en aucun point.
3. Énoncer le TVI. Montrer que toute fonction continue f : [0, 1] → [0, 1] a un point fixe.
4. Énoncer le théorème des bornes. Montrer que si f est une fonction continue sur un segment et partout strictement positive, alors f est minorée par une constante strictement
positive.
Colleur :