Transcript Devoir maison : convexité - I2M

2013-2014
Aix-Marseille Universit´
e
Topologie et fonctions de plusieurs variables
Licence MPCI, 2`
eme ann´
ee
Devoir maison : convexit´
e
`a rendre le 3 Mars 2014
Exercice 1. On dit qu’un ensemble C de Rd est convexe s’il v´erifie
pour tous x, y ∈ C et pour tout t ∈ [0, 1], (1 − t)x + ty ∈ C.
Montrer que tout sous-espace vectoriel de Rd est convexe.
Montrer qu’un intervalle de R est convexe.
C un ensemble convexe de Rd .
On suppose que C contient deux boules (ouvertes) de rayon r > 0 de centres respectifs x et y.
Montrer alors que C contient toutes les boules de rayon r > 0 de centres (1 − t)x + ty, t ∈ [0, 1].
(b) En d´eduire que l’int´erieur de C est convexe.
3. Montrer que l’adh´erence d’un ensemble convexe de Rd est aussi convexe.
1. (a)
(b)
2. Soit
(a)
Exercice 2. On dit qu’une fonction f : C → R d´efinie sur un ensemble C convexe de Rd est convexe si
elle v´erifie
pour tous x, y ∈ C et pour tout t ∈ [0, 1], f (1 − t)x + ty ≤ (1 − t)f (x) + tf (y).
1. (a) Montrer que toute fonction convexe sur un intervalle ouvert I de R est continue.
(b) Montrer que si f : I → R est convexe, alors pour tous x, y, z ∈ I, avec x < y < z, on a
f (y) − f (z)
f (x) − f (y)
≤
.
x−y
y−z
Indication : Faites un dessin !
(c) En posant y = (1 − t)x + tz, puis en faisant tendre t vers 1 puis vers 0 dans l’in´egalit´e ci-dessus,
en d´eduire qu’une fonction convexe d´erivable sur I a une d´eriv´ee croissante.
2. (a) Soit N une norme sur Rd . Montrer que N est une fonction convexe.
(b) En d´eduire qu’une boule (ouverte ou ferm´ee) de Rd pour une norme N est convexe.
Exercice 3. Soit C un convexe ouvert et born´e de Rd contenant l’origine 0. On suppose de plus que C
est sym´etrique par rapport a` l’origine, c’est-`a-dire qu’il v´erifie C = −C.
Pour tout x ∈ Rd , on introduit l’ensemble
1
Λ(x) = λ > 0, tel que x ∈ C ⊂ R,
λ
et on pose, pour tout x ∈ Rd , N (x) = inf Λ(x) .
1. Montrer que pour tout x ∈ Rd , l’ensemble Λ(x) est non vide et v´erifie Λ(x) =]N (x), +∞[. En d´eduire
que N (x) = 0 si et seulement si x = 0.
2. Montrer que pour tout x ∈ Rd , on a N (−x) = N (x).
3. Montrer que pour tout x ∈ Rd et tout µ > 0 on a N (µx) = µN (x).
y
x
et N (y)+ε
pour tout ε > 0,
4. Soient x et y deux points de Rd non nuls. En introduisant les points N (x)+ε
montrer que N (x + y) ≤ N (x) + N (y).
En d´eduire que N est une norme sur Rd .
5. Montrer que C est la boule unit´e ouverte de Rd pour la norme N .