Transcript Convexité - Maths PSI Chaptal

PSI
Fonctions convexes
• D´
efinition
Th´eor`eme et d´efinition : si f : I → R il y a ´equivalence entre :
(i) (x, y) ∈ I × R y > f (x) est un convexe
de R2 .
(ii) ∀(x, x0 ) ∈ I 2 , ∀t ∈[0, 1], f tx + (1 − t)x0 6 tf (x) + (1 − t)f (x0 ).
P
P
n
n
n
P
(iii) ∀n ∈ N? , ∀(x1 , . . . , xn ) ∈ I n , ∀(α1 , . . . , αn ) ∈ Rn+ , si
αi = 1 alors f
αi xi 6
αi f (xi ).
i=1
i=1
i=1
f (x) − f a)
(iv) ∀a ∈ I, θa : x 7→
croˆıt sur I \ {a}.
x−a
On dit que f est convexe sur I si et seulement si elle v´erifie une de ces propri´et´es.
X
n
n
1X
1
xi 6
f (xi )
Cas particulier de (iii) : f
n i=1
n i=1
Remarque : dans (ii), t ∈ ]0, 1[ suffit.
y
C
A
B
a
c x
b
• Interpr´
etation g´
eom´
etrique
1. On a : pente de (AB)6pente de (AC)6pente de (BC) ou encore
f (b) − f (a)
f (c) − f (a)
f (c) − f (b) .
6
6
b−a
c−a
c−b
2. On dit aussi que Cf est sous les cordes id est pour les points d’abscisses x dans [a, b], Cf est sous
[A,B] mais d`es que x est hors de [a, b] c’est le contraire :

f (b) − f (a)

 f (x) 6 f (a) + (x − a)
si x ∈[a, b],
b−a

 f (x) > f (a) + (x − a) f (b) − f (a) si x ∈
/ [a, b].
b−a
• Continuit´
e
f convexe sur I ⇒ f est continue sur l’int´erieur de I.
• D´
erivabilit´
e
Si f est d´erivable sur I, alors f est convexe si et seulement si f 0 croˆıt.
Si f est deux fois d´erivable sur I, alors f est convexe si et seulement si f 00 > 0.
Si f est d´erivable sur I, alors f est convexe si et seulement si Cf est au dessus des tangentes, ce
qui s’´ecrit : ∀a ∈ I, ∀x ∈ I, f (x) > f (a) + (x − a)f 0 (a).
• In´
egalit´
es classiques
∀x ∈ R, 1 + x 6 ex
∀x > −1, ln(1 + x) 6 x
h πi
2x
∀x ∈ 0 ,
on a
6 sin x 6 x
2
π
Y
1/n
n
n
1X
n
αi
Si (α1 , . . . , αn ) ∈ R+ on a
αi
6
n
i=1
i=1
convexit´e de exp
concavit´e de ln
h πi
concavit´e de sin sur 0 , .
2
concavit´e de ln