Transcript Programmation linéaire Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Introduction Nous verrons comment trouver la ou les solutions optimales dans des situations comportant.

Programmation
linéaire
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Introduction
Nous verrons comment trouver la ou les solutions optimales
dans des situations comportant des contraintes qui peuvent se
traduire par des inéquations du premier degré.
Problème de programmation linéaire
La direction d’une usine de meubles a
constaté qu’il y a trop de temps libres
dans chacun des départements de l’usine.
Pour remédier à cette situation, elle décide
de fabriquer deux nouveaux modèles de
bureau, M1 et M2.
Modèles
Ateliers
Sciage
M1 M2
1
2
Temps
libres
20
Assemblage 2
1
22
Sablage
1
12
1
Les temps de fabrication, pour chacun de ces modèles, dans les
ateliers de sciage, d’assemblage et de sablage ainsi que les temps
libres dans chacun de ces ateliers sont donnés dans le tableau cidessus.
Ces temps représentent le nombre d’heures nécessaires à une
personne pour effectuer le travail. Les profits que la compagnie peut
réaliser pour chaque unité de ces modèles sont de 300 $ pour M1 et de
200 $ pour M2. La direction désire déterminer combien de bureaux de
chaque modèle elle doit fabriquer pour maximiser son profit.
SS
Variables et contraintes
Symboliquement, on a :
x + 2y ≤ 20
2x + y ≤ 22
x + y ≤ 12
x ≥ 0 et y ≥ 0
Posons x, le nombre de bureaux du
modèle M1, et y, le nombre de bureaux
du modèle M2. La contrainte imposée par
les temps libres à l’atelier de sciage est :
Modèles
Ateliers
Sciage
M1 M2
1
2
Temps
libres
20
Assemblage 2
1
22
Sablage
1
12
1
x + 2y ≤ 20
Les autres contraintes sont :
2x + y ≤ 22
x + y ≤ 12
À ces contraintes, s’ajoutent des contraintes de non-négativité puisque
le nombre de bureaux ne peut être négatif; on a donc également :
S
x ≥ 0 et y ≥ 0
Représentation graphique du problème
Symboliquement, on a :
x + 2y ≤ 20
2x + y ≤ 22
x + y ≤ 12
x ≥ 0 et y ≥ 0
Pour
représenter
graphiquement
On procède
de la même
façon pour lesla
contrainte
à l’atelier de sciage, il suffit de
autres contraintes.
déterminer les points de rencontre de la
Les
de xrencontre
de lalesdroite
droitepoints
frontière
+ 2y = 20 avec
axes.
frontière 2x + y = 22 avec les axes sont :
En posant x = 0, on obtient y = 10 et en
et (11;
posant y = 0,(0;
on 22)
obtient
x =0)20.
Lesposant
pointsx =de0 et
rencontre
la droite
En
y = 0 dansdel’inéquation
frontière
x + y x=+122yavec
sont ::
de
contrainte
≤ 20,lesonaxes
obtient
Modèles
Ateliers
Sciage
M1 M2
1
2
20
Assemblage 2
1
22
Sablage
1
12
1
(0; 12)
(12; 0)
0 ≤et20
Tous
les points
les coordonnées
sont
On obtient
ainsidont
le polygone
des solutions
positives
et qui sont sous la droite
admissibles.
constituent donc des solutions admissibles du problème.
Temps
libres
S
Points sommets
Symboliquement, on a :
x + 2y ≤ 20
2x + y ≤ 22
x + y ≤ 12
x ≥ 0 et y ≥ 0
En représentant les droites frontières, on
a déjà déterminé quelques points sommets
du polygone convexe, soit (0; 0), (11; 0) et
(0; 10). Déterminons les autres points de
rencontre de droites frontières.
∆1 x + 2y = 20
Le système :
∆3 x + y = 12
a comme solution le couple (4; 8).
Le système : ∆2 2x + y = 22
∆3 x + y = 12
a comme solution le couple (10; 2).
On ne considère pas le point de
rencontre des droites ∆1 et ∆2, car ce
n’est pas une solution admissible.
