Transcript lois-de-la-statique
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Lois de la statique
Equilibre des solides
Slide 2
1. Notion de système matèriel –
Frontière d’isolement
Système matériel :
On appelle système
matériel, une quantité
de matière
(correspondant à un ou
plusieurs solides),
dont la masse reste
constante pendant son
étude.
S2
S1
m1+m2=cte
Système matèriel
{S1+S2}
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1. Notion de système matèriel –
Frontière d’isolement
Frontière d’isolement
La frontière d’isolement est la limite virtuelle qui délimite le
système matériel considéré.
Elle divise l’univers en deux parties :
On peut alors distinguer :
d'une part, le système matériel considéré, objet de l'étude,
d'autre part, l'extérieur, c'est à dire tout ce qui n'est pas le système
considéré.
les actions mécaniques intérieures à S, qui agissent entre les éléments
de S.
les actions mécaniques extérieures à S, qui sont exercées par sur S.
Il est très important au début de chaque étude, de bien énumérer
tous les éléments qui font partie du système considéré.
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1. Notion de système matèriel –
Frontière d’isolement
exemples
Si le système étudié
est {ballon}
alors l’action de contact du
basketteur sur le ballon est une
action mécanique extérieure.
Si le système étudié est
{ballon + basketteur}
alors l’action de contact du
basketteur sur le ballon est une
action mécanique intérieure
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2. Bilan des actions extérieures
Faire le Bilan des actions extérieures c’est
recenser l’ensemble des actions s’exerçant
sur le système isolé.
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2. Bilan des actions extérieures
Exemple
2
I
y
x
z
3
H
Graphe de
contact
J
0
4
K
Isolons le système suivant : {3} c'est-à-dire la bride en « T »
Le bilan des actions mécaniques nous donne :
Action de contact
De type solide rigide/solide 3 actions ( 2/3, 0/3, 4/3)
De type particulier 1 action (ressort/3)
Action à distance
1 action (poids)
0
4
2
3
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3. Principe Fondamental de la
Statique (PFS)
Le principe fondamental de la statique (PFS) nous dit qu’un
système matériel S est en équilibre si et seulement si :
R
S /S
S / S
0
M A S / S
A
R
avec A un point quelconque
Le PFS donne alors lieu à deux théorèmes qui doivent être
vérifiés simultanément :
Le théorème de la résultante : si un solide est en équilibre
la somme des forces extérieures exercées sur le système est
nulle :
Fext / S 0
Le théorème du moment : si un solide est en équilibre en un
point quelconque la somme des moments extérieurs exercés
sur le système est nulle :
M
A ext / S
0
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4. Principe des actions mutuelles
Principe :
si un corps 1 exerce sur un corps 2 une force
F1 / 2 au point A,
réciproquement le corps 2 exerce sur le solide 1 une force F2 / 1 au
point A tel que
F2 / 1 F2 / 1
Exemples
(doigt gomme)
A doigt / gomme A gomme
/ doigt
(gomme doigt)
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5. Application du PFS aux solides
en équilibre soumis à 2 forces
Quand un système matériel est en
équilibre sous l’effet de deux actions
mécaniques, représentables par des
glisseurs, les vecteurs qui modélisent
ces actions mécaniques sont
directement opposés.
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5. Application du PFS aux solides
en équilibre soumis à 2 forces
Exemple
Le solide S est en équilibre suspendu par un câble.
Isolons le solide {S}, le bilan des actions extérieures donne :
1 action de contact A
et une action à distance
cable / S
(de pesanteur) G
terre / S
A
S
y
x
Acable / S
G
G terre / S
L’application du théorème de la résultante nous donne : Acable / S G terre / S 0
Donc Acable / S G terre / S les deux vecteurs représentant les forces sont donc
opposées (soit colinéaires soit parallèles)
L’application du théorème du moment au point A nous donne :M A cable / S M A terre / S
La force étant appliqué au point A on a M A cable / S 0 ,
pour que le théorème du moment soit vrai il faut alors que M A terre / S 0
On sait que le moment algébrique correspond à la force multiplié par
le bras de levier.
Pour que le produit soit nul il faut donc que le bras de levier soit nul,
donc les forces et sont directement opposées
0
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6. Application du PFS aux solides
soumis à 3 forces
Quand un système matériel est en équilibre sous
l’action de trois glisseurs, les vecteurs qui
représente ces forces sont :
soit coplanaires et concourant en un même
point
soit coplanaires et parallèles
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6. Application du PFS aux solides
soumis à 3 forces
Exemple :
Hypothèse : l’effet de la pesanteur est négligé devant l’importance des autres actions mécaniques
Isolons le système {2,3}.
