Transcript Les applications (Théorie des ensembles)

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Les applications (Th´eorie des ensembles)
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Applications d’un ensemble sur un autre
D´
efinitions :
Soit E et F deux ensembles et une relation R de E × F . On d´efinit une application f de E vers F qui `
a tout
´el´ement x de E associe par la relation R un unique ´el´ement y de F appel´e image de x par f . On note :
f : E −→ F
(1)
pour d´efinir que f est une application de E vers F et
f : x 7−→ y = f (x)
(2)
pour d´efinir que l’image de x par f est l’unique nombre y.
Exemples :
– Soit un ensemble E et l’application IdE d´efinie comme suit :
IdE : E −→ E
x 7−→ x = f (x)
IdE est appel´ee application identit´e sur E.
– Soit E = {0; 1}.
f : E −→ E
x 7−→ (y = f (x)) ∧ (y 6= x)
Le diagramme sagittale peut donner les images de l’application f (puisque E est fini) :
E
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E
0
0
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D´
efinition :
Soit E et F deux ensembles. On d´efinit une fonction f de E vers F qui `a tout ´el´ement x de E associe au plus
un ´el´ement y de F .
y est appel´e image de x par f .
Le domaine de d´efinition E 0 de la fonction f est le sous-ensemble de E tel que pour tout x de E 0 , il existe un
unique y de F . La fonction f devient alors une application de E 0 dans F .
Exercice-exemple :
Soit la fonction f d´efinie de R dans R par y =
x+5
2x−1 .
1. Donner le domaine de d´efinition D de la fonction f . On d´efinit alors une application f :
f:
D
x
−→ R
7−→ y = f (x) =
x+5
2x−1
2. Dans un rep`ere orthogonal suivant, construire une id´ee du graphe de f . On pourra ´etablir sur la
calculatrice, un tableau de valeurs coh´erent avec le domaine de d´efinition. De plus on admettra que
l’application f est d´ecroissante sur chaque intervalle de son domaine de d´efinition.
6
5
4
3
2
1
−11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
−1
−2
−3
−4
−5
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Composition des applications
D´
efinition :
Soit deux applications :
f:
g:
E
F
−→ F
−→ G
Pour tout nombre x de E il existe un unique y tel que y = f (x) et pour tout nombre y de F il existe un
unique z de G tel que z = g(y). Ainsi pour tout nombre x de E, on associe un unique z de G qu’on peut ´ecrire
g((f (x)). Cette nouvelle application de E × G est not´ee g ◦ f :
g◦f :
−→ G
7−→ z = g ◦ f (x) = g(f (x))
E
x
Exercice-exemple :
1. Soit E = {0; 1; 2; 3} ; F = {a; b; c} et G = {0; 1}
Soit les applications f et g telles que :
f:
0
1
2
3
7−→ a
7 →b
−
7−→ c
7−→ a
g:
a
b
c
7−→ 0
7−→ 1
7−→ 0
Faire un diagramme sagittale qui donne la composition f ◦ g en d´ecomposant chaque application (faire
apparaˆıtre les trois ensembles E, F et G), puis simplifier l’application par un autre diagramme sagittale
ne donnant que les deux ensembles E et G.
2. Soit les applications suivantes :
f:
R
x
−→ R
7−→ 5x + 7
g:
R
x
−→ R
7−→ −x2
Pour tout nombre x de R, donner l’expression de g ◦ f (x) puis l’expression de f ◦ g(x).
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3.1
Propri´
et´
es des applications : surjection, injection, bijection
Ant´
ec´
edents
D´
efinition :
Soit une application f de E dans F . Soit un ´el´ement y de F donn´e.
S’il existe au moins un ´el´ement x de f tel que y = f (x) alors x est appel´e ant´
ec´
edent de y par l’application f .
3.2
Applications surjectives
D´
efinition :
Une application f de E dans F est dite surjective si pour tout ´el´ement y de F , il existe au moins un ´el´ement x
de E tel que y = f (x). Soit Sf cette proposition :
Sf : ∀y ∈ F, ∃x ∈ E; y = f (x)
Exemples :
Soit l’application f :
f:
−→ R
7−→ 3x + 1
R
x
f est surjective. En effet, pour y donn´e il suffit de choisir l’ant´ec´edent x =
y−1
3 .
Soit l’application g :
g:
R
x
−→ R
7−→ x2
g n’est pas surjective. En effet, y = −1 n’a pas d’ant´ec´edent.
Par contre l’application g@ :
g@ :
R
x
−→ R+
7−→ x2
est surjective. En effet, pour tout y de R+ , il suffit de choisir x =
3.3
√
√
y (ou x = − y).
Applications injectives
D´
efinition :
Une application f de E dans F est dite injective si pour tout ´el´ement y de F , il existe au plus un ´el´ement x de
E tel que y = f (x). Autrement dit, si pour deux ´el´ements x et x0 de E tels x 6= x0 alors f (x) 6= f (x0 ). Soit If
cette proposition :
If : ∀y ∈ F, (∃!x ∈ E; y = f (x)) ∨ (@x ∈ E; y = f (x))
⇔
If : ∀(x; x0 ) ∈ E 2 ∧ x 6= x0 ; f (x) 6= f (x0 )
Exemples :
Soit l’application f :
f:
−→ R
7−→ 3x + 1
R
x
f est injective. En effet, pour x < x0 on a 3x + 1 < 3x0 + 1.
Soit l’application g :
f:
R
x
−→ R
7−→ x2
g n’est pas injective. En effet, pour x = 2 et x = −2 on a f (−2) = f (2) = 4.
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3.4
Applications bijectives
D´
efinition :
Une application f de E dans F est dite bijective si elle est surjective et injective. Ainsi pour tout y de F , il
existe un unique ´el´ement x de E tel que y = f (x).
Exemple :
Soit l’application f :
f:
R
x
−→ R
7−→ 3x + 1
f est bijective. En effet, nous avons vu qu’elle ´etait surjective et injective.
D´
efinition : Soit f une application bijective de E dans F . Par d´efinition, pour tout y de F , il existe un
unique ´el´ement x de E tel que y = f (x) ; et r´eciproquement, pour tout x de E, il existe un unique nombre y de
F qui lui est associ´e par une application dite r´eciproque, not´ee f −1 .
f:
E
x
−→ F
7−→ y = f (x)
f:
R
x
f −1 :
−→ E
7−→ x = f −1 (x)
F
y
Remarque :
f ◦ f −1 = IdF et f −1 ◦ f = IdE
Exemple :
Soit l’application f :
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−→ R
7−→ 3x + 1
f −1 :
R
y
−→ R
7−→ y−1
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