Modèles
Ateliers
Sciage
M1 M2
1
2
Temps
libres
20
Assemblage 2
1
22
Sablage
1
12
1
∆1
∆3
∆2
Évaluation de la fonction économique
La direction veut maximiser son profit,
c’est-à-dire maximiser la fonction :
z = P(x; y) = 300x + 200y
Pour
chacun la
dessolution
points(2;du5),polygone
En choisissant
le profit
convexe,
compagnie fera un profit
serait de 1la600$
positif. Calculons ce profit pour
P(2; 5) = (300 des
2) +points
(200  5)
600 $
quelques-uns
du= 1polygone
convexe.
Parle exemple,
si (0;
la 8).
compagnie
Le profit est
même pour
fabrique deux exemplaires du modèle M1
En choisissant la solution (6; 3), le profit
et un exemplaire du modèle M2, le profit
serait de 2 400$
sera :
P(6;
= 2= 400
P(2;3)1)= =(300
(300 6)2)+ +(200
(2003)
 1)
800 $$
Le profit est le même pour (8; 0).
On constate facilement que la compagnie
Il ne saurait être question de calculer le
peut obtenir le même profit en ne
profit réalisable pour chacun des points
fabriquant aucun exemplaire du premier
du polygone convexe, mais on peut faire
modèle et quatre exemplaires du second
certaines constatations.
modèle.
Modèles
Ateliers
M1 M2
1
2
Sciage
Temps
libres
20
Assemblage 2
1
22
Sablage
1
12
1
∆800
∆1600 ∆2400
SS
Démarche de solution
On constate que :
P(x; y) = 300x + 200y
Modèles
Ateliers
est un ensemble de droites
parallèles, et
Sommets
Profit
On trouve alors :
N = (3;2) est un vecteur normal à ces
(0; 0)
0
droites.
(0; 10)
2 000
Plus la droite est éloignée de l’origine,
(4; 8)
2 800
plus le profit réalisé est grand.
(10; 2)
M1 M2
1
2
Sciage
Temps
libres
20
Assemblage 2
1
22
Sablage
1
12
1
3 400
La solution optimale sera atteinte
en
un
(11; 0)
3 300
sommet du polygone convexe ou sur le
segment
de droite
joignant
deux
Pour maximiser
le profit,
il faut donc
sommets
fabriqueradjacents.
10 bureaux du modèle M1 et
2 bureaux du modèle M2. Le profit
Ilserasuffit
d’évaluer la fonction
alors donc
de 3 400$.
économique en chacun des points
sommets du polygone convexe.
∆800
∆1600 ∆2400
S
Discussion des solutions
La solution du problème dépend des
contraintes (le polygone des solutions
admissibles) mais également de la
fonction décrivant le profit.
Si le profit était de 200 $ pour le modèle
M1 et de 300 $ pour le modèle M2, le
profit total serait :
Modèles
Ateliers
Sciage
M1 M2
1
2
Temps
libres
20
Assemblage 2
1
22
Sablage
1
12
1
z = P2(x; y) = 200x + 300y
Dans ce cas, le vecteur normal de
l’ensemble
des
droites
parallèles
est N = (2; 3) et la droite la plus éloignée
de l’origine est celle passant par le
sommet (4; 8).
Le profit réalisé serait :
P2(4; 8) = 3 200 $
S
Discussion des solutions
La
solution
d’un
problème
programmation linéaire n’est
toujours unique.
de
pas
Ainsi, si le profit était le même pour
chaque modèle, soit 300 $, le profit total
serait :
Modèles
Ateliers
Sciage
M1 M2
1
2
Temps
libres
20
Assemblage 2
1
22
Sablage
1
12
1
z = P3(x; y) = 300x + 300y
Dans ce cas, le vecteur normal de
l’ensemble
des
droites
parallèles
est N = (3; 3) et la droite la plus éloignée
de l’origine passe par les sommets (4; 8)
et (10; 2).
Le profit réalisé serait :
P2(4; 8) = 3 600 $
S
DÉFINITIONS
Vocabulaire
Demi-plan
L’ensemble-solution d’une inéquation linéaire à deux variables de la
forme :
ax + by ≤ c
est appelé demi-plan fermé.
Si l’inéquation est définie par une inégalité stricte (< ou >), le demiplan est dit ouvert.