1
2
0
3
Le bilan des actions mécaniques nous donne 3 actions de
contacts que sont :
C1/ 2
B0 / 2
A0 / 3
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6. Application du PFS aux solides
soumis à 3 forces
Le théorème de la résultante nous donne, C 1 / 2 B 0 / 2 A0 / 3 0
et nous informe que ces 3 forces sont
coplanaires (dans le même plan).
En A et C les contacts sont parfaits (pas de frottement) ce
qui revient à dire que les directions des vecteurs C 1 / 2 A
0/3
sont perpendiculaires aux plans de contact.
On en déduit la direction de ces vecteurs. Ces directions se
croisent en I
Le théorème du moment au point I nous donne M I C 1 / 2 M I A 0 / 3 M I B 0 / 2
D’après les deux directions que l’on connaît on peut écrire
M
0 et
M
0
I
Alors on a M B 0 , on en déduit que la
direction de B passe par les points B et I.
I 1/ 2
I 0/3
I
0/2
0/2
Les trois forces sont donc concourantes en I
0
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6. Application du PFS aux solides
soumis à 3 forces
Méthode de résolution graphique
On choisi une échelle de représentation : sera représenté par un
vecteur de longueur proportionnelle à son intensité tel que :
On trace un triangle en utilisant les directions des trois vecteurs et
l’échelle du vecteur précédant. A cet effet on trace le vecteur connu
puis les directions des autres vecteurs passant par les extrémités du
vecteur connu.
On déduit alors la norme des deux autres vecteurs, par application de
l’échelle.
I
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6. Application du PFS aux solides
soumis à 3 forces
Exemple 2:
Hypothèse : l’effet de la pesanteur et l’action du ressort sont négligés devant l’importance des autres actions mécaniques
1
2
4
3
Isolons {3}
Le bilan des actions mécaniques nous donne : 3 actions de contact, B 2 / 3 C
4/3
et L’application du théorème de la résultante nous donne :
B 2 / 3 C 4 / 3 A1 / 3 0
En A et B les contacts sont parfaits (pas de frottement) ce qui revient à dire que
les directions des vecteurs sont perpendiculaires aux plans de contact.
On en déduit la direction des forces,
forces sont parallèles.
Alors d’après l’équation du théorème de la résultante on peut en déduire que la
troisième force est elle aussi parallèle.
B2 / 3
A1 / 3
elles sont verticales, ces deux
A1 / 3
Slide 16
7. Méthode de résolution
1. On commence tout problème en faisant le choix d’une frontière
d’isolement, puis en réalisant l’isolement du système
2. Puis on réalise un bilan des actions mécaniques extérieures
3. On fait l’inventaire des inconnues et ainsi on vérifie la résolubilité.
Le théorème de la résultante projeté sur les axes x, y et z permet d’écrire 3
équations.
De la même façon le théorème du moment projeté sur ces mêmes axes
permet d’écrire 3 équations.
On peut donc au maximum écrire six équations, par conséquent on peut avoir
au maximum 6 inconnues dans le cas d’un problème spatial.
Dans le cas d’un problème plan c'est-à-dire un problème ayant un plan de
symétrie à la fois géométrique et mécanique (d’un point vue des actions
mécaniques)
Alors le théorème de la résultante nous donne uniquement 2 équations et
celui des moments une seule. Le nombre maximal d’inconnues est donc 3.
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7. Méthode de résolution
Exemple : le problème de la bride ci-contre est un problème plan.
y
Les projections du théorème de la
résultante donne deux équations, sur
les axe x, et y.
la projection du théorème du moment
donne une équation sur l’axe z
z
x
4.
réalise la résolution :
soit analytiquement en résolvant le système
d’équations obtenu
soit graphiquement en traçant le
« dynamique »
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7. Méthode de résolution
Application : résolution analytique
On vous demande de calculer la valeur algébrique de l’effort qu’exerce 2 sur la pièce 1
Hypothèses :
- les contacts sont supposés parfaits en A et C considérés comme ponctuels
- le poids de 2 sera négligé devant l’importance des autres actions mécaniques.
