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Dérivation de fonctions, cours, terminale STMG
F.Gaudon
28 juin 2014
Table des matières
1
Fonction dérivée
2
2
Dérivées usuelles
4
3
Opérations sur les fonctions dérivables
3.1 Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Multiplication par un nombre réel k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
4
1
Dérivation de fonctions, cours, classe de terminale STMG
1
Fonction dérivée
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dont la courbe représentative
Cf admet en un point d’abscisse xA avec xA ∈ I une tangente. Le nombre
dérivé de f en xA noté f 0 (xA ) est le coefficient directeur de cette tangente.
Propriété (rappel) :
Le coefficient directeur m d’une droite (d) passant par des points A et B de
coordonnées (xA ; yA ) et (xB ; yB ) est donnée par :
m=
yB − yA
xB − xA
Propriété :
La tangente TA au point A d’abscisse xA à la courbe Cf admet une équation
réduite de la forme y = f 0 (xA )x + p où p est un nombre réel.
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Dérivation de fonctions, cours, classe de terminale STMG
Exemple :
Soit f la fonction définie par f (x) = x2 et A le point de coordonnées (−1; 1).
A ∈ Cf car x2A = (−1)2 = 1 = yA .
Par ailleurs f 0 (x) = 2x et f 0 (−1) = −2.
Donc la tangente à la courbe au point A est la droite passant par A et de coefficient directeur -2.
Définition :
• Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si en tout réel a de I il
existe un nombre dérivé f 0 (a), c’est à dire si en tout point A de la courbe
Cf il existe une tangente à la courbe en ce point.
• La fonction qui, à tout point a de I, associe le nombre dérivé de f en a
s’appelle la fonction dérivée de f et est notée f 0 .
Exemple :
Soit f : x 7−→ 2x − 3 définie sur I = R. On a le tableau de valeurs suivant :
x
f (x)
0
-3
1
-1
La courbe représentative Cf admet une tangente en tout point. Cette tangente est la courbe Cf elle-même. Pour
tout élément a de R on a donc f 0 (a) = 2. La fonction f : x 7−→ 2x − 3 a donc pour dérivée la fonction
f 0 : x 7−→ 2 sur R
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3
Dérivation de fonctions, cours, classe de terminale STMG
2
Dérivées usuelles
f (x)
k
x
mx + p
x2
xn
1
x
f 0 (x)
0
1
m
2x
nxn−1
− x12
Df 0
R
R
R
R
R
R∗
Exemple :
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 5 − 3x pour tout x réel f est une fonction affine, elle est dérivable
sur R et pour tout réel x on a f 0 (x) = −3.
3
Opérations sur les fonctions dérivables
Les démonstrations de ce paragraphe sont admises.
3.1
Somme
Propriété :
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I, alors
u + v est définie et dérivable sur I et :
(u + v)0 = u0 + v 0
Exemple :
Soit f la fonction définie sur R+ par f (x) = x + 3x2 . Alors on peut poser u(x) = x et v(x) = 3x2 . u et v sont
deux fonctions de référence. On a pour tout x strictement positif u0 (x) = 1 et v 0 (x) = 6x donc f 0 (x) = 1 + 6x.
3.2
Multiplication par un nombre réel k
Propriété :
Soient u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et k un nombre
réel, alors ku est définie et dérivable sur I et :
(ku)0 = ku0
Exemple :
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 5x3 . Alors on peut poser u(x) = x3 , la fonction u est une fonction
de référence et on a pour tout x réel u0 (x) = 3x2 donc f 0 (x) = 5 × 3x2 = 15x2 .
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