Demi-espace
L’ensemble-solution d’une inéquation linéaire à trois variables de la
forme :
ax + by + cz ≤ d
est appelé demi-espace fermé.
Si l’inéquation est définie par une inégalité stricte (< ou >), le demiespace est dit ouvert.
DÉFINITIONS
Vocabulaire
Polygone (polyèdre) convexe
L’intersection d’un nombre fini de demi-plans de R2 est appelée
polygone convexe. (L’intersection d’un nombre fini de demi-espaces
de Rn est appelée polyèdre convexe.)
Point sommet
On dit qu’un point P est un point sommet d’un polygone convexe (ou
d’un polyèdre convexe) si:
• P appartient au polygone (polyèdre) convexe;
• P est l’intersection d’au moins deux frontières du polygone
convexe (ou d’au moins trois du polyèdre convexe).
Remarque
Il y a parfois plusieurs solutions admissibles. Lorsque cela se
produit, ces solutions sont toutes sur une même arête du polygone
ou sur une même face du polyèdre convexe.
Exemple 12.1.1
On
désire faire deux
solutions filles F1 et F2 à partir de trois solutions
Représentation
graphique
mères M1, M2 et M3. Les solutions mères contiennent des substances
AEn
et B.déterminant les intersections des
plans
définissant
les
contraintes,
on
M
:
20%
de
A,
10%
de
B;
M
:
10%
de
A et 10% de B; M3 : 10% de
1
2
les volumes qui pourraient
Atrouve
et 20%que
de B.
êtresolutions
utilisés sont
sur avoir
le segment
de de 200 ml. La solution F1
Les
filles tous
devront
un volume
doit
contenir
au les
plus
15%Pde
A et la solution F2 doit contenir au
droite
joignant
points
2(100; 100; 0)
moins
% 0).
de B. Déterminer les volumes de M1, M2 et M3 qui
et P2(0;10200;
pourraient être utilisés pour respecter ces conditions.
Définition
variables
Dans cettedes
situation,
aucune raison n’est donnée qui permettrait de
Soit x1, le volume de la solution mère M1 (en ml);
choisir
solutiondeplutôt
qu’une
autre.
x2,une
le volume
la solution
mère
M2 (en ml);
x3, le volume de la solution mère M3 (en ml).
Définition du système de contraintes
x1 + x2 + x3 = 200
0,20x1 + 0,10x2 + 0,10x3 ≤ 30
0,10x1 + 0,10x2 + 0,20x3 ≤ 20
SS
THÉORÈME
Vocabulaire
Fondamental de la programmation linéaire
Soit P une fonction linéaire définie sur un polygone (ou polyèdre)
convexe.
Si P a une ou des valeurs optimales, cette valeur ou ces valeurs
optimales sont atteintes en au moins un des sommets du polygone
(ou polyèdre) convexe.
Remarque
Ce théorème, que nous avons voulu illustrer par la mise en situation,
sera laissé sans démonstration.
De ce théorème découle la procédure suivante.
Programmation linéaire
Procédure
pour résoudre un problème de programmation linéaire
1. Représenter les données dans un tableau de contraintes (structurer
les données).
2. Décrire mathématiquement le problème (définir les variables et les
équations de contrainte).
3. Représenter graphiquement les contraintes et le polygone (ou
polyèdre) convexe.
4. Calculer les coordonnées des points sommets.
5. Évaluer la fonction économique en chacun des points sommets, s’il y
a lieu.
6. Analyser et critiquer les résultats selon le contexte.
Exemple 12.1.2
Produits
Coordonnées
desgraphique
points
sommets
Représentation
Description
Représentation
mathématique
dans
un
tableau
Un
désire
ajouter
(des
B
On
aindustriel
déjà les points
(0; 0),
(0; 6) deux nouveaux Tproduits
Interprétation
des
résultats
Posons
Les droites
T, lefrontière
nombre
de
sont
tables
:de nuit)
de àContreplaqué
bibliothèques
et
des
tables
sa gamme de production
pour
1
4
24
et (7; 0).
nuit
produites;
donc atteint
∆Le
Tmaximum
+ les
4Bpoints
= 24 estsommets
affecter
surplus
hebdomadaires
ressources.