Données :
A 0 / 3 30 N
AB ( 16 mm ; 12 mm ; 0 )
y
z
x
BC ( 14 mm ; 10 mm ; 0 )
1
2
0
3
Lois de la statique
Equilibre des solides
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1. Notion de système matèriel –
Frontière d’isolement
Système matériel :
On appelle système
matériel, une quantité
de matière
(correspondant à un ou
plusieurs solides),
dont la masse reste
constante pendant son
étude.
S2
S1
m1+m2=cte
Système matèriel
{S1+S2}
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1. Notion de système matèriel –
Frontière d’isolement
Frontière d’isolement
La frontière d’isolement est la limite virtuelle qui délimite le
système matériel considéré.
Elle divise l’univers en deux parties :
On peut alors distinguer :
d'une part, le système matériel considéré, objet de l'étude,
d'autre part, l'extérieur, c'est à dire tout ce qui n'est pas le système
considéré.
les actions mécaniques intérieures à S, qui agissent entre les éléments
de S.
les actions mécaniques extérieures à S, qui sont exercées par sur S.
Il est très important au début de chaque étude, de bien énumérer
tous les éléments qui font partie du système considéré.
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1. Notion de système matèriel –
Frontière d’isolement
exemples
Si le système étudié
est {ballon}
alors l’action de contact du
basketteur sur le ballon est une
action mécanique extérieure.
Si le système étudié est
{ballon + basketteur}
alors l’action de contact du
basketteur sur le ballon est une
action mécanique intérieure
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2. Bilan des actions extérieures
Faire le Bilan des actions extérieures c’est
recenser l’ensemble des actions s’exerçant
sur le système isolé.
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2. Bilan des actions extérieures
Exemple
2
I
y
x
z
3
H
Graphe de
contact
J
0
4
K
Isolons le système suivant : {3} c'est-à-dire la bride en « T »
Le bilan des actions mécaniques nous donne :
Action de contact
De type solide rigide/solide 3 actions ( 2/3, 0/3, 4/3)
De type particulier 1 action (ressort/3)
Action à distance
1 action (poids)
0
4
2
3
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3. Principe Fondamental de la
Statique (PFS)
Le principe fondamental de la statique (PFS) nous dit qu’un
système matériel S est en équilibre si et seulement si :
R
S /S
S / S
0
M A S / S
A
R
avec A un point quelconque
Le PFS donne alors lieu à deux théorèmes qui doivent être
vérifiés simultanément :
Le théorème de la résultante : si un solide est en équilibre
la somme des forces extérieures exercées sur le système est
nulle :
Fext / S 0
Le théorème du moment : si un solide est en équilibre en un
point quelconque la somme des moments extérieurs exercés
sur le système est nulle :
M
A ext / S
0
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4. Principe des actions mutuelles
Principe :
si un corps 1 exerce sur un corps 2 une force
F1 / 2 au point A,
réciproquement le corps 2 exerce sur le solide 1 une force F2 / 1 au
point A tel que
F2 / 1 F2 / 1
Exemples
(doigt gomme)
A doigt / gomme A gomme
/ doigt
(gomme doigt)
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5. Application du PFS aux solides
en équilibre soumis à 2 forces
Quand un système matériel est en
équilibre sous l’effet de deux actions
mécaniques, représentables par des
glisseurs, les vecteurs qui modélisent
ces actions mécaniques sont
directement opposés.
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5. Application du PFS aux solides
en équilibre soumis à 2 forces
Exemple
Le solide S est en équilibre suspendu par un câble.
Isolons le solide {S}, le bilan des actions extérieures donne :
1 action de contact A
et une action à distance
cable / S
(de pesanteur) G
terre / S
A
S
y
x
Acable / S
G
G terre / S
L’application du théorème de la résultante nous donne : Acable / S G terre / S 0
Donc Acable / S G terre / S les deux vecteurs représentant les forces sont donc
opposées (soit colinéaires soit parallèles)
L’application du théorème du moment au point A nous donne :M A cable / S M A terre / S
La force étant appliqué au point A on a M A cable / S 0 ,
pour que le théorème du moment soit vrai il faut alors que M A terre / S 0
On sait que le moment algébrique correspond à la force multiplié par
le bras de levier.
Pour que le produit soit nul il faut donc que le bras de levier soit nul,
donc les forces et sont directement opposées
0
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6. Application du PFS aux solides
soumis à 3 forces
Quand un système matériel est en équilibre sous
l’action de trois glisseurs, les vecteurs qui
représente ces forces sont :
soit coplanaires et concourant en un même
point
soit coplanaires et parallèles
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6. Application du PFS aux solides
soumis à 3 forces
Exemple :
Hypothèse : l’effet de la pesanteur est négligé devant l’importance des autres actions mécaniques
Isolons le système {2,3}.