3
1
21
1 : autres
Les
sont : à deAcrylique
5).
Il = faudrait
4 Temps
1
1
9
∆(4;
3T
+B
21 de ∆produire
2 :5),
(4;
intersection
et
∆
.
1
3
et
B
le
nombre
de
bibliothèques
Ces
meubles
seront
contreplaqué etProfit
en acrylique. 24
tables
de
nuit
et 5enbibliothèques
60
∆
:
T
+
B
=
9
3
(6;
3),
intersection
de
∆
et
∆
.
produites.
1
3
par points
semained’intersection
pour maximiser
le
Les
avec
Fonction
économique
profit,
qui
serait
alors de 396 $.
les
axes
sont
:
La
du fonction
modèle de
table de nuit nécessite une heure de
En fabrication
évaluant la
écono(0; 6) etz un
(24;
0) +pour
laen
droite
∆1; de
2 et trois panneaux
travail,
panneau
de
contreplaqué
de
1
m
mique
=
24T
60B
chacun
Le problème s’énonce
comme suit
∆2
∆3
2
d’acrylique
de
1
m
.
(0;
21)
et
(7;
0)
pour
la
droite
∆
;
ces
sommets,
on
obtient
:
2
:
z la bibliothèque
La
d’une
nécessite 1 heure de travail, 4 m2
(0; fabrication
9)(T;
etB)
(9; 0) pour
droite ∆3.
2 d’acrylique.
de contreplaqué
et
1
m
(0; 0) z = 024T + 60B soumise
∆1
Maximiser
Les
ressources
hebdomadaires
sont de 24 m2 de contreplaqué, de
aux contraintes
:
(0; 6)
360
21 m2(4;d’acrylique
24 de 9 heures de temps de travail. On prévoit un
5) T + 4B
396≤ et
profit de 24
$+par
table
de nuit et de 60 $ par bibliothèque.
3T
B
≤
21
(6; 3)
324
+ B ≤ 9d’articles à produire par semaine pour maximiser
Trouver le T
nombre
(7; 0)
168
le profit. T ≥ 0 et B ≥ 0
S
Exemple 12.1.3
Coordonnées des
points
sommets
Interprétation
des
résultats
Représentation
graphique
Quantités
Fournisseurs
Le
responsable
des
achats
d’une
compagnie
doit
se
procurer
au
moins
Représentation
dans
un
tableau
Description
mathématique
On
a
déjà
les
points
(0;
10,5)
et
requises
AC
Enchaises,
optant pour
la solution
(5;tables
3), il d’ordinateursAB
Les
droites
frontière
sont
:
210
120
bureaux
et
80
pour
un
nouveau
Posons
x, le nombre de lots
(12;
0). au
Chaises
30
20
210
y
aura
total
210 chaises pour
siège
social.
∆
:
30x
+
20y
=
210,
1
Les
autres
sommets
achetés
du points
fournisseur
AB;sont :
Bureaux
10
30
120
220
postes
de
travail
(tables et
∆
:3),
10x
+ 30y = 120,
(5;
intersection
de
∆
et
∆
.
2
1
3 meubles Tables
Deux
compagnies
vendent
des
de bureaux
10 en lots
10 qui80ne
bureaux).
En
optant
pour
la
et
y,
le
nombre
de
lots
achetés
du
∆
10x
+ 10y
= 80,de ∆1 et ∆3.
(6;
intersection
3 :2),
peuvent
être
fractionné.
Coûts ($) 2 000 2 000
solution
(6;AC.
2), il y aura au
total
fournisseur
Les
points
d’intersection
avec
Fonction
économique
220
chaises
pour 200 postes de
les
axes
sont
:
La
compagnie
Ameublements
de bureaux (AB) offre des lots de 30
En
évaluant
la fonction
Le
problème
s’énonce
comme
suit
travail.
La décision
finale
neéconorelève
(0;
10,5)
etbureaux
(7; 0) +
pour
la tables
droite
∆1 ;
chaises,
10
et 10
d’ordinateurs
pour 2 000 $.
mique
z
=
2000x
2000y
en
chacun
:pas des mathématiques, c’est une
(0;
4) etsommets,
(12; 0) pour
la droite
∆2;
de
ces
on
obtient
:
décision
administrative.
La
compagnie
des lots
(0; 8) et (8; 0) AC
pouroffre
la droite
∆3. de 20 chaises, 30 bureaux et 10 tables
w 2 000$.
(x; y)
d’ordinateurs
pour
Minimiser w = 200x + 2000y
(0; 10,5)
21 000
soumise
aux
contraintes
:
Combien de lots faut-il acheter
de chacun de ces fournisseurs pour
(5;
3) + 20y
16 ≥
000
30x
210,
minimiser
le coût
total?
10x
120,
(6;
2) + 30y
16 ≥000
10x + 10y ≥ 80,
(12; 0)
24 000
où x ≥ 0 et y ≥ 0.
SSSS
Exemple 12.1.4
Quantités
Coordonnées
des
points
Représentation
Description
mathématique
dans
un sommets
tableau
Mélanges
Un
marchand
d’aliments
naturels
prépare
des
mélanges
à
grignoter
Représentation
graphique
M1 M2 M3 disponibles
Posons
x
,
le
nombre
de sachets
Les
points
sur
axes
sontde base sont les arachides,
en sachets1 dont leslesingrédients
les raisins
Arachides 30 30 20
2 400
du0;mélange
Mde
(0;
(40;
0), 0; 80; 0).
1,0;cajou.
secs
et60)
lesetnoix
x2, déterminant
le nombre lesdeintersections
sachets du
Raisins
1 200
En
10 10 20
mélange
M2, par
Noix
des
plans
trois
on a : il reçoit
30 10 10
Pour
préparer
cestrois,
mélanges,
hebdomadairement
21 200
400
(0;
(15; 45; 30),
Profits
2,00 1,50
grammes
1 200 du
grammes
de ($)
raisins
secs1,00et 1 200
et 60;
x3, 30),
le d’arachides,
nombre
de sachets
(28;
0; 48)M
et .noix
(20; 60;
0).
grammes
de
de cajou.
mélange
3
Le mélange
problèmeMs’énonce
comme suit
Le
1 donne un profit de 2,00$ du sachet et est composé de
: g d’arachides,
Fonction
économique
30
10 g de raisins et de 30 g de noix de cajou.
En
évaluantMla2 donne
fonction
économique
Le mélange
un profit
de 1,50$ du sachet et est composé de
z30
=g2x
x13+gen1,5x
de
ces10 g de noix de cajou.
d’arachides,
dechacun
raisins
et de
Maximiser
z=
2x10
1 + 1,5x
2 +
2 + x3
sommets,
on contraintes
trouve que pour optisoumise
aux
Le
mélange
M3 donne un :profit de 1,00$ du sachet et est composé de
miser son profit, le marchand doit
2 400,
2030x
g d’arachides,
20 ≤
g de
raisins et de 10 g de noix de cajou.
1 + 30x2 + 20x
préparer
20 sachets3 du mélange M1,
10x1 + que
10x + commerçant
20x3 ≤ 1 200, écoule chaque semaine tous les mélanges
Sachant
60
sachets du2lemélange
M2 et aucun du
30xpeut
10x
+ 10x
1 hebdomadaire
200, combien il doit en préparer de chaque
qu’il
préparer,
1+M
2 Le
3 ≤trouver
mélange
.
profit
3
sorte
pour
que
xi ≥de
0 pour
1, 2, soit
3. maximal.
seraoù
ainsi
130son
$.i =profit
S
Conclusion
L’objet de la programmation linéaire est de déterminer la solution
optimale d’une fonction soumise à différentes contraintes qui se
traduisent par des inéquations du premier degré.
L’ensemble-solution de ces inéquations est un polygone convexe (ou
un polyèdre convexe) formé des solutions admissibles.
Si le problème admet une solution optimale, celle-ci est atteinte en au
moins un sommet du polygone (ou du polyèdre) convexe.
Pour résoudre, il faut déterminer l’ensemble-solution et évaluer la
fonction à optimiser en chacun de ses sommets.
Lecture
Mathématiques pour la chimie et la biologie,
section 12.1, p. 371 à 383.
Exercices
Mathématiques pour la chimie et la biologie,
section 12.2, p. 384 et 385.