1
2
0
3
Le bilan des actions mécaniques nous donne 3 actions de
contacts que sont :
C1/ 2
B0 / 2
A0 / 3
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6. Application du PFS aux solides
soumis à 3 forces
Le théorème de la résultante nous donne, C 1 / 2 B 0 / 2 A0 / 3 0
et nous informe que ces 3 forces sont
coplanaires (dans le même plan).
En A et C les contacts sont parfaits (pas de frottement) ce
qui revient à dire que les directions des vecteurs C 1 / 2 A
0/3
sont perpendiculaires aux plans de contact.
On en déduit la direction de ces vecteurs. Ces directions se
croisent en I
Le théorème du moment au point I nous donne M I C 1 / 2 M I A 0 / 3 M I B 0 / 2
D’après les deux directions que l’on connaît on peut écrire
M
0 et
M
0
I
Alors on a M B 0 , on en déduit que la
direction de B passe par les points B et I.
I 1/ 2
I 0/3
I
0/2
0/2
Les trois forces sont donc concourantes en I
0
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6. Application du PFS aux solides
soumis à 3 forces
Méthode de résolution graphique
On choisi une échelle de représentation : sera représenté par un
vecteur de longueur proportionnelle à son intensité tel que :
On trace un triangle en utilisant les directions des trois vecteurs et
l’échelle du vecteur précédant. A cet effet on trace le vecteur connu
puis les directions des autres vecteurs passant par les extrémités du
vecteur connu.
On déduit alors la norme des deux autres vecteurs, par application de
l’échelle.
I
Slide 15
6. Application du PFS aux solides
soumis à 3 forces
Exemple 2:
Hypothèse : l’effet de la pesanteur et l’action du ressort sont négligés devant l’importance des autres actions mécaniques
1
2
4
3
Isolons {3}
Le bilan des actions mécaniques nous donne : 3 actions de contact, B 2 / 3 C
4/3
et L’application du théorème de la résultante nous donne :
B 2 / 3 C 4 / 3 A1 / 3 0
En A et B les contacts sont parfaits (pas de frottement) ce qui revient à dire que
les directions des vecteurs sont perpendiculaires aux plans de contact.
On en déduit la direction des forces,
forces sont parallèles.
Alors d’après l’équation du théorème de la résultante on peut en déduire que la
troisième force est elle aussi parallèle.
B2 / 3
A1 / 3
elles sont verticales, ces deux
A1 / 3
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7. Méthode de résolution
1. On commence tout problème en faisant le choix d’une frontière
d’isolement, puis en réalisant l’isolement du système
2. Puis on réalise un bilan des actions mécaniques extérieures
3. On fait l’inventaire des inconnues et ainsi on vérifie la résolubilité.
Le théorème de la résultante projeté sur les axes x, y et z permet d’écrire 3
équations.
De la même façon le théorème du moment projeté sur ces mêmes axes
permet d’écrire 3 équations.
On peut donc au maximum écrire six équations, par conséquent on peut avoir
au maximum 6 inconnues dans le cas d’un problème spatial.
Dans le cas d’un problème plan c'est-à-dire un problème ayant un plan de
symétrie à la fois géométrique et mécanique (d’un point vue des actions
mécaniques)
Alors le théorème de la résultante nous donne uniquement 2 équations et
celui des moments une seule. Le nombre maximal d’inconnues est donc 3.
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7. Méthode de résolution
Exemple : le problème de la bride ci-contre est un problème plan.
y
Les projections du théorème de la
résultante donne deux équations, sur
les axe x, et y.
la projection du théorème du moment
donne une équation sur l’axe z
z
x
4.
réalise la résolution :
soit analytiquement en résolvant le système
d’équations obtenu
soit graphiquement en traçant le
« dynamique »
Slide 18
7. Méthode de résolution
Application : résolution analytique
On vous demande de calculer la valeur algébrique de l’effort qu’exerce 2 sur la pièce 1
Hypothèses :
- les contacts sont supposés parfaits en A et C considérés comme ponctuels
- le poids de 2 sera négligé devant l’importance des autres actions mécaniques.
Données :
A 0 / 3 30 N
AB ( 16 mm ; 12 mm ; 0 )
y
z
x
BC ( 14 mm ; 10 mm ; 0 )
1
2
0
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